Algoritmo para dominaci´on conexa en MOP’s serpentinos

El algoritmo que a continuaci´on se define parte de un grafo periplano maximal ser- pentino y construye un conjunto dominante conexo de cardinal m´ınimo del mismo. Descripci´on del algoritmo

Entrada: Un grafo periplano maximal serpentino G.

Salida: Un conjunto S dominante conexo de G de cardinal m´ınimo. Estrategia

Paso 1. Sea u y v los dos v´ertices de grado dos de G. Calcular el camino m´ınimo P desde u hasta v.

Paso 2. Seleccionar como v´ertices dominantes todos aquellos v´ertices pertenecien- tes a P a excepci´on de u y v.

u

v

Figura 6.5: Conjunto dominante conexo m´ınimo

Demostraci´on: En primer lugar es inmediato comprobar que el conjunto G[S] es un camino y por tanto conexo. Adem´as, S es un conjunto dominate porque todos los tri´angulos del MOP G tienen un v´ertice en el camino m´ınimo P . Como P es el camino m´ınimo, el cardinal de S es m´ınimo tambi´en.

Complejidad: La complejidad del algoritmo es O(n).

La construcci´on de un camino m´ınimo P en un MOP serpentino se realiza en tiempo lineal.

Conclusiones

A la vista de los resultados y motivaciones expuestos en este extenso trabajo reco- pilatorio sobre algunas variantes del par´ametro de dominaci´on, queda patente el largo camino que queda a´un por recorrer en este campo y el potencial que se esconde tras este aparentemente sencillo concepto de la dominaci´on ya que siguen siendo muchas las cotas que quedan a´un por determinar y muchos los algoritmos por construir.

A lo largo de este trabajo, se ha demostrado la gran importancia que tiene llevar a cabo este estudio tanto desde un punto de vista combinatorio como algor´ıtmico y la in- formaci´on que ambas perspectivas proporcionan.

Podr´ıa prolongarse el estudio de estas mismas variantes aqu´ı expuestas restringi´endo- lo esta vez a otro tipo particular de grafos que, al igual que los MOP’s, reciban especial importancia en la literatura cient´ıfica. Y es que son muchas las clases de grafos que han llamado la atenci´on de los investigadores por tener una aplicaci´on real pr´actica en la mo- delizaci´on de algunos problemas al igual que la propia dominaci´on.

Adem´as, con el paso del tiempo surgen tambi´en nuevos problemas y nuevas variantes que atienden a las exigencias de estos. Por ello, a d´ıa de hoy, existe un amplia variedad de variantes del par´ametro de dominaci´on pendientes de resolver, no s´olo para MOP’s, sino para grafos mucho m´as sencillos.

En definitiva, las conjeturas y las preguntas surgen con m´as rapidez que las soluciones, m´as a´un en un campo tan flexible como este, por lo que son muchos los frentes desde el cual podemos abordar el problema, ya bien sea desde nuevas perspectivas o respondiendo a viejas preguntas a´un sin resolver.

Por ´ultimo, querr´ıa hacer tambi´en un conclusi´on m´as personal de este trabajo. Una vez finalizado este proyecto, puedo concluir que he aprendido en estos meses mucho m´as que en los ´ultimos a˜nos y que tambi´en este trabajo me ha hecho conocer lo mucho que me queda a´un por aprender. La aportaci´on que me llevo de este proyecto no es s´olo a nivel acad´emico y profesional, sino tambi´en a nivel personal. Gracias a este trabajo me he adentrado en el fascinante mundo de la Teor´ıa de Grafos, en el mundo de la investigaci´on, de las publicaciones y de los congresos. He formado parte de un equipo real de investigadores y he trabajado codo con codo con ellos nutri´endome de su experiencia y conocimientos. Por todo ello, he crecido como persona y como estudiante.

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