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Algoritmo para hallar la soluci´ on de una EDO

4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Simetr´ ıas De Lie

4.3. Algoritmo para hallar la soluci´ on de una EDO

Habiendo demostrado que toda EDO admite un grupo de transformaciones uni- param´etrico (Teorema 4.5 y 4.6) y descrito el m´etodo de las coordenadas can´oni- cas, obtenemos una manera sistem´atica para resolver una EDO.

Dada la EDO de primer orden

y0=f(x, y) podemos resolverla sistem´aticamente:

1. Solucionar la EDP determinante

ηx+ (ηy−ξx)f+ξyf2−fxξ−fyη= 0 hallando los infinitesimalesξyη.

2. A partir del generador que determinan ξ y η, expresar el grupo que deja invariante a la EDO en coordenadas can´onicas

3. Resolver la EDO en t´erminos de las coordenadas can´onicas

ds

dr =G(r) =

sx+syy0

rx+ryy0

·

4. Volver a las variables iniciales para obtener la soluci´on en t´erminos de (x, y). En los ejemplos de la Secci´on 4.2 se puede apreciar que hallamos las ecuaciones del grupo admitido o las funciones ξ y η por inspecci´on. Una vez conocidas las ecuaciones o los infinitesimales del grupo que deja invariante a la EDO, el algoritmo anterior nos entrega un esquema sistem´atico para resolver la EDO. Sin embargo, no existe una manera sistem´atica de encontrar aξyη para toda EDO, es decir, no existe un m´etodo que nos permita resolver siempre la EDP determinante. Encontr´andonos en esta situaci´on la teor´ıa de Lie aplicada a las ecuaciones diferenciales tiene otro punto a favor ya que estos m´etodos son alta- mente programables, en este sentido se han desarrollado muchos paquetes que nos permiten encontrar las expresiones deξyη de manera simb´olica, m´as a´un obtener en algunos casos la soluci´on general de la EDO.

Utilizando el software MAPLE podemos acceder a una gran variedad de coman- dos que nos permiten reducir notablemente los c´alculos para hallar los infinite- simales de simetr´ıa y resolver la EDO. En los pr´oximos ejemplos resolvemos en Maple algunos tipos de EDO siguiendo el esquema del algoritmo descrito. Ejemplo 4.10. EDO lineal homog´enea de primer orden. Para esta ecua- ci´on escribimos en Maple

CAP´ITULO 4. AN ´ALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETR´IAS 68 w i t h ( DEtools ) ; ODE := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x ) y ( x ) = 0 ;

symgen (ODE) ; d s o l v e (ODE, L i e ) ; y obtenemos simult´aneamente

d

dxy(x) +p(x)y(x) = 0

[ξ=x, η=y]

y(x) = c

eRp(x)dx

Con las herramientas de Maple, symgen(ODE) calcula los infinitesimales de simetr´ıa y dsolve(EDO, Lie) determina las funciones ξ yη de alg´un grupo de Lie que admita la EDO y luego utiliza esta informaci´on para resolver la EDO. Tambi´en podemos hallar las coordenadas can´onicas que determinanξyηcuando son conocidas.

w i t h ( DEtools , symgen , c a n o n i ) ;

c a n o n i ( [ x i = 0 , e t a = y ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;

{r=x, s(r) = ln(y(x))}

Finalmente vemos que los infinitesimales, las coordenadas can´onicas y la soluci´on general de la EDO coinciden con lo determinado en el Ejemplo 4.4.

Ejemplo 4.11. EDO lineal no homog´enea de primer orden. Al escribir las l´ıneas de c´odigo

w i t h ( DEtools ) ; EDO2 := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x )∗y ( x ) = q ( x ) ; symgen (EDO2, way = abaco2 ) ;

obtenemos

d

dxy(x) +p(x)y(x) =q(x)

h

ξ= 0, η=e−Rp(x)dxi

Por ´ultimo hallamos las coordenadas can´onicas para estos infinitesimales y re- solvemos la EDO c a n o n i ( [ x i , e t a ] , y ( x ) , s ( r ) ) ; d s o l v e (EDO2, ’ can ’ ) ; n r=x, s(r) =y(x)eRp(x)dxo y(x) = R q(x)eRp(x)dxdx+C eRp(x)dx Ejemplo 4.12. EDO de variables Separables

w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( x )∗g ( y ( x ) ) ; symgen (EDO, way = abaco2 )

d dxy(x) =f(x)g(y(x)) ξ= 1 f(x), η= 0

Finalmente hallamos la soluci´on general para hξ= f(1x), η= 0i·

d s o l v e (EDO, HINT = [ x i , e t a ] )

Z

f(x)dx−

Z y(x) da

g(a)+C= 0 Ejemplo 4.13. Ecuaci´on de Bernoulli

w i t h ( DEtools ) ;

EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x )∗y ( x ) = q ( x )∗y ( x ) ˆ n ;

d

dxy(x) +p(x)y(x) =q(x)y(x)

n

symgen (EDO, way = abaco1 ) ;

h

ξ= 0, η=eRp(x)(n−1)dxyni

symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

" ξ= e (n−1)(Rp(x)dx) q(x) , η=− yp(x)e(n−1)(Rp(x)dx) q(x) #

Ejemplo 4.14. EDO homog´enea de primer orden

w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( y ( x ) / x ) ; d dxy(x) =f y(x) x

Para esta EDO encontramos las siguientes soluciones de la EDP determinante symgen (EDO, way = 5 ) ;

h

ξ= 0, η=y−fy x

xi

symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

[ξ=x, η=y]

En el Ejemplo 4.5 hallamos los infinitesimales de simetr´ıa [ξ=x, η=y] a partir del grupo que encontramos. Las coordenadas can´onicas correspondientes son c a n o n i ( [ x i = x , e t a = y ] , y ( x ) , s ( r ) ) ;

CAP´ITULO 4. AN ´ALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETR´IAS 70 r=y(x) x , s(r) = ln(x) ·

En el pr´oximo ejemplo verificamos los resultados obtenidos para algunos de los ejemplos de la Secci´on 4.2.

Ejemplo 4.15. Consideremos la EDO de Riccati del Ejemplo 4.6 w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x ) / x+y ( x ) ˆ 2 / x ˆ2−1; d dxy(x) = y(x) x + y(x)2 x2 −1

Los infinitesimales son symgen (EDO) ; ξ= 0, η=−x+y 2 x

symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

[ξ=x, η=y] symgen (EDO, way = 4 ) ;

ξ= 0, η=x−y 2 x ,[ξ=x, η=y], ξ=x+y, η=x+y 3 x2

Utilizando las expresiones [ξ=x, η=y] encontramos la soluci´on general de la EDO

d s o l v e (EDO, HINT = [\x i=x ,\e t a=y ] ) ;

y(x) = x(x

2+C)

C−x2

y en efecto coincide con la soluci´on hallada en el Ejemplo 4.6. Para la EDO del Ejemplo 4.7

EDO1 := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x)ˆ2−y ( x ) / x−1/(4∗x ˆ 2 ) d dxy(x) =y(x) 2y(x) x − 1 4x2

encontramos las soluciones de la EDP determinante symgen (EDO) ; ξ= 0, η=−4x 3y2+x x2 , ξ= 0, η= − 1 4+yx−y 2x2 x2

ξ= 1, η= −1 2x2

symgen (EDO, way = 3 ) ;

[ξ=x, η=−y], ξ=−x 2 2 , η=yx+ 1 4

Por ´ultimo, utilizando las soluciones [ξ=x, η=−y] obtenemos la soluci´on ge- neral de la EDO d s o l v e (EDO, HINT = [ x i = x , e t a = −y ] ) ; y(x) =1 2 C+x x(C−x)· Finalmente para la EDO del Ejemplo 4.8

EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x )ˆ2−2∗x∗y ( x)+1+x ˆ 2 ;

d

dxy(x) =y(x)

22xy(x) + 1 +x2

las soluciones de la EDP determinante son symgen (EDO, way=abaco2 ) ;

[ξ= 1, η= 1] symgen (EDO, way = 5 ) ;

ξ= 0, η= (x−y)2

,

ξ= 0, η= (x2−xy−1)(x−y)

Las coordenadas can´onicas para [ξ= 1, η= 1] y ξ= 0, η= (x−y)2 son res- pectivamente c a n o n i ( [ x i =1 , e t a = 1 ] , y ( x ) , s ( r ) ) ; {r=−x+y(x), s(r) =x} c a n o n i ( [ x i = 0 , e t a = ( x−y ) ˆ 2 ] , y ( x ) , s ( r ) ) r=x, s(r) = 1 x−y(x))

Por lo tanto la soluci´on general de la EDO viene dada por d s o l v e (EDO, HINT = [ 1 , 1 ] ) ;

y(x) = Cx+x

21

x+C

Podemos tambi´en tratar de hallar la soluci´on general para ξ= 0, η= (x−y)2 y obtendremos el mismo resultado

CAP´ITULO 4. AN ´ALISIS DE EDO MEDIANTE SIMETR´IAS 72

y(x) = Cx+x

21

x+C

Observaci´on 4.6. En los ´ultimos ejemplos hemos visto que una EDO de primer orden puede admitir m´as de un grupo de transformaciones uniparam´etrico, esto se debe a que la EDP determinante puede tener m´as de una soluci´on y de hecho infinitas. Usualmente se consideran las soluciones m´as simples, sobre todo si estamos realizando los c´alculos manualmente.

Ejemplo 4.16. Resolver la EDO w i t h ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+y ( x ) ˆ 2∗s i n ( x ) = 2∗s i n ( x ) / c o s ( x ) ˆ 2 ; d dxy(x) + sen(x)y(x) 2= 2 sen(x) cos2(x)

Podemos utilizar el comando odeadvisor(EDO) para tratar determinar que tipo de ecuaci´on es EDO

o d e a d v i s o r (EDO) ;

[Riccati] Las soluciones para la EDP determinante son symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

ξ= 0, η= cos2(x)(ycos(x) + 2)2 , ξ= cos(x) sen(x), η=y

Luego para la soluci´onhξ= sen(cos(xx)), η=yiobtenemos las coordenadas can´onicas y la soluci´on general para EDO

c a n o n i ( [ x i=c o s ( x ) / s i n ( x ) , e t a=y ] , y ( x ) , s ( r ) ) {r=y(x) cos(x), s(r) =−ln(cos(x))} d s o l v e (EDO, HINT = [ x i = c o s ( x ) / s i n ( x ) , e t a = y ] ) y(x) =− 2Ccos 3(x) + 1 cos(x)(Ccos3(x)1)·

Ejemplo 4.17. Resolver la EDO

w i t h ( DEtools ) ; PDEtools [ d e c l a r e ] ( y ( x ) , prime = x ) ; EDO:= x∗( d i f f ( y ( x ) , x ) )∗l n ( x )∗s i n ( y ( x ) )

+c o s ( y ( x ))∗(1−x∗c o s ( y ( x ) ) ) = 0 ;

xy0ln(x) sen(y) +cos(y)(1−xcos(y)) = 0 o d e a d v i s o r (EDO) ;

[rational,[Abel,2nd type,class B] Encontramos la soluciones para la EDP determinante symgen (EDO, way = abaco2 ) ;

[ξ=x2+ 4x, η=x(y+ 4)] symgen (EDO) ; ξ= 0, η=(x−y)(x−2y−4) y+ 4 , ξ= 0, η=−(y 2+ 4x)(xy) x(y+ 4)

Las correspondientes coordenadas can´onicas parahξ= 0, η= (x−y)(yx+4−2y−4)iest´an dadas por c a n o n i ( [ x i , e t a ] , y ( x ) , s ( r ) ) ; r=x, s(r) = ln(−x+y)−1 2ln(y 2+ 4x)

Por lo tanto la soluci´on general para esta EDO de Abel es

d s o l v e (EDO, HINT = [ 0 , (−x∗yˆ2+yˆ3−4∗xˆ2+4∗x∗y ) / ( x∗( y + 4 ) ) ] ) ;

y=Cx+ √ Cx2+ 4Cx4x C−1 , y=− −Cx+√Cx2+ 4Cx4x C−1 ·

Conclusiones y

Recomendaciones

• Los grupos de transformaciones de Lie son clave para comprender la natu- raleza de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Existen t´ecnicas para obtener soluciones generales de EDO, pero la mayor´ıa de ellas no son m´as que casos especiales de algunos m´etodos fuertes de simetr´ıas. Adem´as a diferencia de esas t´ecnicas que muchas veces son presentadas como t´ecnicas especiales si aparente relaci´on, los m´etodos de la teor´ıa de Lie se pueden aplicar a cual- quier tipo desconocido de EDO, encontrando primero el grupo de simetr´ıa de la ecuaci´on y luego utilizandolo para construir soluciones exactas. Por todo esto resulta un tanto sorprendente que estos m´etodos de simetr´ıa no sean ampliamente conocidos.

• Las coordenadas can´onicas nos brindan un m´etodo que nos permite solucionar de manera sistem´atica una EDO, siempre que sean conocidos los puntos de simetr´ıa que admite la ecuaci´on.

• Si entendemos una EDO de orden n como una superficie que corresponde a un espacio (n+ 2) dimensional cuyas coordenadas est´an dadas por la va- riable independiente, la variable dependiente y sus derivadas hasta el orden

n, entonces las simetr´ıas de una ecuaci´on diferencial consisten en grupos de transformaciones geom´etricas sobre este espacio y act´uan en sus soluciones mediante la transformaci´on de sus curvas soluci´on en nuevas curvas solucio- nes. Por lo tanto desde este punto de vista la geometr´ıa diferencial, la teor´ıa de grupos y el an´alisis son determinantes para comprender con profundidad el estudio de las simetr´ıas en las ecuaciones diferenciales.

• En el trabajo mostramos que para una EDO de primer orden los m´etodos de simetr´ıas proporcionan una manera sistem´atica para solucionar la ecuaci´on. Para las EDO de orden superior, en la teor´ıa de Lie se demuestra que si la ecuaci´on admite un grupo de transformaciones uniparam´etrico entonces el orden de la ecuaci´on puede ser reducido por uno, recuperando las soluciones originales de la ecuaci´on mediante la ecuaci´on reducida por una integraci´on. En el caso de las EDP los m´etodos de Lie proporcionan soluciones invariantes y leyes de conservaci´on. En [13] por ejemplo, se estudia la correspondencia

entre los grupos de simetr´ıa y las leyes de conservaci´on derivada del teorema de Noether.

Bibliograf´ıa

[1] BARTLE, ROBERT GARDNER y SHERBERT, DONALD R. Introduc- ci´on al an´alisis matem´atico de una variable. Limusa Wiley, Tercera Edici´on, M´exico, 2010.

[2] BLUMAN, GEORGE and ANCO, STEPHEN. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. Sringer Verlag, Second Edition, New York, 2002.

[3] BLUMAN, GEORGE and KUMEI, SUKEYUKI.Symmetries and Differen- tial Equations. Sringer Verlag, Second Edition, New York, 1989.

[4] BOOTHBY, WILLIAM MUNGER.An Introduction to Differentiable Ma- nifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1975. [5] CAMPOS, ALBERTO.Iniciaci´on en el An´alisis de Ecuaciones Diferenciales

Mediante Grupos de Lie. Universidad Nacional de Colombia, Prepublicaci´on, Colombia, 1995.

[6] DANIEL MARTIN.Manifold Theory: An Introduction to Mathematical Phy- sicists. Horwood Publishing Limited, Chichester, England, 2002.

[7] DORRONSORO, JOS ´E y HERN ´ANDEZ, EUGENIO.N´umeros, Grupos y Anillos. Addison Wesley/Universidad Aut´onoma de Madrid, Espa˜na, 1996. [8] FRALEIGH, JHON B.A First Course in Abstract Algebra. Addison Wesley,

Seventh Edition, 2002.

[9] ISHAM, CHRIS J. Modern Differential Geometry for Physicists. World Scientific, London, England, 2001.

[10] LEE, JHON M. Introduction to Topological Manifolds. Springer Verlag, New York, 2000.

[11] LEE, JHON M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer Verlag, New York, 2002.

[12] LIMA, ELON LAGES.Curso de An´alise. Impa, Volumen I, Rio de Janeiro, S´etima Edicao, 1992.

[13] OLVER, PETER J.Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer Verlag, Second Edition, New york, 1993.

[14] ROSS, SHEPLEY L. Differential Equations. Wiley, Third Edition, New York, 1984.

[15] RUDIN WALTER. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, Third Edition, 1964.

[16] SIMMONS, GEORGE FINLEY.Differential Equations with Applications and Historical Notes. McGraw-Hill, Second Edition, 1991.

[17] WARNER, FRANK W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer Verlag, New York, 1983.

[18] YU TAKEUCHI, RAMIREZ ARTURO y RUIZ CARLOS.Ecuaciones Di- ferenciales. Editorial Limusa, Tercera Edici´on, M´exico, 1982.

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