4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Simetr´ ıas De Lie
4.3. Algoritmo para hallar la soluci´ on de una EDO
Habiendo demostrado que toda EDO admite un grupo de transformaciones uni- param´etrico (Teorema 4.5 y 4.6) y descrito el m´etodo de las coordenadas can´oni- cas, obtenemos una manera sistem´atica para resolver una EDO.
Dada la EDO de primer orden
y0=f(x, y) podemos resolverla sistem´aticamente:
1. Solucionar la EDP determinante
ηx+ (ηy−ξx)f+ξyf2−fxξ−fyη= 0 hallando los infinitesimalesξyη.
2. A partir del generador que determinan ξ y η, expresar el grupo que deja invariante a la EDO en coordenadas can´onicas
3. Resolver la EDO en t´erminos de las coordenadas can´onicas
ds
dr =G(r) =
sx+syy0
rx+ryy0
·
4. Volver a las variables iniciales para obtener la soluci´on en t´erminos de (x, y). En los ejemplos de la Secci´on 4.2 se puede apreciar que hallamos las ecuaciones del grupo admitido o las funciones ξ y η por inspecci´on. Una vez conocidas las ecuaciones o los infinitesimales del grupo que deja invariante a la EDO, el algoritmo anterior nos entrega un esquema sistem´atico para resolver la EDO. Sin embargo, no existe una manera sistem´atica de encontrar aξyη para toda EDO, es decir, no existe un m´etodo que nos permita resolver siempre la EDP determinante. Encontr´andonos en esta situaci´on la teor´ıa de Lie aplicada a las ecuaciones diferenciales tiene otro punto a favor ya que estos m´etodos son alta- mente programables, en este sentido se han desarrollado muchos paquetes que nos permiten encontrar las expresiones deξyη de manera simb´olica, m´as a´un obtener en algunos casos la soluci´on general de la EDO.
Utilizando el software MAPLE podemos acceder a una gran variedad de coman- dos que nos permiten reducir notablemente los c´alculos para hallar los infinite- simales de simetr´ıa y resolver la EDO. En los pr´oximos ejemplos resolvemos en Maple algunos tipos de EDO siguiendo el esquema del algoritmo descrito. Ejemplo 4.10. EDO lineal homog´enea de primer orden. Para esta ecua- ci´on escribimos en Maple
CAP´ITULO 4. AN ´ALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETR´IAS 68 w i t h ( DEtools ) ; ODE := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x ) y ( x ) = 0 ;
symgen (ODE) ; d s o l v e (ODE, L i e ) ; y obtenemos simult´aneamente
d
dxy(x) +p(x)y(x) = 0
[ξ=x, η=y]
y(x) = c
eRp(x)dx
Con las herramientas de Maple, symgen(ODE) calcula los infinitesimales de simetr´ıa y dsolve(EDO, Lie) determina las funciones ξ yη de alg´un grupo de Lie que admita la EDO y luego utiliza esta informaci´on para resolver la EDO. Tambi´en podemos hallar las coordenadas can´onicas que determinanξyηcuando son conocidas.
w i t h ( DEtools , symgen , c a n o n i ) ;
c a n o n i ( [ x i = 0 , e t a = y ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;
{r=x, s(r) = ln(y(x))}
Finalmente vemos que los infinitesimales, las coordenadas can´onicas y la soluci´on general de la EDO coinciden con lo determinado en el Ejemplo 4.4.
Ejemplo 4.11. EDO lineal no homog´enea de primer orden. Al escribir las l´ıneas de c´odigo
w i t h ( DEtools ) ; EDO2 := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x )∗y ( x ) = q ( x ) ; symgen (EDO2, way = abaco2 ) ;
obtenemos
d
dxy(x) +p(x)y(x) =q(x)
h
ξ= 0, η=e−Rp(x)dxi
Por ´ultimo hallamos las coordenadas can´onicas para estos infinitesimales y re- solvemos la EDO c a n o n i ( [ x i , e t a ] , y ( x ) , s ( r ) ) ; d s o l v e (EDO2, ’ can ’ ) ; n r=x, s(r) =y(x)eRp(x)dxo y(x) = R q(x)eRp(x)dxdx+C eRp(x)dx Ejemplo 4.12. EDO de variables Separables
w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( x )∗g ( y ( x ) ) ; symgen (EDO, way = abaco2 )
d dxy(x) =f(x)g(y(x)) ξ= 1 f(x), η= 0
Finalmente hallamos la soluci´on general para hξ= f(1x), η= 0i·
d s o l v e (EDO, HINT = [ x i , e t a ] )
Z
f(x)dx−
Z y(x) da
g(a)+C= 0 Ejemplo 4.13. Ecuaci´on de Bernoulli
w i t h ( DEtools ) ;
EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x )∗y ( x ) = q ( x )∗y ( x ) ˆ n ;
d
dxy(x) +p(x)y(x) =q(x)y(x)
n
symgen (EDO, way = abaco1 ) ;
h
ξ= 0, η=eRp(x)(n−1)dxyni
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
" ξ= e (n−1)(Rp(x)dx) q(x) , η=− yp(x)e(n−1)(Rp(x)dx) q(x) #
Ejemplo 4.14. EDO homog´enea de primer orden
w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( y ( x ) / x ) ; d dxy(x) =f y(x) x
Para esta EDO encontramos las siguientes soluciones de la EDP determinante symgen (EDO, way = 5 ) ;
h
ξ= 0, η=y−fy x
xi
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
[ξ=x, η=y]
En el Ejemplo 4.5 hallamos los infinitesimales de simetr´ıa [ξ=x, η=y] a partir del grupo que encontramos. Las coordenadas can´onicas correspondientes son c a n o n i ( [ x i = x , e t a = y ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;
CAP´ITULO 4. AN ´ALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETR´IAS 70 r=y(x) x , s(r) = ln(x) ·
En el pr´oximo ejemplo verificamos los resultados obtenidos para algunos de los ejemplos de la Secci´on 4.2.
Ejemplo 4.15. Consideremos la EDO de Riccati del Ejemplo 4.6 w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x ) / x+y ( x ) ˆ 2 / x ˆ2−1; d dxy(x) = y(x) x + y(x)2 x2 −1
Los infinitesimales son symgen (EDO) ; ξ= 0, η=−x+y 2 x
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
[ξ=x, η=y] symgen (EDO, way = 4 ) ;
ξ= 0, η=x−y 2 x ,[ξ=x, η=y], ξ=x+y, η=x+y 3 x2
Utilizando las expresiones [ξ=x, η=y] encontramos la soluci´on general de la EDO
d s o l v e (EDO, HINT = [\x i=x ,\e t a=y ] ) ;
y(x) = x(x
2+C)
C−x2
y en efecto coincide con la soluci´on hallada en el Ejemplo 4.6. Para la EDO del Ejemplo 4.7
EDO1 := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x)ˆ2−y ( x ) / x−1/(4∗x ˆ 2 ) d dxy(x) =y(x) 2−y(x) x − 1 4x2
encontramos las soluciones de la EDP determinante symgen (EDO) ; ξ= 0, η=−4x 3y2+x x2 , ξ= 0, η= − 1 4+yx−y 2x2 x2
ξ= 1, η= −1 2x2
symgen (EDO, way = 3 ) ;
[ξ=x, η=−y], ξ=−x 2 2 , η=yx+ 1 4
Por ´ultimo, utilizando las soluciones [ξ=x, η=−y] obtenemos la soluci´on ge- neral de la EDO d s o l v e (EDO, HINT = [ x i = x , e t a = −y ] ) ; y(x) =1 2 C+x x(C−x)· Finalmente para la EDO del Ejemplo 4.8
EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x )ˆ2−2∗x∗y ( x)+1+x ˆ 2 ;
d
dxy(x) =y(x)
2−2xy(x) + 1 +x2
las soluciones de la EDP determinante son symgen (EDO, way=abaco2 ) ;
[ξ= 1, η= 1] symgen (EDO, way = 5 ) ;
ξ= 0, η= (x−y)2
,
ξ= 0, η= (x2−xy−1)(x−y)
Las coordenadas can´onicas para [ξ= 1, η= 1] y ξ= 0, η= (x−y)2 son res- pectivamente c a n o n i ( [ x i =1 , e t a = 1 ] , y ( x ) , s ( r ) ) ; {r=−x+y(x), s(r) =x} c a n o n i ( [ x i = 0 , e t a = ( x−y ) ˆ 2 ] , y ( x ) , s ( r ) ) r=x, s(r) = 1 x−y(x))
Por lo tanto la soluci´on general de la EDO viene dada por d s o l v e (EDO, HINT = [ 1 , 1 ] ) ;
y(x) = Cx+x
2−1
x+C
Podemos tambi´en tratar de hallar la soluci´on general para ξ= 0, η= (x−y)2 y obtendremos el mismo resultado
CAP´ITULO 4. AN ´ALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETR´IAS 72
y(x) = Cx+x
2−1
x+C
Observaci´on 4.6. En los ´ultimos ejemplos hemos visto que una EDO de primer orden puede admitir m´as de un grupo de transformaciones uniparam´etrico, esto se debe a que la EDP determinante puede tener m´as de una soluci´on y de hecho infinitas. Usualmente se consideran las soluciones m´as simples, sobre todo si estamos realizando los c´alculos manualmente.
Ejemplo 4.16. Resolver la EDO w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+y ( x ) ˆ 2∗s i n ( x ) = 2∗s i n ( x ) / c o s ( x ) ˆ 2 ; d dxy(x) + sen(x)y(x) 2= 2 sen(x) cos2(x)
Podemos utilizar el comando odeadvisor(EDO) para tratar determinar que tipo de ecuaci´on es EDO
o d e a d v i s o r (EDO) ;
[Riccati] Las soluciones para la EDP determinante son symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
ξ= 0, η= cos2(x)(ycos(x) + 2)2 , ξ= cos(x) sen(x), η=y
Luego para la soluci´onhξ= sen(cos(xx)), η=yiobtenemos las coordenadas can´onicas y la soluci´on general para EDO
c a n o n i ( [ x i=c o s ( x ) / s i n ( x ) , e t a=y ] , y ( x ) , s ( r ) ) {r=y(x) cos(x), s(r) =−ln(cos(x))} d s o l v e (EDO, HINT = [ x i = c o s ( x ) / s i n ( x ) , e t a = y ] ) y(x) =− 2Ccos 3(x) + 1 cos(x)(Ccos3(x)−1)·
Ejemplo 4.17. Resolver la EDO
w i t h ( DEtools ) ; PDEtools [ d e c l a r e ] ( y ( x ) , prime = x ) ; EDO:= x∗( d i f f ( y ( x ) , x ) )∗l n ( x )∗s i n ( y ( x ) )
+c o s ( y ( x ))∗(1−x∗c o s ( y ( x ) ) ) = 0 ;
xy0ln(x) sen(y) +cos(y)(1−xcos(y)) = 0 o d e a d v i s o r (EDO) ;
[rational,[Abel,2nd type,class B] Encontramos la soluciones para la EDP determinante symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
[ξ=x2+ 4x, η=x(y+ 4)] symgen (EDO) ; ξ= 0, η=(x−y)(x−2y−4) y+ 4 , ξ= 0, η=−(y 2+ 4x)(x−y) x(y+ 4)
Las correspondientes coordenadas can´onicas parahξ= 0, η= (x−y)(yx+4−2y−4)iest´an dadas por c a n o n i ( [ x i , e t a ] , y ( x ) , s ( r ) ) ; r=x, s(r) = ln(−x+y)−1 2ln(y 2+ 4x)
Por lo tanto la soluci´on general para esta EDO de Abel es
d s o l v e (EDO, HINT = [ 0 , (−x∗yˆ2+yˆ3−4∗xˆ2+4∗x∗y ) / ( x∗( y + 4 ) ) ] ) ;
y=Cx+ √ Cx2+ 4Cx−4x C−1 , y=− −Cx+√Cx2+ 4Cx−4x C−1 ·
Conclusiones y
Recomendaciones
• Los grupos de transformaciones de Lie son clave para comprender la natu- raleza de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Existen t´ecnicas para obtener soluciones generales de EDO, pero la mayor´ıa de ellas no son m´as que casos especiales de algunos m´etodos fuertes de simetr´ıas. Adem´as a diferencia de esas t´ecnicas que muchas veces son presentadas como t´ecnicas especiales si aparente relaci´on, los m´etodos de la teor´ıa de Lie se pueden aplicar a cual- quier tipo desconocido de EDO, encontrando primero el grupo de simetr´ıa de la ecuaci´on y luego utilizandolo para construir soluciones exactas. Por todo esto resulta un tanto sorprendente que estos m´etodos de simetr´ıa no sean ampliamente conocidos.
• Las coordenadas can´onicas nos brindan un m´etodo que nos permite solucionar de manera sistem´atica una EDO, siempre que sean conocidos los puntos de simetr´ıa que admite la ecuaci´on.
• Si entendemos una EDO de orden n como una superficie que corresponde a un espacio (n+ 2) dimensional cuyas coordenadas est´an dadas por la va- riable independiente, la variable dependiente y sus derivadas hasta el orden
n, entonces las simetr´ıas de una ecuaci´on diferencial consisten en grupos de transformaciones geom´etricas sobre este espacio y act´uan en sus soluciones mediante la transformaci´on de sus curvas soluci´on en nuevas curvas solucio- nes. Por lo tanto desde este punto de vista la geometr´ıa diferencial, la teor´ıa de grupos y el an´alisis son determinantes para comprender con profundidad el estudio de las simetr´ıas en las ecuaciones diferenciales.
• En el trabajo mostramos que para una EDO de primer orden los m´etodos de simetr´ıas proporcionan una manera sistem´atica para solucionar la ecuaci´on. Para las EDO de orden superior, en la teor´ıa de Lie se demuestra que si la ecuaci´on admite un grupo de transformaciones uniparam´etrico entonces el orden de la ecuaci´on puede ser reducido por uno, recuperando las soluciones originales de la ecuaci´on mediante la ecuaci´on reducida por una integraci´on. En el caso de las EDP los m´etodos de Lie proporcionan soluciones invariantes y leyes de conservaci´on. En [13] por ejemplo, se estudia la correspondencia
entre los grupos de simetr´ıa y las leyes de conservaci´on derivada del teorema de Noether.
Bibliograf´ıa
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