1. Para cada una de las siguientes proposiciones:
a) Indica cuales son las proposiciones simples que intervienen. b) Expresa la forma proposicional correspondiente.
c) Construye la tabla de verdad.
i) Si 4 es divisible por 2, entonces 2 es múltiplo de 4 o 4 es divisible por 2.
ii) Si sus gastos son menores que sus ingresos, entonces su ahorro neto no es negativo y aumenta su activo.
2. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: a) Si 4 + 2 = 6, entonces – 4 + 3 > 6.
b) No es verdad que 3+3=5 si y solo si 4 + 4 = 9 c) Santa Fe está en Argentina o Chaco en Paraguay.
d) Si 2 + 2 = 4, entonces no es verdad que (2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10). 3. Completa los siguientes enunciados de manera que resulten verdaderos.
a) En la implicación r s, r se denomina ... y s se denomina ...
b) Si la negación de una proposición es verdadera, la proposición es ... c) Una implicación es falsa sólo cuando ... d) Si (m t) r es falsa, r es ..., t es ...m es ………..
e) Si r q es V, el valor de la proposición r q es ... f) Si p (q r) es falsa entonces el valor de la proposición r p es ...
4. Expresa simbólicamente los enunciados, niega su expresión simbólica y enuncia la negación en palabras.
a) No fuimos de excursión y vimos la televisión. b) Hoy voy al cine o voy a patinar.
c) Si el gobierno gasta más dinero en investigación entonces los salarios de los investigadores aumentarán o habrá más investigadores.
d) Para mí es suficiente con que haya poca humedad y haya sol para jugar al tenis esta tarde.
e) Es necesario que termine de estudiar lógica antes de almorzar para jugar tenis esta tarde.
5. Sabiendo que p es V, q es F y r es V, determina el valor de verdad de las siguientes formas proposicionales.
a) [(p q) (p r)] q b) (r q) (p r)
6. Expresa el contrarrecíproco de cada una de las siguientes implicaciones: a) p (r s) b) (r t) (m s)
7. Escribe las formas proposicionales equivalentes a las dadas de modo que no aparezca el condicional.
8. Simplifica las siguientes formas proposicionales.
a) (p q) b) [p ((r q) r)] [ r (t r) q]
c) (s t) F0 d) [p (p q) (p q r)] [(p r t) t] 9. Determina el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados.
a) x R: x + 1 > x b) x R / x2 = x c) x Z / x + 2 = x d) x R: x R e) x R : x3 > x
10. Para cada función proposicional cuantificada:
i) Determina cuantificador, conjunto referencial y función proposicional. ii) Exprésala simbólicamente.
iii) Determina su valor de verdad.
a) Todos los consumidores ahorran
b) Algunos enteros son iguales a su cuadrado
c) Todos los números reales son menores que su duplo d) No hay números naturales menores que (-3)
e) Todos los triángulos son equiláteros o algunos teoremas son fáciles 11. Para cada par de enunciados, indica si uno es la negación del otro.
a) Todo hombre es analfabeto , Ningún hombre es analfabeto b) Compro acciones y pierdo dinero , No compro acciones o no pierdo dinero 12. Para cada par de funciones proposicionales Rx y Qx, determina si:
i) R es condición suficiente para Q ii) R es condición necesaria para Q
iii) R es condición suficiente y necesaria para Q iv) R y Q no están relacionadas
a) Rx : x es un triángulo isósceles Qx : x es un triángulo equilátero b) Rx : x es un número natural par
Qx : x es un número natural múltiplo de 4 c) RA, B : A B
QA, B : A posee todos los elementos de B d) RA : A
QA, B : A B
13. Indica la condición de “p” respecto a “q” en cada caso. a) p: h es falsa q: r h es falsa
b) p: r h es verdadera q: h es falsa c) p: r h es falsa q: r es falsa
14. LÓGICA Y LITERATURA
El siguiente texto extraído de: Arthur C. DOYLE Las aventuras de Sherlock Holmes, Anaya (Adaptación), muestra el uso de condicionales. Te invitamos a leerlo
- Veo, Watson, que está ejerciendo de nuevo. No me dijo que se proponía volver a ejercer de medico.
- Entonces, ¿cómo lo sabe?
- Lo veo, lo deduzco. ¿Cómo sé también que hace poco sufrió usted un remojón y que tiene una empleada doméstica de lo más torpe y descuidada?
- Mi querido Holmes -dije-, esto es demasiado. No me cabe duda de que si hubiera vivido usted hace unos siglos le habrían quemado en la hoguera. Es cierto que el jueves di un paseo por el campo y volví a casa hecho una sopa; pero, dado que me he cambiado de ropa, no logro imaginarme como ha podido adivinarlo. Y respecto a mi empleada, es incorregible y mi mujer la ha despedido; pero tampoco me explico cómo lo ha averiguado.
- Es lo más sencillo del mundo, mi querido Watson -dijo-. Mis ojos me dicen que en la parte interior de su zapato izquierdo, donde da la luz de la chimenea, la suela está rayada con seis marcas casi paralelas. Evidentemente, las ha producido alguien que ha raspado sin ningún cuidado los bordes de la suela para desprender el barro adherido.
Así que ya ve: de ahí mi doble deducción de que ha salido usted con mal tiempo y de que posee un ejemplar particularmente maligno y rompebotas de fregona londinense.
En cuanto a su actividad profesional, si un caballero penetra en mi habitación apestando a yodoformo, con una mancha negra de nitrato de plata en el dedo índice derecho, y con un bulto en el costado de su sombrero de copa, que indica donde lleva escondido el estetoscopio, tendría que ser completamente idiota para no identificarlo como un miembro activo de la profesión médica.
1- Sherlock Holmes ha averiguado varias cosas sobre su amigo Watson usando la observación y la lógica. En su lenguaje emplea muchos condicionales. Escribe al menos tres condicionales que usa Sherlock Holmes en su discurso.
2- Para cada condicional, expresa si el antecedente es condición necesaria y/o suficiente para el consecuente.
Para autoevaluar tu aprendizaje te proponemos que realice las siguientes actividades de Opción Múltiple y Actividades Complementarias
Actividades de OPCIÓN MÚLTIPLE
Elige la o las opciones correctas.
1. El conjunto R0
5 es un subconjunto de:a) [0 , 5] b) R
4 c) (-2 , +) d) N. A.2. Para que M = (-4 , 10] esté incluido en S = R – {0 , -1}, el conjunto M restringido debe ser:
a) R – {0 , -1} b) (-1 , 12) c) (-4 , 10] – {0 , -1} d) N. A. 3. Si se resuelve la operación R
2 1,
, su resultado es:a) (-1 , +) b) (-1 , +) – {2} c) (2 , +) d) N. A.
4. El conjunto solución del sistema
7 3 x 2 1 x 2 5 , es: a) b) (5, +) c) [2, 5) d) N. A. 5. La unión de los conjuntos (-2, 5] y R es:
a) (-2, +) b) R c) (- , 5] d) N.A.
6. La desigualdad 53x 5 resulta verdadera si y sólo si: a) x0 x7 b) x0 x10/3 c) x0 x10/3 d) Ninguna de las anteriores. 7. Dado t (p q) , un condicional equivalente es:
a) (p q) t b) t (p q) c) (p q) t d) Ninguna de las anteriores. 8. Sabiendo que (p t) r es falsa, se puede asegurar que:
a) p es V, t es V y r es F. b) p es F, t es V y r es F. c) p es F, t es V y r es V. d) Ninguna de las anteriores. 9. Dada la proposición p: 3 es divisor de 6.
Se puede asegurar que p es condición suficiente para:
a) q: 3 es múltiplo de 6 b) q: 6 es múltiplo de 3
N. A. Significa ninguna de las anteriores.
c) q: 6 es divisor de 3 d) Ninguna de las anteriores. 10. Una expresión equivalente al condicional q (r t) , es:
a) q (r t) b) q r t
c) (r t) q d) Ninguna de las anteriores.
11. La negación del enunciado “Si aumenta el ingreso de la empresa, aumentarán los sueldos” , es:
a) No aumenta el ingreso o aumentarán los sueldos.
b) Aumenta el ingreso de la empresa y no aumentarán los sueldos. c) No aumenta el ingreso de la empresa y no aumentarán los sueldos. d) Ninguna de las anteriores.
12. La negación de la proposición x : (Px Qx) , es:
a) x / (Px Qx) b) x / (Px Qx)
c) x / (Px Qx) d) Ninguna de las anteriores (N. A.) 13. Considerando las proposiciones p: (r t) s es F y q: s es F y r es V ;
se puede asegurar que:
a) p es condición suficiente para q. b) p es condición necesaria para q. c) p es condición suf. y nec. para q. d) Ninguna de las anteriores. 14. La negación del condicional t (p q) , es:
a) t (p q) b) t (p q) c) t ( p q) d) N. A. 15. Dado el condicional p (r t) , su contrario es:
a) (r t) p b) (r t) p c) p (r t) d) N. A. 16. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
a) xR :xx2 b) xR /x x2 c) xR:xx2 d) N. A. 17. Dado el condicional q (p t) , su recíproco es:
a) (p t) q b) (p t) q c) q (p t) d) N. A. 18. La forma proposicional (p r) (p r) , es una:
a) Tautología b) Contingencia
c) Contradicción d) Función proposicional
19. Sabiendo que las variables proposicionales p y q son verdaderas, se puede asegurar que:
20. La negación de la proposición xA:x0 , es:
a) xA/x0 b) xA/x0 c) xA/x0 d) N. A. 21. La forma proposicional (p q) (p q) , es equivalente a:
a) (p q) q b) (q q) p c) p (q q) d) N. A. 22. La negación de la proposición (xA/x5 xA:x0) , es:
a) xA:x5 xA/x 0 b) xA:x0 xA/x5 c) xA:x5 xA/x0 d) Ninguna de las anteriores