Aprendizajes esperados:

Calcula la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

Semana 36 y 37 (10 sesiones) 50 min. por sesión

pp. 225-233

Cuaderno, computadora con hoja de cálculo, dados.

Inicio

Desde las primeras situaciones de la lección, los alumnos tendrán que aplicar prácticamente todo lo que han aprendido hasta ahora en la secundaria sobre probabilidad. En el juego con el dado de colores, las preguntas llevan a la cuestión de si alguno de los jugadores tiende a ganar y el otro a perder, o si sus ganancias son aproximadamente iguales cuando se juega muchas veces. Para generar datos, pueden utilizar un dado electrónico (en la sección TIC se recuerda cómo formular y usar un dado usando una hoja de cálculo), o lanzar un dado físico 20 o más veces. Otra pregunta lleva a identificar posibles cambios de estrategia de uno de los jugadores, mientras una más plantea la posibilidad de modificar el juego. Permita que en el grupo se discutan estas cuestiones, pero no es necesario que al término del Reto se alcancen ya soluciones claras al respecto; esto se resolverá en las siguientes secciones.

Desarrollo

Se introduce la nueva situación de juego de las cajas, y se van analizando en detalle ambas situaciones. Se llega a una definición de lo que constituye un juego justo o uno injusto. Pueden seguirlo por parejas.

La probabilidad del evento con que un jugador gana, es mayor que la probabilidad del evento del jugador que va perdiendo, a medida que se juega repetidas veces; esto es un juego injusto. Para que el juego sea justo, una forma de lograrlo es modificando los eventos para que sus probabilidades sean iguales; esto se puede conseguir si, por ejemplo, Alejandra cambia su forma de apostar y escoge otro color, sería un cambio de estrategia: las reglas del juego siguen siendo las mismas.

Otras formas de convertir un juego en justo, es alterando el experimento aleatorio mismo; esto puede efectuarse cambiando las reglas, o incluso el dispositivo o elementos con los que se juega. Finalmente, está la posibilidad de que los jugadores desempeñen los papeles del lado ganador y perdedor de manera alternada, de modo que a lo largo de las repeticiones del juego, se vayan equilibrando las ganancias de ambos.

Unos minutos para pensar

Sesgos al resolver problemas de probabilidad

Tanto profesores como investigadores se interesan por explicar por qué el alumno se equivoca cuando se le pide realizar ciertas tareas.

Cuando no se trata de una simple distracción u olvido, se considera que esa tarea resultó demasiado difícil para el alumno. Pero las

dificultades no siempre se presentan de manera imprevista, con frecuencia encontramos errores que se repiten. La investigación

didáctica pretende identificar y explicar estos errores, los cuales frecuentemente son debidos a las creencias de los alumnos.

Es el caso de la enseñanza y aprendizaje de conceptos probabilísticos, en numerosos estudios se han identificado y caracterizado

diferentes errores al estimar y calcular la probabilidad de algunos eventos. Son estrategias por medio de las cuales las personas –no sólo

estudiantes– reducen un problema complejo a otro más simple, lo cual puede en ocasiones producir una estimación razonable de la

probabilidad de un evento, pero que también puede resultar en errores sistemáticos de estimación. A continuación se describen cuatro

de los más comúnmente encontrados.

Con la representatividad, la persona considera la posibilidad de un evento basado en su similitud con la población o el proceso a partir

del cual se origina. Se supone que cada serie de repeticiones del experimento debe reproducir –o representar– todas las características

de la población. Por ejemplo, se cree que la probabilidad de águila aumenta –es más de ½– si después de seis lanzamientos seguidos

ha salido sol; es decir, se espera que aumente la probabilidad del resultado contrario en la siguiente repetición; esta creencia se conoce

también como la “falacia del jugador”.

La estrategia de disponibilidad –o de accesibilidad– consiste en creer que un resultado determinado es más probable según que se

recuerden o tengan presentes casos similares. Si se solicita encontrar la probabilidad de sufrir un accidente de tránsito, o de tener éxito

al escribir una canción, la estimación puede depender del contacto personal con eventos similares a través de amigos o familiares, o de

noticias al respecto.

Unos minutos para pensar

El sesgo de equiprobabilidad se describe como la creencia de que todos los resultados de cualquier experimento aleatorio son

igualmente probables, incluso aquellos en los cuales no existe simetría física. Para quienes presentan este sesgo, los resultados de una

experiencia aleatoria no se pueden predecir (“puede salir cualquier cosa”, suelen comentar), por ello concluyen que el resultado depende

del azar, y que todos los posibles resultados son equiprobables. Por ejemplo, se considera que al lanzar dos dados simultáneamente, hay

la misma probabilidad de obtener un 5 y un 6, que de obtener un doble 5.

En el sesgo del resultado aislado, ante una pregunta específica sobre la probabilidad de un evento, se considera que lo que hay que

hacer es predecir si el suceso ocurrirá o no. Por ejemplo si en un pronóstico meteorológico se da una probabilidad de lluvia de 70 %,

muchos consideran que lloverá ese día; si no llueve, pensarán que el meteorólogo se equivocó. Evalúan las probabilidades comparándo-

las con los valores de 0 %, 50 % y 100 %. Si una probabilidad se acerca a los extremos de 0 % o 100 %, dirán que el evento es imposible o

seguro. Sólo si se acerca al 50 % dirán que el evento es verdaderamente aleatorio.

Todos estos estudios nos recuerdan la importancia del conocimiento previo de las concepciones de los estudiantes. No es tarea sencilla

superar las concepciones erróneas. Se ha encontrado que las clases expositivas pueden no ser la manera más efectiva de enfrentarlas,

y que posiblemente esto se logre a través del trabajo en equipos y con actividades donde los alumnos realicen experimentos, recojan

datos, los organicen y analicen, y puedan formular conclusiones que ellos expresen en forma de principios o modelos.

Adaptado con fines educativos de:

Serrano, L., Batanero, C., Ortiz, J, J. y Cañizares, M. J. (1998). “Heurísticas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los estudiantes de

secundaria”. Educación matemática, 10(1), 7-25.

Unos minutos para pensar

Evaluación formativa

La evaluación formativa ha sido caracterizada según el tipo de ins-

trumentos que utiliza, por el momento en que se realiza y por el

foco en los procesos más que en los resultados. Pero lo que define

la distinción entre evaluación formativa y evaluación sumativa, y

las constituye en evaluaciones esencialmente distintas, es su fina-

lidad. La evaluación formativa tiene como finalidad movilizar el

aprendizaje y es parte de los procesos de enseñar y de aprender. La

evaluación sumativa tiene como finalidad certificar el aprendizaje,

dar cuenta en forma pública de lo logrado por cada estudiante. La

distinción entre ambas, por tanto, no radica en los instrumentos,

ni en el momento en que se realiza, ni en los aspectos evaluados.

Un examen puede ser utilizado de manera formativa, si no va a ser

calificado para constatar lo logrado por los estudiantes hasta ese

momento y decidir cómo avanzar. Asimismo, la observación de los

procesos de trabajo de un estudiante a lo largo del tiempo, puede

ser utilizada como elemento de juicio para calificarlo o certificar su

nivel de logro.

Adaptado con fines educativos de: Ravela, Pedro, Beatriz Picaroni

y Graciela Loureiro. ¿Cómo mejorar la evaluación en el aula?, SEP/

INEE, México, 2017, pág. 148.

Evaluación PISA

La evaluación de PISA se centra en tres áreas que tradicionalmen-

te se han considerado claves para el aprendizaje en todos los sis-

temas educativos: Ciencias, Lectura y Matemáticas. Sin embargo,

la evaluación no es curricular, sino basada en competencias. Esto

es, en términos de las habilidades, destrezas y actitudes de los es-

tudiantes para analizar y resolver problemas, para manejar infor-

mación y para responder a situaciones reales que se les pudieran

presentar en el futuro. El modelo de evaluación de PISA está cen-

trado en el concepto de literacy (aptitud o competencia, aunque

en diferentes países ha sido traducido como cultura, formación,

alfabetización o habilidad). En México, este concepto se ha mane-

jado como competencia y definido como “un sistema de acción

complejo que abarca las habilidades intelectuales, las actitudes y

otros elementos no cognitivos, como motivación y valores, que

son adquiridos y desarrollados por los individuos a lo largo de su

vida y son indispensables para participar eficazmente en diversos

contextos sociales”.

Adaptado con fines educativos de:

PISA en el aula: Matemáticas, Instituto Nacional

para la Evaluación de la Educación, México, 2008,

pp. 29 y 30.

1. ¿La siguiente afirmación es correcta? “La suma de dos números

naturales consecutivos cualesquiera es divisible por 2”

De ser verdad justifica la respuesta, de lo contrario reescribe la

afirmación de tal manera que sea verdadera y menciona algunos

ejemplos.

2. Un diseñador industrial debe presentar un boceto para elaborar

vasos cilíndricos elaborados con un polímero ultratransparente

y de gran resistencia a las rayaduras, cuya altura se indica en la

figura.

3. Adela deja caer una pelota de un edificio cuya altura es de

50 m y desea saber el tiempo t que tardará en chocar contra el

piso.

La relación entre el tiempo t que tarda en caer un cuerpo en

caída libre desde una altura h se puede representar por medio

de la expresión algebraica:

1

h= 2 gt² donde g es la constante de gravitación debida a la

fuerza de atracción terrestre y su valor es 9.81 m/s²

¿Cuánto tiempo tardará en llegar al piso la pelota que dejó caer

Adela del edificio?

4. Para resolver este problema: “El largo de un terreno es 30 m

mayor que su ancho. Si su área es de 400 m², ¿cuánto miden

los lados del terreno?”, dos estudiantes comparan las ecuaciones

que planteó cada quien.

Ecuación del estudiante A: x(x + 30) = 400

Ecuación del estudiante B: x² + 30x + 400 = 0

¿Con ambas ecuaciones se puede resolver el problema

planteado? Explica tu respuesta.

7 cm

r

Examen

1

Respuesta: la suma de dos números naturales

consecutivos es divisible entre 2, si y sólo si los dos son

pares o impares.

a) Escribe una ecuación en su forma general para hallar el valor

de x en la figura.

b) Usa la solución que tiene sentido en el contexto del

problema y escribe cuáles son las medidas de los lados del

rectángulo.

6. La siguiente gráfica representa la relación entre la medida del

radio y el área del círculo.

a) ¿Cómo es la relación entre la medida del radio y la del

área del círculo: lineal o cuadrática?

¿Por qué?

b) Si la medida del radio se encuentra entre 4 cm y

5 cm, ¿en qué intervalo se encuentra la medida del área?

c) Si la medida del área se encuentra entre 30 cm² y 50 cm², ¿en

qué intervalo se encuentra la medida del radio?

x 3x 2 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Medida del radio (cm)

Me di da d el á re a (c m)

Respuesta: a) 3x² + 3.5x + 1; b) 14 u de largo y 4.5 u de

ancho.

Respuesta: a) Cuadrática, porque es una función

1. La gráfica siguiente representa la distancia recorrida en cada

momento por tres automóviles que realizaron el mismo viaje:

• ¿En qué orden llegaron los automóviles al destino?

a) A, B, C b) A, C, B

c) C, A, B

d) Llegaron al mismo tiempo

• ¿Cuál automóvil hizo todo el viaje a velocidad constante?

• ¿Cuál automóvil aceleró durante una parte de su viaje?

a) El A

b) El B

c) El C

d) Ninguno

• ¿Cuál automóvil aceleró durante todo el viaje?

a) El A

b) El B

c) El C

d) Ninguno

2. En la escuela hay un torneo de futbol rápido. Al iniciar cada

partido, todos los jugadores de un equipo tienen que saludar

a todos los miembros del otro.

• Encuentra la expresión algebraica que relaciona el total de salu

dos y con el número de jugadores x de uno de los equipos, y

donde el otro equipo tiene dos jugadores menos.

a) y=2x²

b) y=2(x-2)² c) y=x² (x-2)

d) y=x²-2x

• ¿Cuál de las siguientes gráficas representa esta relación?

a)

Examen

2

e s alu do s

Tiempo (minutos)

D

ist

an

ci

a(k

m)

100 80 60 40 20 20 40 60 80 100 120 140 160 A B C 80 60

c)

3. La siguiente expresión algebraica representa la relación entre dos cantidades:

-1

y= x²- 4x

2

• Selecciona la gráfica que representa la relación anterior:

a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Número jugadores 1er equipo

To ta l d e s alu do s

Número jugadores 1er equipo

To ta l d e s alu do s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 60 50 40 30 20 10

Número jugadores 1er equipo

To ta l d e s alu do s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 50 40 30 20 10 –4 -2 0 2 4 6 8 10 12 10 5 0 -5 -10 -15 -20 y x

b)

c)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 y x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 x y -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 10 5 0 -5 -10 -15 -20 y x

d)

• El eje de simetría de la gráfica es la recta:

a) x=-8

b) x=-4 c) x=0

d) x=4

• Los valores de x donde la gráfica de esta relación corta al eje de

las X son:

a) −8, 0

b) −8, –4

c) −4, 0

d) No corta el eje de las X

• La relación tiene un máximo en el punto:

a) (4, –24)

b) (0, 0)

c) (−4, 8)

d) (–8, 0)

Justifica tu respuesta.

A

B

anote, la altura de la pelota sobre el nivel del piso está dada por la

expresión:

y= –4.9t2 + 7.52t + 2

donde la altura y está en metros y el tiempo t en segundos a partir

de que la pelota es lanzada.

• La canasta está a 3.05 m. de altura ¿En qué momentos la pelota

se encuentra a la altura de la canasta?

a) 0.07 s, 1.55 s

b) 0.10 s, 1.21 s

c) 0.16 s, 1.38 s

d) 0.24 s, 1.65 s

• ¿Cuál es la altura máxima de la pelota en su trayectoria hacia la

canasta?

a) 5.53 m

b) 5.08 m

c) 4.89 m

d) 4.45 m

1 2 3 4 5 6 1 2 3 0

3.05 m

C

D

En el caso todos los rectángulos son semejantes

6. Dos de los siguientes triángulos rectángulos son semejantes, indica

cuáles y justifica tu respuesta

Los triángulos semejantes son el y el

7. La razón de semejanza entre los triángulos I y II es de 3/2, escribe el

valor de cada literal.

x

y

I 3u 49º II 1.5u 50º 4u III 41º IV 45º 3u 4.4u 5.8u I 100º x u II 11.7u y u z u g 47º

C

Porque las

I

III Por el criterio de

semejanza A,A.

7.8

6.6

Examen

3

• La desviación media de los tiempos de espera en la línea B fue

de:

a) 1.60 min.

b) 1.72 min

c) 2.12 min

d) 2.27 min

• Explica brevemente en tu cuaderno cómo puede distinguir

Jerónimo los conjuntos de tiempos de espera de las dos líneas

de autobuses. ¿Cuáles medidas –de tendencia central o de

dispersión– le permiten decidir cuál de las dos líneas le

conviene tomar? ¿Por qué?

2. Se llevó a cabo una encuesta en la escuela, para saber cuántos

alumnos y alumnas de tercer grado viven en las dos colonias más

cercanas o en alguna otra. Se encontró lo siguiente:

Si se selecciona al azar un alumno de tercero:

• ¿Cuáles de los siguientes eventos son singulares?

a) A, B

b) B, C

c) B, D

d) B, C, D

1. Jerónimo puede viajar en cualquiera de dos líneas de autobús para

llegar a su escuela cada mañana. Llega a la parada todos los días a

la misma hora, y en ambas líneas el viaje toma aproximadamente el

mismo tiempo.

Registró durante un mes el tiempo en minutos que tuvo que

esperar los autobuses de cada línea:

• En la línea A, ¿cuáles son las medidas de tendencia central del

tiempo de espera en minutos? (Media aritmética, mediana y

moda)

a) 8.5, 9, 8

b) 9, 10, 9

c) 9.5, 9, 9

d) 9.5, 10, 9

• Para la línea B, ¿cuáles son las medidas de tendencia central

del tiempo que Jerónimo tuvo que esperar? (Media aritmética,

mediana y moda)

a) 5, 5, 5

b) 5.6, 5, 5

c) 5.6, 5.5, 5

d) 6, 5.5, 5.5

• La desviación media de los tiempos de espera en la línea A

fue de:

a) 1.29 min

b) 1.75 min

c) 2.15 min

d) 2.32 min

Linea A 9 11 7 8 14 10 9 6 8 13 Linea B 5 6 4 8 10 5 5 4 7 2 9 10 Mujeres 14 11 3 28 Hombres 6 7 7 20 Total 20 18 10 48 Vive en colonia X Vive en colonia Y Vive en otra colonia Total

Respuesta variable, según lo

realizado por el alumno.

A: que sea hombre.

B: que sea mujer y viva en colonia Y.

C: que viva en la colonia X o en la Y.

D: que no viva en colonia X ni en otra, y sea hombre.

• Formando pares con los siguientes eventos, ¿cuáles pares son

mutuamente excluyentes?

a) Los pares E-F y F-G

b) El par E-G

c) Los pares E-G y F-G

d) El par E-F

E: es hombre y vive en colonia X o colonia Y.

F: vive en otra colonia.

G: es mujer.

• Calcula la probabilidad de la unión de los siguientes pares de

eventos.

 Vive en colonia Y; es mujer y vive en colonia X.

7

9

16

23

a) 24

b) 24

c) 24

d) 24

 Es hombre y vive en colonia X o en Y; es mujer y vive en otra

colonia.

3

8

15

15

a) 24

b) 24

c) 24

d) 16

• Determina si esta forma de decidir es justa o injusta para alguna

de las amigas; explica brevemente tu respuesta.

• Si la manera como deciden quién paga no es justa, encuentra

otra forma de decidir que sí lo sea. Si ya es justa, modifica el

procedimiento para que sea injusto y favorezca a una de ellas.

Explica brevemente en tu cuaderno.

4. Escribe el Teorema de Pitágoras y menciona en cuáles de los

diferentes tipos de triángulos se puede aplicar. Justifica tu respuesta

• El Teorema de Pitágoras dice:

• Se puede aplicar en los triángulos:

5. ¿Si un globo aerostático mide 23 m desde el suelo hasta la corona

Acutángulos

a

b

c

Rectángulos

a

b

c

Obtusángulos

a

b

c

Respuesta

variable, según lo realizado por el alumno.

Respuesta

variable, según lo realizado por el alumno.

a2 + b2 = c2 o “La suma de

los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa.

• La altura del piso a la canasta es de metros.

• La altura del piso a la corona del globo es de metros.

6. Observa el siguiente triángulo y escribe las razones trigonométricas

que se piden.

sen (A) =

cos (A) =

tan (A) =

sen (B) =

cos (B) =

tan (B) =

y la altura de la antena. Considera tan (48) = 1.11

• Altura del edificio metros.

• Altura de la antena metros.

60 m

75 m

x

A

c

b

a

C

B

y

x

3

º

45

º

60m

45

68

a/c

b/c

a/b

b/c

a/c

b/a

60

6.6

Rúbrica

Redacte los indicadores de logro con base en los aprendizajes esperados del trimestre 1.

Nombre del evaluado:

Fecha:

Trimestre 1

Indicadores de logro

Aprendizajes esperados

Destacado

Satisfactorio

Suficiente

Insuficiente

Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifica la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Rúbrica

Redacte los indicadores de logro con base en los aprendizajes esperados del trimestre 2.

Nombre del evaluado:

Fecha:

Trimestre 2

Indicadores de logro

Aprendizajes esperados

Destacado

Satisfactorio

Suficiente

Insuficiente

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Diferencia las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.

Construye polígonos semejantes. Determina y usa criterios de semejanza de triángulos.

Rúbrica

Redacte los indicadores de logro con base en los aprendizajes esperados del trimestre 3.

Nombre del evaluado:

Fecha:

Trimestre 3

Indicadores de logro

Aprendizajes esperados

Destacado

Satisfactorio

Suficiente

Insuficiente

Formula, justifica y usa el teorema de Pitágoras.

Resuelve problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Compara la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.

Calcula la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

Nombre del evaluado:

Fecha:

Cuadro de evidencias

Fecha

Actividades / Productos

Criterios de evaluación

Observaciones

Calificación

Total

Promedio

Nombre del evaluado:

Fecha:

Cuadro de evidencias

Nombre del evaluado:

Fecha:

Cuadro de evidencias

Fecha

Actividades / Productos

Criterios de evaluación

Observaciones

Calificación

Total

Promedio

Bibliografía para el profesor

Bello, I. (1999). Álgebra elemental. S/d: International Thomson Editores.

Colegio Nacional de Matemáticas (2008). Matemáticas simplificadas. (Segunda edición). México: Pearson.

Courant, R. y Robbins, H. (1962). ¿Qué es la matemática? Madrid: Aguilar.

Díaz G. J., Batanero, M. C. y Cañizares, M. J. (1996). Azar y probabilidad. Madrid: Síntesis.

De la Peña, J. A. (1999). Álgebra en todas partes. México: Fondo de Cultura Económica.

De la Peña, J. A. (Compilador). (2002). Algunos problemas de la educación en matemáticas en México. México: Siglo XXI-UNAM.

Editorial Planeta (1992). Nueva Enciclopedia Temática Planeta. Matemáticas. Barcelona: Planeta.

Fendel, D., Resek, D., Alper, L. y Fraser, S. (1997). Interactive Mathematics Program. Berkeley: Key Curriculum Press.

Filloy, E. (1998). Didáctica e historia de la geometría euclidiana. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Filloy, E. (Coordinador) (2003). Matemática educativa. Aspectos de la investigación actual. México: Fondo de Cultura Económica-Cinvestav.

Grupo Azarquiel (1993). Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid: Síntesis.

Gustafson, D. R. (1997). Álgebra intermedia. S/d: International Thomson Editores.

Guillén, G. (1991). El mundo de los poliedros. Madrid: Síntesis.

Orton, A. (2003). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Ediciones Morata-Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.

Parra, C. y Saiz, I. (Compiladoras) (1994). Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.

Secretaría de Educación Pública (2011). Programas de Estudio 2011. Educación básica. Secundaria. Matemáticas. México.

In document Matemáticas 3. Guía del docente. Roberto Villaseñor Spreitzer Víctor Manuel García Montes José Luis Hernández Palomino. prohibida su venta (página 67-90)