Índice de sequía sintetizado (ISS) usando el análisis de componentes

El análisis de componentes principales (ACP) tiene como propósito reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos (Richards y Jia, 2013; Deng et al, 2008.). El ACP se basa en el hecho de que las bandas vecinas de las imágenes multiespectrales están altamente correlacionadas y con frecuencia transmiten casi la misma información sobre el objeto (Graig y Jie, 2002). El análisis se utiliza para transformar los datos originales para eliminar la correlación entre las bandas. En el proceso, se identifica la combinación lineal óptima de las bandas originales que representan la variación de los valores de píxeles en una imagen (Graig y Jie, 2002).

Figura 3.2. Vector de píxeles en el análisis de componentes principales (adaptado de Gonzales y Woods (2002)).

El ACP emplea las propiedades estadísticas de las bandas para examinar la dependencia o correlación entre ellas. Sin embargo, se pueden encontrar muchos sinónimos para el ACP, como la transformación de Hotelling o la transformación de Karhunen-Loeve (González y Woods 2002). Todas estas transformaciones se basan en el mismo principio matemático conocido como descomposición de valores propios de la matriz de covarianza de las bandas

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de imágenes multiespectrales. Se presenta una breve formulación del principio. (González y Woods, 2002 y Schowengerdt, 2006).

Un vector de píxeles de la imagen se puede expresar:

= [ , , , ] . (3.24) Los valores _{, , , corresponden a una misma posición de píxel en la imagen} multiespectrales. La dimensión de ese vector de imagen es igual al número de bandas multiespectrales N, en el caso del presente trabajo serian 3 bandas (ICV, ICT e ICP). Para una imagen multiespectrales con filas y columnas habrá = ∗ vectores, es decir,

= , . . . , . El vector medio de todos los vectores de imagen se expresa como:

�̅ = ∑ [ , , , ]= . (3.25)

La matriz de covarianza de x se define como:

= { − � − � }, (3.26) dónde:

= operador de expectativa;

Superíndice = operación de transposición, y = notación para la matriz de covarianza.

La matriz de covarianza se aproxima mediante el siguiente cálculo:

= ∑= − �̅ − �̅ . (3.27) El ACP se basa en la descomposición del valor propio de la matriz de covarianza, que toma la forma de:

= , (3.28) dónde:

= , . (3.29) Es la matriz diagonal compuesta por los valores propios _, de la matriz de covarianza , y es la matriz ortonormal compuesta por los correspondientes autovectores de dimensión _{= , , , de como sigue:}

= , , , . (3.30) La transformación lineal definida por:

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Es el vector de píxeles ACP, y todos estos vectores de píxeles forman las bandas del ACP (transformadas) de las imágenes originales (Graig y Jie, 2002).

Los autovalores y vectores propios se disponen en orden descendente de forma que , por lo tanto las primeras filas ( , usualmente _{<< ) de la} matriz , es decir, los primeros vectores propios _{= , , , , se puede utilizar} para calcular una aproximación de las imágenes originales de la siguiente manera:

z = [ ] = [

] .

[ ]

= , , , (3.32)

Donde el vector de píxeles _{z formará las primeras bandas K de las imágenes del ACP.} Tales bandas ACP formadas tienen el mayor contraste o variación en la primera banda y el menor contraste o varianza en la última banda. Por lo tanto, las primeras K bandas del ACP suelen contener la mayor parte de la información que reside en las imágenes multiespectrales originales y pueden utilizarse para análisis más efectivos y precisos debido a que el número de bandas de imágenes y la cantidad de ruido de imagen implicado se reducen. Según González y Woods (2002), las bandas del ACP son mutuamente independientes u ortogonales y su matriz de covarianza toma la forma de:

= , (3.33)

Figura 3.3. Geometría de análisis de componentes principales y bandas PCA (Graig y Jie, 2002).

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La geometría del concepto del ACP se ilustra en la Figura 3.3, donde los datos originales consisten en dos bandas, banda 1 y banda 2. Existe una correlación considerable entre las dos bandas: un cambio en la banda 1 crea un cambio casi lineal en la banda 2. Cuando se genera el ACP, la correlación entre la banda del ACP 1 y 2 desaparece. Otro aspecto del ACP que se observa en la ilustración se refiere a la variabilidad dentro de las bandas (Graig y Jie, 2002). Una vez que ha tenido lugar la transformación, la banda del ACP 1 representa la cantidad máxima de variabilidad o contraste posible en la imagen y la banda del ACP 2 representa la segunda cantidad mayor. Es probable que esta tendencia continúe en las primeras bandas del ACP, y el resto contiene información cada vez menos útil (Graig y Jie, 2002).

El procedimiento del ACP, calcula en primer lugar la matriz de covarianza y valores propios, vectores propios entre todos los datos de entrada, en segundo lugar, obtiene el porcentaje de varianza explicada establecidos por cada componente de datos totales, y, finalmente, una serie de nuevos datos (llamada autovalores o componentes) se calcula multiplicando el vector propio para los datos de entrada originales (Lasaponara, 2006).

El ACP, se ha usado como una herramienta de compresión de datos, descartando componentes menores con pequeños valores que explican los índices. Aunque ICV, ICT e ICP pueden ser utilizados para vigilar la sequía de la vegetación, el suelo y el clima, la información correlacionada de estos índices son útiles para supervisar la sequía integral (Du et al., 2013). Por ejemplo, si las demás condiciones son casi normales, la vegetación puede ser más sensible a la humedad durante la formación del dosel (aparición de hojas) y para la temperatura durante la floración (Du et al., 2013).

En la presente tesis, el ACP se utilizó para obtener la información del ICV, ICT e ICP y deseche la señal correlacionada de ellos. La transformación de componentes principales se realizó con el software ENVI. El ICV, ICT e ICP en cada mes se introducen como bandas espectrales originales y se calculan el mismo número de bandas de las componentes principales (Du et al., 2013).

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Desde el primer componente principal (CP1) siempre contiene información de más de un 75 % a partir de ICV, ICT e ICP y se define como un nuevo índice de sequía, es decir, el índice de sequía sintetizado (ISS) (Du et al., 2013). Basado en el método del ACP, se ha producido un conjunto de datos del ISS de marzo del 2000 a diciembre del 2013. El ISS también se divide en cinco clases (Tabla 3.2.) (Du et al., 2013).