En este cap´ıtulo se presentan dos herramientas de gran utilidad para la cons- trucci´on de continuos, las intersecciones anidadas y los l´ımites inversos. Como ejemplos de continuos generados de esta forma, se exponen el seudoarco y la curva universal de Sierpi´nski, los cuales poseen propiedades universales muy interesantes. Tambi´en se ver´a que los l´ımites inversos pueden ser llevados a intersecciones anidades y se enuncian condiciones sobre los sistemas inversos bajo las cuales su l´ımite inverso resulta ser un continuo.
2.1.
Intersecciones anidadas
Lema 2.1. Sea {Xn|n∈N} una colecci´on de espacios m´etricos compactos
con la propiedad de que Xn+1⊂Xnpara todo n∈N. Consideremos
X= \
n∈N
Xn.
Si U ⊂X1 es abierto y X⊂U , entonces existe un natural N tal que Xn⊂U
para todo n≥N.
Demostraci´on. Supongamos lo contrario, es decir, que para cada naturaln∈N existemn≥ntal queXmn*U,por hip´otesis sigue ocurriendo queXmn+1⊂Xmn
y T n∈NXn⊂ T n∈NXmn, m´as a´un, si x∈ T n∈NXmn\ T n∈NXn entonces existe
un natural p∈Ntal que x∈/ Xp,perox∈Xmp ⊂Xp y x∈Xp lo cual es una
contradicci´on. De esta forma
\ n∈N Xn= \ n∈N Xmn⊂U
Luego como Xmn *U seleccionemos un punto xn ∈Xmn\U,de esta forma
U y como Xm1\U es un espacio m´etrico compacto, existe p∈Xm1\U tal que {xn} → p.Luego, si existiera alg´un n∈Ntal que p∈Xmn y p∈/ Xmn+1 entoncesp∈Xmn\Xmn+1 y(Xm1\U)\Xmn+1es una vecindad depque contiene un n´umero finito de puntos de{xn}contradiciendo el hecho de que{xn}n∈N→
p. De esta forma p∈T
n∈NXmn y entonces p∈U,pero pes un elemento de
Xm1\U lo cual es una contradicci´on. Por tanto existe un natural N tal que
Xn⊂Upara todon≥N.
Corolario 2.2(Teorema de intersecci´on de Cantor). Bajo las condiciones del Lema anterior, si Xn6=/0para todo n∈N, entonces X6=/0, compacto y m´etrico.
Demostraci´on. Supongamos queX = /0. TomandoU = /0 en el Lema 2.1 se tiene que existe N ∈N tal que XN ⊂ /0 y, por tanto XN = /0, lo cual es una contradicci´on. Finalmente, comoXes la intersecci´on de conjuntos cerrados,X
es cerrado y, comoX⊂X1yX1es m´etrico,X es compacto y m´etrico.
Teorema 2.3. Sea{Xn|n∈N}una colecci´on de continuos tales que para cada
n∈NXn+1⊂Xn, y sea
X= \
n∈N
Xn.
Entonces, X es un continuo.
Demostraci´on. Por el Corolario 2.2,Xes un espacio no vac´ıo, m´etrico y com- pacto. Supongamos queX no es conexo. Entonces, existen conjuntos abiertos no vac´ıos disjuntosAyBtales queX =A∪B. ComoAyBson tambien ce- rrados (cada uno es complemento del otro) y X1⊃X es un espacio normal, existen abiertos no vac´ıos ajenosU yV en X1 tales queA⊂U yB⊂V. Sea
W =U∪B, entonces, por el Teorema 2.1, existe alg´unN∈Ntal queXN⊂W. Por tanto
XN= (XN∩U)∪(XN∩V).
ComoX⊂XNyA6=/0 yB6=/0, se sigue queXN∩U6=/0 yXN∩V6=/0. Por tanto,
XNes disconexo, lo cual es una contradicci´on. Por tanto,Xes un continuo. Ejemplo 2.4. Hagamos una partici´on del cuadrado unitario,S= [0,1]×[0,1], en 9 cuadrados congruentes. SeaX1el resultado de eliminar el cuadrado inte- rior deS,X1=S\(13,32)×(13,23). Similarmente, seaX2el resultado de hacer la
2.1 Intersecciones anidadas
partici´on en 9 cuadrados congruentes de cada uno de los 8 cuadrados restantes, quitando el interior de cada uno, y as´ı, recursivamente, paraX3, . . .Sea
X= \
n∈N
Xn.
Entonces,X es un continuo y es llamado lacurva universal de Sierpi ´nski. El resultado de este proceso lo representamos en la figura 2.1.
Figura 2.1: Curva universal de Sierpi´nski. Definici´on 2.5. Unacadenaes una colecci´on finita de conjuntos
C={C1,C2, . . . ,Cn},
en un espacio m´etrico, tal queCi∩Cj6=/0 si y s´olo si|i−j| ≤1. A los elementos de la cadena se les llama eslabones. Diremos que una cadena es unaε-cadena si sus eslabones tienen un di´ametro menor queε.
Para los siguientes desarrollos nos centraremos en cadenas cuyos eslabones consecutivos poseen puntos interiores en com´un. Es decir, intCi∩intCj6=/0, si |i−j|=1.
Figura 2.2: cadena cuyos eslabones son discos.
Un ejemplo de cadena cuyos eslabones son discos enR2se representa en la
figura 2.2.
Definici´on 2.6. Consideremos dos cadenasC yD. Diremos que la cadenaD refina a la cadenaC si cada eslab´on Dde la cadena Desta contenido en el interior de alg´un eslab´onCde la cadenaCtal que el eslab´onDno tiene puntos en com´un con la frontera del eslab´onC.
Figura 2.3: refinamiento de una cadena
Un ejemplo de refinamiento de una cadena se representa en la figura 2.3. Definici´on 2.7. Diremos que la cadenaDes unacadena dobladadentro de la cadenaCsiDrefina aCcon la siguiente propiedad: para cada par de eslabones
2.1 Intersecciones anidadas Ci yCj de la cadenaCtales quei+2< jy cada par de eslabones deD,Dsy
Dt de la cadenaDtales que
Ci∩Ds6=/06=Cj∩Dt,
existen eslabonesDl yDmen la cadenaDcons<m<l<tos>m>l>t tales que
Dl⊂Ci+1 y Dm⊂Cj−1.
Los primeros dos pasos en la construcci´on de un seudoarco se representan en la figura 2.4.
Consideremos puntos a y b distintos en el plano y una sucesi´on infinita de cadenasC1,C2, . . ., todas formadas por discos que satisfacen las siguientes condiciones, para todon∈N.
(a) El puntoapertenece al primer eslab´on y el puntobal ´ultimo eslab´on de la cadenaCn.
(b) La cadenaCnes una 1n-cadena. (c) La cadenaCn+1est´a doblada enCn.
SeaXn la uni´on de todos los eslabones de la cadena Cn. Observemos que
Xn es un continuo. Adem´as,Xn+1⊂Xn, para cada n∈N, lo cual forma una
sucesi´on decreciente de continuos
X1⊃X2⊃. . . y, en virtud del Lema 2.1,
X= \
n∈N
Xn es un continuo, llamado elseudoarco.
2.2.
L´ımites inversos
Definici´on 2.8. SeanDun conjunto dirigido,{(Xα,τα)|α∈D}una colecci´on
de espacios topol´ogicos y {fα β|α β y fα β :Xβ →Xα} una colecci´on de
funciones continuas tales que fα α=1Xα y siαβγ, entonces fα γ= fα β◦
fβ γ. Entonces diremos que la terna(Xα,fα β,D)es unsistema inverso. A los
espaciosXαlos llamaremosespacios factoresy a las funciones fα β funciones
de enlace.
Definici´on 2.9. Supongamos que (Xα,fα β,D) es un sistema inverso. Defi-
nimos el l´ımite inverso del sistema inverso como el subconjunto del espa- cio producto ∏α∈DXα, que consiste en los puntosx tales que fα β(xβ) =xα
para todoαβ.
Los siguientes teoremas nos ayuda a aclarar como son los l´ımites inversos de espacios factores continuos.
En lo sucesivo, si(Xα,fα β,D)es un sistema inverso,Mβ denota al conjunto Mβ ={x∈
∏
α∈D
2.2 L´ımites inversos
Teorema 2.10. Si(Xα,fα β,D)es un sistema inverso y para cadaα ∈D, Xα es un espacio Hausdorff compacto, entonces el l´ımite inverso del sistema es un subconjunto cerrado de∏α∈DXα.
Demostraci´on. Probemos que para cadaβ∈D,Mβ es un subconjunto cerrado
de∏α∈DXα. Seax∈∏α∈DXα\Mβ, entonces existe un elementoγ∈Dtal que
γβ y fγ β(xβ)=6 xγ. ComoXγ es Hausdorff existen abiertos disjuntosUyV
enXγ tales que fγ β(xβ)∈Uyxγ∈V y adem´as fγ β es continua lo que asegura
la existencia de un conjunto abiertoW en Xβ tal que fγ β[W]⊂U. Sea Aun conjunto abierto de∏α∈DXαtal quex∈A,πβ[A] =W yπγ[A] =V. Entonces A∩Mβ= /0 y por tantoMβ es cerrado.
Notemos adem´as que siγδ, entoncesMδ⊂Mγy comoDes un conjunto
dirigido la colecci´on{Mβ|β∈D}posee la propiedad de intersecci´on finita y como∏α∈DXαes compacto se sigue que
T
β∈DMβ6= /0 es cerrado.
Si (Xα,fα β,D) es un sistema inverso denotaremos su l´ımite inverso por
lim
←−α∈DXα, lim←−DXα o lim←−Xα seg´un el contexto. Observaci´on. lim ←− D Xα= \ β∈D Mβ={x∈
∏
α∈D Xα| ∀α,β∈D:βα implica que fα β(xβ) =xα}Teorema 2.11. Sea(Xα,fα β,D) un sistema inverso. Para cada β ∈D, sea
Γ={γ∈D|γβ} ∪ {β}, entonces Mβ ∼=∏α∈ΓXα.
Demostraci´on. Seaϕ :Mβ →∏α∈ΓXα definida por(ϕ(x))γ =xγ para cada
γ∈Γ. Probemos que la funci´on es biyectiva. Seanx,y∈Mβ tales queϕ(x) =
ϕ(y), entonces∀γ∈Γ:(ϕ(x))γ= (ϕ(y))γ y por tantoxγ=yγ, tambi´en para
cada α β :xα = fα β(xβ) = fα β(yβ) =yα y por tanto ∀α ∈D:xα =yα
implica quex=yyϕes inyectiva.
Por otra parte, seax∈∏α∈Γxα, entoncesz∈∏α∈Dxα definido por
zα=
(
xα siα ∈Γ
fα β(xβ) siα ∈/Γ
Finalmente observemos que siα∈DyUαes un abierto enXα, entonces
Mβ∩πα−1(Uα) =
(
πα−1(Uα) siα∈Γ
∏α∈ΓXα siα∈/Γ
lo cual asegura queϕes una funci´on continua y abierta y por tanto un homeo- morfismo.
Definici´on 2.12. SiD es un conjunto dirigido yE es un subconjunto de D, diremos que E es cofinal en Dsi para cada α ∈D existe un β ∈E tal que α β.
Definici´on 2.13. Supongamos que{Xα,fα β,D}es un sistema inverso. SiEes
un subconjunto cofinal deD, entonces{Xα,fα β,E}es unsubsistema cofinal de{Xα,fα β,D}.
Teorema 2.14. Supongamos que D es un conjunto dirigido, E un subconjunto cofinal de D y {Xα,fα β,D} un sistema inverso. Entonces existe una funci´on continua inyectiva con dominiolim←−D{Xα,fα β,D}y rangolim←−E{Xα,fα β,E}. Demostraci´on. Sea ϕ: lim←− D {Xα,fα β,D} →lim←− E {Xα,fα β,E}
definida porϕ(x)α =xα para todoα ∈E. Notemos que si ϕ(x) =ϕ(y), en-
tonces ∀β ∈D xα =ϕ(x)α =ϕ(y)α =yα y para cada α ∈D\E existe un
β ∈E tal queα β, de esta formaxα= fα β(xβ) = fα β(yβ) =yα por tanto
∀α∈D:xα=yαimplica quex=yy entoncesϕes inyectiva. Para probar que
es suprayectiva, seay∈lim←−E{Xα,fα β,E} y definamosx∈lim←−D{Xα,fα β,D}
porxα=yα para todaα∈E y paraα ∈D\E seaβ tal queαβ, entonces
xα= fα β(xβ). Adem´asx∈lim←−D{Xα,fα β,D}y por tantoϕ es suprayectiva.
Finalmente, seaα ∈E yUα un abierto enXα, como
πα−1(Uα)∩lim←− E {Xα,fα β,E}=π −1 α (Uα)∩lim←− D {Xα,fα β,D}
(el primero en el producto sobreE y el segundo en el producto sobre D) se tiene que la funci´on es continua como se deseaba.
2.2 L´ımites inversos
Corolario 2.15. Sean E un subconjunto cofinal de un conjunto dirigido D y
{Xα,fα β,D}un sistema inverso donde los espacios factores son Hausdorff y compactos. Entonceslim←−
D{Xα,fα β,E}y←−limE{Xα,fα β,D}son homeomorfos. Demostraci´on. Por el Teorema 2.14 existe una funci´on continua biyectiva con dominio lim←−
D{Xα,fα β,D} y rango lim←−E{Xα,fα β,E}, luego por el Teorema
1.53 lim←−D{Xα,fα β,D}es compacto, tambi´en lim←−E{Xα,fα β,E}es Hausdorff y
aplicando el Teorema 1.44 la funci´on f es un homeomorfismo.
Corolario 2.16. Si(Xα,fα β,D)un sistema inverso donde cada Xαes un con- tinuo y D tiene un subconjunto cofinal numerable, entonceslim←−D(Xα,fα β,D) es un continuo.
Demostraci´on. SeaE un subconjunto cofinal deD.Por el Corolario 2.15 los l´ımites lim←−
D(Xα,fα β,D)y lim←−E{Xα,fα β,E}son homeomorfos y por el Teore-
ma 1.61 basta verificar que lim←−E{Xα,fα β,E}es continuo. Por la observaci´on
anterior lim ←− D Xα= \ β∈D Mβ donde Mβ ={x∈
∏
α∈D Xα| ∀γβ∈D:xγ =fγ β(xβ)},y por el Teorema 2.11 y el hecho de que la metrizabilidad, conexidad y com- pacidad se preservan bajo productos numerables se sigue que cadaMβ es un continuo para cadaβ ∈E. Adem´as siβ δ yx∈Mδ entonces∀γδ ∈D: xγ=fγ δ(xδ)yxγ =fγ δ(xδ) = fγ β(fβ δ(xδ)) = fγ δ(xβ)de forma quex∈Mβy
entonces la sucesi´on{Mα}α∈Ees una sucesi´on numerable anidada. Finalmente por el Teorema 2.2 lim←−
E{Xα,fα β,E}es un continuo.
Teorema 2.17. Si X=lim←−D{Xα,fα β,E}y Y es un subespacio de X , entonces Y =lim←−
D{Yα,gα β,D}donde Yα=πα(Y)y gα β = fα β|Yβ.
Demostraci´on. SeaY un subespacio deX,entonces
Y ⊂ {x∈
∏
α∈D
| ∀α,β ∈D:β α implica que fα β(xβ) =xα}
entonces deY ⊂∏α∈DXα se tiene queY =∏α∈Dπα(Y)y como∀α,β ∈D:
β α implica que fα β|Yβ(yβ) =yα entonces haciendoYα=πα(Y)ygα β = fα β|Yβ se tiene que∀α,β ∈D:β α implica quegα β(yβ) =yα.Por tanto Y =lim←−
A continuaci´on se expondr´an algunos l´ımites inversos y sus propiedades cuando el conjunto dirigido es el de los n´umeros naturales, en ese caso al sis- tema inverso se le llamar´a sucesi´on inversa y se denotar´a por{Xi,fi}, donde
fi:Xi+1→Xi es la funci´on fi i+1. En caso de que los espacios factores sean un
mismo espacioX y las funciones fi una misma funci´on a la sucesi´on inversa se le denotar´a simplemente por{X,f}.
Teorema 2.18. Sean X =lim←−{Xi,fi}e Y =lim←−{Yi,gi}l´ımites inversos de su-
cesiones inversas. X es homeomorfo a Y si existe una sucesi´on de homeomor- fismos hi:Xi→Yitales que hi◦fi(x) =gi◦hi+1(x)para todo x∈Xiy i∈N.
Demostraci´on. SeaH:X →Y la funci´on definida por (H(x))i =hi(xi)para cadai∈N. EntoncesHest´a bien definida pues la imagen de todo puntoxdeX
satisface que(H(x))i=hi(xi) =hi◦fi(xi+1) =gi◦hi+1(xi+1) =gi◦(H(x))i+1. Adem´as como cada homeomorfismohi:Xi→Yies biyectivo, y determinan las coordenadas de la funci´on H, ´esta tambi´en es biyectiva. La continuidad est´a garantizada porque para cadai∈Nπi◦H=hi◦πies una funci´on continua. Fi- nalmente se puede ver queG:Y →X dada por(G(x))i=h−i 1(xi)es la funci´on inversa deHy tambi´en es continua. Por tantoX eY son homeomorfos. Ejemplo 2.19. Consideremos el l´ımite inverso de la sucesi´on {X,f} donde
X=S1y f :S1→S1est´a dada por f(z) =z2(multiplicaci´on en el plano com- plejo). Por el corolario 2.16 se tiene que el l´ımite inverso es un continuo. A todo continuo homoemorfo a este l´ımite se le llamar´asolenoide di´adicoy se le representa porΣ(2). Geom´etricamente el solenoideΣ(2)(v´ease figura 2.5)se puede describir como la intersecci´on de una sucesi´on de toros s´olidos
T1⊃T2⊃. . .Tn⊃Tn+1⊃. . .
2.2 L´ımites inversos
Figura 2.5:T1⊃T2en la construcci´on geometrica deΣ(2).
Ejemplo 2.20. Generalizando el ejemplo anterior, dadop≥2, el l´ımite inverso de la sucesi´on{X,f}, dondeX=S1y f(z) =zpes un continuo. A todo espacio homeomorfo a ´el se le llamasolenoidep-´adicoy se denota porΣ(p).
Ejemplo 2.21. Consideremos la sucesi´on inversa{[0,1],fi}donde fi:Xi+1→
Xiest´a dada por
fi(t) = (
2t 0≤t≤ 12 −2t+2 12 ≤t≤1
Entonces, nuevamente por el corolario 2.16, el l´ımite inverso es un continuo; a todo continuo homeomorfo a ´el se le conoce como elarcoiris de Knaster. En la figura 2.6 se representa el arcoiris de Knaster.
2.3.
Topolog´ıa cociente
Los espacios cociente representan uno de los m´etodos principales para gene- rar nuevas topolog´ıas a partir de una ya conocida. En particular, permiten crear espacios topol´ogicos bastante interesantes y poseen, bajo ciertas restricciones, la cualidad de generar continuos si el espacio topol´ogico inicial es uncontinuo. La topolog´ıa cociente es la topolog´ıa final respecto de una funci´on suprayec- tiva, podemos pensar que esta topolog´ıa se genera al identificar los puntos del espacio dado que tienen la misma imagen bajo dicha funci´on, y “pegarlos”, en el sentido de que estos puntos representar´an un solo punto en el nuevo espacio topol´ogico. Esto, en particular, es equivalente a dar una partici´on de un espa- cio topol´ogico y considerar su espacio partici´on como la topolog´ıa cociente inducida por la proyecci´on natural.
A continuaci´on se dar´a la definici´on formal de esta topolog´ıa.
Definici´on 2.22. Sea X un espacio topol´ogico,Y un conjunto y π :X →Y
una funci´on suprayectiva. Definamos una topolog´ıa enY declarando a un sub- conjuntoU ⊂Y abierto si y s´olo si π−1(U) es abierto en X. Esta topolog´ıa es llamada latopolog´ıa cociente, la topolog´ıa inducida por la funci´onπαy la
denotaremos porτπ.
Formalmente se tiene la siguiente definici´on de partici´on:
Definici´on 2.23. Unapartici´onde un conjuntoX es una colecci´onDde sub- conjuntos no vac´ıos de X tal que, para cadaA,B∈ Dse tiene que,A∩B=/0 y S
D=X. A la funci´on π :X → D que asocia a cada x∈X con el ´unico elemento enD, que lo contiene, le llamaremos la proyecci´on natural asociada a la partici´onD.
Se sabe que toda relaci´on de equivalencia sobre un conjunto dadoX induce una partici´on deX.
Definici´on 2.24. Sea D una partici´on del espacio topol´ogico (X,τ). Consi- deremos la topolog´ıaτD, definida porτD={A ⊂ D:SA ∈τ}. Al espacio topol´ogico(D,τD)le llamaremosespacio partici´ondeX.
Teorema 2.25. Para una partici´onDde un espacio topol´ogico(X,τ),τD es la topolog´ıa cociente inducida por la proyecci´on naturalπ:X→ D.
2.3 Topolog´ıa cociente Demostraci´on. Seaτπ la topolog´ıa cociente inducida por la funci´onπ. Note
que, para cada A ⊂ D,se tiene que π−1[A] ={x∈X :π(x)∈ A}=SA, de forma que A ∈τπ si y s´olo si π
−1[A]es un subconjunto abierto en X y esto ocurre si y s´olo siS{
A⊂X:A∈ A} ∈τX si y s´olo siA ∈τD.
2.3.1. Propiedades
Teorema 2.26. Un conjunto A⊂X/∼es cerrado en el espacio cociente si y s´olo siπ−1(A)es un subconjunto cerrado de X
Demostraci´on. SiAes cerrado enX/∼entonces(X/∼)\Aes abierto y como π−1((X/∼)\A) =X\π−1(A)se sigue queπ−1(A)es cerrado enX.
Teorema 2.27. Una funci´on f de un espacio cociente X/∼a un espacio to- pol´ogico Y es continua si y s´olo si la composici´on f◦πes continua.
Demostraci´on.
Demostraci´on de la necesidad. Si f es continua entonces f◦π es continua por ser composici´on de funciones continuas.
Para mostrar la suficiencia. Si f◦πes continua, entonces, dado cualquier con- junto abiertoU⊂Y, el conjunto(f◦π)−1(U) =π−1(f−1(U))es abierto en
X. Y por tanto f−1(U)es abierto enX/∼.
Supongamos que tenemos dos espacios topol´ogicosX yY y una funci´on continua suprayectiva f deX sobreY. Consid´erese la relaci´on de equivalencia
E(f)sobre el conjuntoX determinada por la partici´on{f−1(y)}y∈Y deX. En las preim´agenes de f. La funci´on f :X →Y puede ser representada por la composici´on f◦π, donde π :X →X/E(f) es la proyecci´on natural y f es la funci´on del espacio cocienteX/E(f)sobreY definido por f(f−1(y)) =y, por el Teorema 2.27 la funci´on f es continua. Se tiene entonces el siguiente diagrama: X Y X/E(f) π f f
Claramente, f es una funci´on continua inyectiva deX/E(f) sobreY, pero generalmente no necesita ser un homeomorfismo. De hecho, si f es una fun- ci´on inyectiva de el espacio discretoX de cardinalidadℵ1sobre el intervaloI,
el espacio cocienteX/E(f)es discreto, as´ı que f no puede ser un homeomor- fismo.
A continuaci´on estudiaremos la clase de todas las funciones f tales que f
es un homeomorfismo. Estas funciones constituyen una generalizaci´on de las funciones abiertas y de las funciones cerradas.
Definici´on 2.28. Una funci´on continua y suprayectiva f :X →Y es unafun- ci´on cociente si es la composici´on de una proyecci´on natural seguida de un homeomorfismo, es decir, si existe una relaci´on de equivalencia ∼ sobre el conjunto X y un homeomorfismo f0 :X/∼→Y tal que f = f0◦π, donde π:X →X/∼es la proyecci´on natural.
Teorema 2.29. Sea f una funci´on suprayectiva de un espacio topol´ogico X a un espacio topol´ogico Y . Las siguientes condiciones son equivalente:
(i) f es una funci´on cociente.
(ii) El conjunto f−1(U)es abierto en X si y s´olo si U es abierto en Y .
(iii) El conjunto f−1(F)es cerrado en X si y s´olo si F es cerrado en Y .
(iv) La funci´on f :X/E(f)→Y es un homeomorfismo.
Demostraci´on.
(i)⇒(ii)
Supongamos que f es una funci´on cociente. Entonces f = f0◦π, donde f0:
X/∼→Y es un homeomorfismo yπ :X →X/∼es la proyecci´on natural. Por definici´on de la topolog´ıa cociente, el conjunto f−1(U) =π−1(f0−1(U)) es abierto enXsi y s´olo si f0−1(U)es abierto enX/∼; como f0 es un homeo- morfismo, esto ocurre si y s´olo siU es abierto enY.
(ii)⇒(iii)
Como f−1(F) =X\f−1(Y\F)se tiene que f−1(F)es cerrado enX si y s´olo si f−1(Y\F)es abierto enX y, por (ii), esto ocurre si y s´olo siY\F es abierto enY.
2.3 Topolog´ıa cociente
(iii)⇒(iv)
Supongamos que f satisface (iii). Como la funci´on f :X/E(f)→Y escon- tinua, inyectiva y suprayectiva, es suficiente probar que, para todo cerrado
F ⊂X/E(f), el conjunto f(F)es cerrado enY. Pero, dado que f−1f(F) =
π−1f−1f(F) =π−1(F)es cerrado enX, el conjunto f(F)es cerrado enY, por (iii).
(iv)⇒(i)
Es inmediata de la definici´on de funci´on cociente.
Corolario 2.30. La composici´on de dos funciones cocientes es una funci´on cociente.
Demostraci´on. Sean f :X→Y yg:Y →Z funciones cocientes, entoncesU
es abierto enZ si y s´olo sig−1(u)es abierto enY si y s´olo si f−1 g−1(u)es abierto enX.Pero esto es:Ues abierto enZsi y s´olo si(g◦f)−1(U)es abierto enX.Por tantog◦f es una funci´on cociente.
Teorema 2.31. Sean f :X →Y y g:Y →Z funciones continuas. Si g◦f es una funci´on cociente, entonces g:Y →Z es una funci´on cociente.
Demostraci´on. Claramente g(Y) =Z, porqueg◦f(X) =Z. Si la imagen in- versag−1(U)deU⊂Zes abierta enY, entonces f−1(g−1(U)) = (g◦f)−1(U)
es abierto enX porque f es continua, yU es abierto enZ, porqueg◦f es una funci´on cociente.
Corolario 2.32. Si para una funci´on continua f :X →Y existe un conjunto
A⊂X tal que f(A) =Y y la restricci´on f|A es cociente, entonces f es una funci´on cociente.
Demostraci´on. Dado que f|A=f◦iA, es una composici´on de funciones conti- nuas y es una funci´on cociente, se tiene, por el Teorema 2.31, que f es funci´on cociente.
Corolario 2.33. Toda funci´on cociente inyectiva es un homeomorfismo.
Demostraci´on. Por el Teorema 2.29 si f :X →Y es suprayectiva y cocien- te,U es abierto enY si y s´olo si f−1(U) es abierto enX.Por tanto, si f es cociente inyectiva, entonces f es biyectiva continua y abierta y por tanto un homeomorfismo.
A continuaci´on se caracterizan las relaciones de equivalencia para las que la funci´on cociente es cerrada o abierta.
Teorema 2.34. Para una relaci´on de equivalencia ∼ sobre un espacio to- pol´ogico X , las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) La proyecci´on naturalπ:X→X/∼es cerrada (abierta).
(ii) Para todo conjunto cerrado (abierto) A⊂X la uni´on de todas las clases de equivalencia que intersectan a A es cerrada (abierta) en X .
(iii) Para todo conjunto abierto (cerrado) A⊂X la uni´on de todas las clases de equivalencia que est´an contenidas en A es abierta (cerrada) en X . Demostraci´on. La equivalencia de (i) y (ii) se sigue de la proposici´on 2.26 y de la definici´on de la topolog´ıa cociente, la equivalencia de (ii) y (iii) es una consecuencia inmediata de las leyes de De Morgan, pues se tiene la siguiente igualdad:
X\[
{[x]∈X/∼ |[x]∩A6=/0}=\{[x]∈X/∼ |[x]⊂X\A}.
Corolario 2.35. La funci´on cociente f :X→Y es cerrada (abierta) si y s´olo si el conjunto f−1f(A)⊂X es cerrado (abierto) para todo cerrado (abierto)
A⊂X.
Los espacios cociente son de gran importancia en la teor´ıa de Continuos. Sin embargon, no todos los espacios cocientes de un continuo son continuos, incluso cuando los miembros deX/∼son subconjuntos cerrados deX. Sobre esto se tienen los siguientes teoremas:
Teorema 2.36. Si un espacio de Hausdorff es una imagen continua de un espacio m´etrico compacto, entonces es metrizable.
Demostraci´on. La demostraci´on de este teorema se puede encontrar en [12], p´ag. 166.
Teorema 2.37. El espacio cociente de un espacio m´etrico compacto X es me- trizable si y s´olo si el espacio cociente es Hausdorff.
2.3 Topolog´ıa cociente Demostraci´on. La proyecci´on naturalπ:X →X/∼es suprayectiva y conti- nua, la suficiencia se sigue del Teorema 2.36, y como todo espacio m´etrico es Hausdorff se cumple tambien la necesidad.
Corolario 2.38. El espacio cociente de un continuo es un continuo si y s´olo si el espacio cociente es Hausdorff.
Ejemplo 2.39. SeaX = [−1,1]y sea
X/∼={{x,−x}:−1<x<1} ∪ {{−1},{1}}.
Como no existen abiertos ajenos que separen a los puntos{−1}y{1}enton- ces el espacio cociente no es Hausdorff y por tanto no es un continuo por el corolario anterior.
2.3.2. Semi-continuidad superior
Definici´on 2.40. Sea(X,τ)un espacio topol´ogico. Una partici´onD deX es