Ahora nos ocupamos de una propiedad relacionada con las clausuras enteras (en t´erminos de anillos) o con las normalizaciones (en t´erminos de esquemas). Definici´on 3.11 Sea Aun dominio ´ıntegro noetheriano y K su cuerpo de co- cientes. Diremos queA cumple la propiedadN1 si la clausura entera de Aen K es unA-m´odulo finitamente generado. Diremos queA cumple la propiedad N2 si, para toda extensi´on finita L deK, la clausura entera de A enL es un A-m´odulo finitamente generado. Diremos que un anillo noetheriano B es un
anillo de Nagatasi, para todo ideal primopdeB, el dominio ´ıntegroB/ptiene la propiedadN2.
Estas propiedades se conservan por localizaci´on. Para probarlo, conviene observar un hecho elemental:
Teorema 3.12 Sea A un dominio ´ıntegro, sea K su cuerpo de cocientes, sea
L/K una extensi´on finita, sea B la clausura entera de A enL y seaS⊂A un conjunto multiplicativo. Entonces, la clausura entera deS−1Aen Les S−1B.
Demostraci´on: Si x ∈ L es entero sobre S−1A, entonces satisface una ecuaci´on de la forma xn+a1 sx n−1+a2 s x n−2+· · ·+a0 s = 0,
de donde se sigue que snx ∈ B, luego x ∈ S−1B. El rec´ıproco se prueba an´alogamente.
Con esto podemos probar:
Teorema 3.13 Toda localizaci´on de un anillo con la propiedad N1, N2 o de Nagata cumple la misma propiedad.
Demostraci´on: SeaAun dominio ´ıntegro yS⊂Aun subconjunto multi-
plicativo. SeaK el cuerpo de cocientes deA, seaL/K una extensi´on finita yB la clausura entera deAen L. Seg´un el teorema anterior, la clausura entera de S−1AenLesS−1B, por lo que siAesN2(o esN1y tomamosL=K), sabemos queB es unA-m´odulo finitamente generado, luego S−1B es unS−1A-m´odulo finitamente generado, lo que prueba queS−1Atiene la propiedadN
2 (oN1). Supongamos ahora que A es un anillo de Nagata (no necesariamente un dominio ´ıntegro). Un ideal primo de S−1A es de la forma S−1p, donde p es un primo de A disjunto con S. Entonces, S−1A/S−1p = S−1(A/p) , donde S⊂A/pest´a formado por las clases de los elementos deS. ComoA/ptiene la propiedadN2, por la parte ya probada, lo mismo vale paraS−1A/S−1p, luego S−1Atambi´en es un anillo de Nagata.
El teorema siguiente muestra que la distancia entre las propiedadesN1yN2 es menor de lo que parece:
Teorema 3.14 Sea A un dominio ´ıntegro noetheriano ´ıntegramente cerrado y
K su cuerpo de cocientes, seaLuna extensi´on finita separable de K y seaB la clausura entera de Aen L. EntoncesB es unA-m´odulo finitamente generado.
Demostraci´on: Como A es noetheriano, podemos sustituir L por una
extensi´on finita separable, y suponer que la extensi´onL/K es finita de Galois. Fijemos unaK-baseω1, . . . , ωn deL y seaω1∗, . . . , ω∗n su base dual, es decir, la
que cumple que TrLK(ωiω∗j) =δij. (Existe porque, al ser la extensi´on separable,
la forma bilineal definida por la traza es regular.1) Multiplicando losω∗ i por un
elemento adecuado deA (lo que exige dividir cadaωi por el mismo elemento,
para que las bases sigan siendo duales), podemos exigir que cadaωi∗sea entero sobreA.
As´ı, todoα∈B se expresa como combinaci´on lineal α=α1ω1+· · ·+αnωn
donde αi = TrLK(αω∗i) ∈ K es entero sobre A, luego αi ∈ A. Esto significa
queB es un subm´odulo del A-m´odulo generado por ω1, . . . , ωn, luegoB es un
A-m´odulo finitamente generado. Como consecuencia inmediata:
Teorema 3.15 Un dominio ´ıntegro noetheriano de caracter´ıstica0tiene la pro- piedadN2 si y s´olo si tiene la propiedad N1.
Demostraci´on: Sea Aun dominio ´ıntegro noetheriano de caracter´ıstica 0
y seaK su cuerpo de cocientes. Si tiene la propiedadN1 yLes una extensi´on finita deK, entonces la clausura entera B deA en L es finitamente generada sobre la clausura entera en K (por el teorema anterior) y ´esta es finitamente generada sobreA (por la propiedad N1), luegoB es unA-m´odulo finitamente generado.
En caracter´ıstica prima, la propiedad N2 se reduce al caso de extensiones puramente inseparables:
Teorema 3.16 Sea A un dominio ´ıntegro noetheriano y K su cuerpo de co- cientes. EntoncesAtiene la propiedadN2si y s´olo si para toda extensi´on finita puramente inseparableL/K se cumple que la clausura entera de A en Les un
A-m´odulo finitamente generado.
Demostraci´on: Basta tener en cuenta que toda extensi´on finita puede des-
componerse en una extensi´on puramente inseparable seguida de una extensi´on separable.
El teorema siguiente nos permitir´a probar que los anillos locales completos son anillos de Nagata:
Teorema 3.17 (Tate) SeaAun dominio ´ıntegro noetheriano ´ıntegramente ce- rrado y sea x∈A un elemento no nulo tal que p=Axes un ideal primo. Su- pongamos queAes completo con la topolog´ıap-´adica y queA/pesN2. Entonces Aes N2.
Demostraci´on: Por el teorema 3.15, podemos suponer queAtiene carac-
ter´ıstica prima p. Sea K el cuerpo de cocientes de A, seaL/K una extensi´on finita puramente inseparable y seaB la clausura entera deAenL. Sea e=pf
tal que Le ⊂ K. Hemos de probar que B es un A-m´odulo finitamente gene-
rado. Como A es noetheriano, podemos sustituir L por una extensi´on, lo que nos permite suponer que existey∈Ltal que x=ye. ComoAes ´ıntegramente
cerrado, resulta queB={b∈L|be∈A}. En particular,y∈B.
Vamos a probar que B es un A-m´odulo finitamente generado mediante el teorema 2.20. Tenemos que Aes completo con la topolog´ıa p-´adica, luego nos falta probar que la topolog´ıa p-´adica enB es de Hausdorff y que B/pB es un A/p-m´odulo finitamente generado.
Tomemos un ideal primo PdeB tal queP∩A=p. Entonces
P={b∈B|be∈p}=yB.
(Si u ∈ P, entonces ue = yea, luego (u/y)e ∈ A, luego b = u/y ∈ B, luego
As´ı, Ap yBP son dominios ´ıntegros noetherianos locales cuyos ideales ma-
ximales son principales y no nulos. Esto implica que son anillos de valoraci´on discreta (pues, por ejemplo, todo elemento deAes de la forma;xn, donde;es
una unidad).
Observemos que |k(P) : k(p)| ≤ |L : K|. Esto es un caso particular de la conocida f´ormula n = ef, pero podemos dar una prueba elemental: basta ver que siω1, . . . , ωf ∈BP son linealmente independientes enk(P) sobrek(p),
entonces son linealmente independientes sobreK. En caso contrario, tendr´ıamos una combinaci´on linealα1ω1+· · ·+αfωf = 0, conαi∈K. Multiplicando por
la potencia adecuada de x podemos exigir que αi ∈ Ap para todo i y que al
menos uno de ellos sea una unidad. Pero entonces, al tomar clases m´oduloP
tendr´ıamos una combinaci´on lineal no trivial de losωi igualada a 0.
Es claro que B/P est´a contenido en la clausura entera de A/p en k(P), luego, por hip´otesis,B/Pes unA/p-m´odulo finitamente generado. As´ı, la serie
0 =Pe/Pe⊂Pe−1/Pe⊂ · · · ⊂P/Pe⊂B/Pe
muestra que B/Pe=B/pB tambi´en es unA/p-m´odulo finitamente generado, ya que todos los factoresPi/Pi+1∼=B/Pson finitamente generados.
Por otra parte, de la relaci´onpB =Pese sigue que la topolog´ıap-´adica enB es la misma que la topolog´ıaP-´adica. S´olo nos falta probar que es de Hausdorff. Ahora bien, es claro queynB
P∩B =ynB, luego n≥1 Pn= n≥1 ynB⊂ n≥1 ynB P= 0,
puesto queBPes un anillo local y su topolog´ıaP-´adica es de Hausdorff.
Teorema 3.18 (Nagata) Todo anillo noetheriano local y completo es un anillo de Nagata.
Demostraci´on: Sea Aun anillo noetheriano local y completo. Sip es un
ideal primo, entonces A/p tambi´en es un anillo noetheriano local y completo, luego basta probar que todo dominio ´ıntegro noetheriano local y completo tiene la propiedadN2.
Por el teorema 2.21, tenemos queAcontiene un subanillo noetheriano regular y completoA tal queAes unA-m´odulo finitamente generado, luego podemos suponer que A es regular. (Notemos que A es entero sobre A, por lo que la clausura entera deAen una extensi´on finita de su cuerpo de cocientes coincide con la clausura entera deA.) M´as concretamente, seg´un la observaci´on posterior al teorema, podemos suponer queA=A0[[X1, . . . , Xn]], dondeA0es un cuerpo
o bien un anillo de valoraci´on discreta completo. Probaremos el teorema por inducci´on sobren.
Si n = 0, entonces A = A0. Si es un cuerpo, entonces tiene trivialmente la propiedad N2. Si es un anillo de valoraci´on discreta, aplicamos el teorema
anterior tomando como p su ideal maximal. Tenemos que A/p es un cuerpo, luego cumpleN2, y concluimos queA tambi´en cumpleN2.
Si el resultado es cierto para n−1, aplicamos el teorema anterior al ideal primo p = (Xn). As´ıA/p ∼= A0[[X1, . . . , Xn−1]] tiene la propiedad N2 por hip´otesis de inducci´on y A=A0[[X1, . . . , Xn−1]][[Xn]] es completo con la topo-
log´ıap-´adica, luegoAcumple la propiedadN2.
Ahora necesitamos estudiar una propiedad intermedia entre la propiedad de Nagata y la propiedad N1 para anillos locales. Por razones t´ecnicas conviene definirla para anillos semilocales:
Definici´on 3.19 Diremos que un anillo semilocalAesanal´ıticamente no rami- ficadosi su compleci´on ˆAes reducida. Un ideal primop deAesanal´ıticamente no ramificadosi la compleci´onA/p= (A/p)⊗AAˆ= ˆA/pAˆes reducida.
Teorema 3.20 Todo dominio ´ıntegro noetheriano local anal´ıticamente no ra- mificado tiene la propiedad N1.
Demostraci´on: SeaAun dominio ´ıntegro noetheriano local anal´ıticamente
no ramificado y seanP1, . . . ,Pr los primos minimales de ˆA. El teorema 1.13
nos da que el anillo completo de cocientes de ˆA esC =K1⊕ · · · ⊕Kr, donde
Kies el cuerpo de cocientes de ˆA/Pi. Es claro entonces que la clausura entera
de ˆA en C es la suma directa de las clausuras enteras de cada ˆA/Pi en Ki.
Como ˆA/Pi es un dominio ´ıntegro local y completo, es un anillo de Nagata,
y en particular tiene la propiedadN1, luego su clausura entera es finitamente generada. As´ı pues, podemos concluir que la clausura entera de ˆAen C es un
ˆ
A-m´odulo finitamente generado.
SeaKel cuerpo de cocientes deAyBla clausura entera deAenK. Como ˆA es plano sobreA, tenemos queB⊗AAˆ⊂K⊗AAˆ⊂C, y todos los elementos de
B⊗AAˆson enteros sobre ˆA, luegoB⊗AAˆpuede considerarse como subm´odulo
de la clausura entera de ˆAenC, luego es un ˆA-m´odulo finitamente generado. Seanb1, . . . , bn∈Bun generador deB⊗AAˆsobre ˆAy seaB=b1, . . . , bnA.
Entonces (B/B)⊗AAˆ= 0 y, como ˆAes fielmente plano sobre A, esto implica
queB=B, es decir, queB es unA-m´odulo finitamente generado.
El teorema siguiente nos permitir´a probar que los dominios ´ıntegros locales de Nagata son anal´ıticamente no ramificados:
Teorema 3.21 Sea A un dominio ´ıntegro noetheriano semilocal y sea x∈ A
un elemento no nulo que pertenezca a todos los ideales maximales. Suponga- mos adem´as que todos los primos asociados de A/xA son minimales y (como primos de A) son regulares y anal´ıticamente no ramificados. Entonces A es anal´ıticamente no ramificado.
Demostraci´on: Sean p1, . . . ,pr los primos minimales (o asociados) de
A/xA. Por hip´otesis, ˆA/piAˆes reducido, luego sus primos asociados son tambi´en
minimales y, si los llamamosPi,1, . . . ,Pi,ni, se cumple que
piAˆ=
j Pi,j.
Por el teorema de los ideales principales [AC 5.2], los primos pi tienen al-
tura 1, luego los anillosApi son anillos locales regulares y de dimensi´on 1. En
particular son dominios de Dedekind locales, es decir, anillos de valoraci´on dis- creta.2 Sea π
i ∈Atal que piApi =πiApi. EntoncesPijAˆPij es el ´unico primo
minimal depiAˆPij, luegoPijAˆPij =piAˆPij =πiAˆPij.
Como ˆAPij es plano sobre ˆAy ˆAes plano sobre A, resulta queπ no es un
divisor de cero en ˆAPij (la multiplicaci´on por π es inyectiva y sigue si´endolo
tras el cambio de base). De nuevo por el teorema de los ideales principales, concluimos que ˆAPij tiene dimensi´on 1, luego es regular. En particular es
un dominio ´ıntegro, por lo que si llamamos Qij al n´ucleo del homomorfismo
natural ˆA−→AˆPij, vemos que se trata de un ideal primo. Para probar que ˆA
es reducido basta ver queN =
i,j
Qij= 0.
La f´ormula del teorema 1.9 (ver tambi´en las observaciones posteriores) nos da que
As( ˆA/xA) =ˆ
p∈As(A)
AsAˆ( ˆA/pA),ˆ
es decir, que los primos asociados de ˆA/xAˆson exactamente losPij. Tomando
una descomposici´on primaria de 0 en este anillo, podemos expresar xAˆ=
i,j
Iij,
donde cada Iij es un ideal Pij-primario. Seg´un el teorema 1.5, tenemos que
Iij = ˆA∩AˆPij, luegoQij ⊂ Iij, luegoN ⊂ xA. Por otra parte,ˆ x no es un
divisor de cero enA(porque es un dominio ´ıntegro), luego tampoco lo es de ˆA, luego no pertenece a ning´unQij. Por consiguiente, sin∈N, ser´a de la forma
n=xa, luego xa∈ Qij, luegoa ∈Qij, luego a∈N. As´ı pues, N =xN. El
lema de Nakayama [AC 4.51] implica queN = 0. (Aqu´ı usamos la hip´otesis de quexpertenece a todos los ideales maximales deA, luego tambi´en a todos los de ˆA.)
Teorema 3.22 Todo dominio ´ıntegro semilocal que sea un anillo de Nagata es anal´ıticamente no ramificado.
Demostraci´on: Sea A un anillo que cumpla las hip´otesis. Razonaremos
por inducci´on sobre dimA. Si dimA= 0 entoncesAes un cuerpo y el teorema es trivial.
SeaB la clausura entera deAen su cuerpo de cocientes. Por hip´otesis,Bes unA-m´odulo finitamente generado, luego tambi´en es un anillo de Nagata. Sea Ila intersecci´on de los ideales maximales deAyJ la intersecci´on de los ideales maximales deB. Observemos que siPes un ideal primo deB tal queIB⊂P, entoncesI⊂P∩A, luegoP∩Aha de ser uno de los ideales maximales deA, luegoPha de ser uno de los ideales maximales deB(por [AC 3.63]). As´ı pues,
J = radIB, luego existe unn≥1 tal queJn ⊂IB ⊂J. Esto implica que la topolog´ıaI-´adica en B coincide con laJ-´adica, luego podemos considerar a ˆA como subanillo de ˆB.
Si probamos que ˆB es reducido, tambi´en lo ser´a ˆA. Equivalentemente, no perdemos generalidad si suponemos queA es ´ıntegramente cerrado. Notemos tambi´en que, seg´un [AC 3.68], dimB = dimA, luego al cambiarAporB man- tenemos la hip´otesis de inducci´on, seg´un la cual el teorema es cierto para anillos de dimensi´on menor que la deA.
Notemos queI= 0 (o de lo contrario dimA= 0), por lo que podemos tomar unx∈I no nulo. Basta probar que cumple las hip´otesis del teorema anterior. Por el teorema 1.18, tenemos queA cumple la propiedad S2, luego los primos asociados de A/xAson minimales. Adem´as, tienen altura 1 por el teorema de los ideales principales [AC 5.2], luego la propiedadR1nos da que son regulares. Por ´ultimo, sipes uno de ellos, tenemos queA/pes un dominio ´ıntegro semilocal de Nagata tal que dim(A/p)<dimA, luegop es anal´ıticamente no ramificado por hip´otesis de inducci´on.
Veamos un ´ultimo resultado t´ecnico que necesitamos para probar el resultado principal sobre los anillos de Nagata:
Teorema 3.23 SeaAun dominio ´ıntegro noetheriano yKsu cuerpo de cocien- tes. Supongamos que existe unf ∈Ano nulo tal queAf es ´ıntegramente cerrado y q ue Ap tiene la propiedad N1 para todo ideal maximal p de A. Entonces A
tiene tambi´en la propiedad N1.
Demostraci´on: Representaremos con el signo las clausuras enteras. Sip
es un ideal maximal, tenemos que (Ap) =Apes unAp-m´odulo finitamente gene-
rado. Seaω1, . . . , ωn∈Aun sistema generador. LlamemosCp=A[ω1, . . . , ωn],
que es unA-m´odulo finitamente generado (ya que los ωi son enteros sobreA),
luego es noetheriano.
Llamemos X = EspA y Xp = EspCp. Notemos que (Cp)
f = Af es
´ıntegramente cerrado, luego el teorema 1.19 nos da que el conjunto Fp ⊂ Xp
formado por los puntos que no son normales es cerrado enXp. Como el homo-
morfismoπp:Xp−→X es finito, se cumple queπp[Fp] es cerrado enX.
Veamos ahora quep∈/πp[Fp]. En efecto, si P∈Xp cumple queP∩A=p,
entonces Cp ⊂(Cp)
p ⊂(Cp)P y (Cp)p = (Ap) es ´ıntegramente cerrado. Por
consiguiente, (Cp)
Pes una localizaci´on de un anillo ´ıntegramente cerrado, luego
es tambi´en ´ıntegramente cerrado, y as´ıP∈/Fp. Por consiguiente, el conjunto
F =
p
πp[Fp],
dondeprecorre los ideales maximales deA, es un cerrado enX que no contiene a ning´un punto cerrado. Por [E 3.1] ha de serF =∅. Aqu´ı hemos usado queF es cuasicompacto por ser cerrado enX, que es cuasicompacto por ser af´ın. La cuasicompacidad de X nos da tambi´en que existe un n´umero finito de ideales maximalesp1, . . . ,pn tales que
n
i=1
SeaC=A[Cp1, . . . , Cpn], que es unA-m´odulo finitamente generado. Vamos
a ver queCQes ´ıntegramente cerrado, para todoQ∈EspC. Esto se debe a que
Q∩A /∈πpi[Fpi] para alg´uni, luegoq=Q∩Cpi es normal enXpi, es decir, que
(Cpi)
q es ´ıntegramente cerrado, yA⊂(Cpi)q ⊂CQ. ComoC es entero sobre
A, ha de serC⊂(Cpi)
q⊂CQ, luego CQ= (Cpi)q es ´ıntegramente cerrado.
As´ı pues, el esquema EspC es normal, luego C es ´ıntegramente cerrado, luegoA =C es unA-m´odulo finitamente generado.
Finalmente podemos probar:
Teorema 3.24 (Nagata) Si A es un anillo de Nagata y B es una A-´algebra finitamente generada, entonces B es tambi´en un anillo de Nagata.
Demostraci´on: Es obvio que todo cociente de un anillo de Nagata es
tambi´en un anillo de Nagata, luego podemos cambiar A por su imagen en B y suponer que A ⊂ B. Entonces B = A[x1, . . . , xn], para ciertos xi ∈ B.
Razonando inductivamente, basta considerar el caso en queB=A[x].
Consideremos un primo P ∈ EspB y llamemos p = A∩p. Entonces, es claro queB/P= (A/p)[¯x], dondeA/pes un dominio ´ıntegro de Nagata y lo que tenemos que probar es queB/Ptiene la propiedadN2. En definitiva, hemos de probar lo siguiente:
Si B = A[x] es un dominio ´ıntegro y A es un anillo de Nagata, entonces B tiene la propiedadN2.
SeaKel cuerpo de cocientes deAy seaAla clausura entera deAenK, que es unA-m´odulo finitamente generado. SeaB la adjunci´on aB de un generador deA sobreA, de modo queB =A[x]. Es f´acil ver queAtambi´en es un anillo de Nagata. (En general, es f´acil ver que toda ´algebra finita sobre un anillo de Nagata es un anillo de Nagata.) Como B es una extensi´on entera de B, la clausura entera deBen cualquier extensi´on finita del cuerpo de cocientes deB es la misma que la deB, por lo que basta probar queB tiene la propiedadN2. En definitiva, podemos reemplazar A por A y suponer que A es ´ıntegramente cerrado.
Supongamos en primer lugar que xes trascendente sobreK, con lo que B es tambi´en ´ıntegramente cerrado por 1.14. SiB tiene caracter´ıstica 0, entonces basta probar que tiene la propiedadN1 por el teorema 3.15, lo cual es trivial.
Si B tiene caracter´ıstica primap, basta considerar una extensi´on finita pu- ramente inseparable L = K(x, α1, . . . , αn) de K(x). Sea m = pe tal que
αm
i ∈ K(x) para todo i. Es claro que existe una extensi´on finita puramente
inseparable K/K tal que αi ∈ K(x1/m). Sea A la clausura entera de A en
K yB la clausura entera deB enL. As´ıA[x1/m] es ´ıntegramente cerrado por
el teorema 1.14, luego B =A[x]⊂B ⊂A[x1/m]. Como A tiene la propiedad N2, tenemos queA es unA-m´odulo finitamente generado, luegoA[x1/m] es un B-m´odulo finitamente generado, luegoB tambi´en lo es.
A partir de aqu´ı podemos suponer que xes algebraico sobre K, con lo que el cuerpo de cocientes deB es una extensi´on finita deK. SiLes, a su vez, una
extensi´on finita de dicho cuerpo de cocientes, tambi´en es finita la extensi´onL/K. Como antes, llamamosAyBa las clausuras enteras deAyBenL. Sabemos que Aes unA-m´odulo finitamente generado, luegoA[x] es unB-m´odulo finitamente generado, lo que a su vez implica queB=A[x]⊂A[x]⊂B.
Basta probar queBes finitamente generado sobreA[x]. Ahora bien,Aes un anillo de Nagata porque es unA-m´odulo finitamente generado yAes un anillo de Nagata, luego podemos cambiarApor AyB por A[x] (yK porL), con lo que todo se reduce a probar lo siguiente:
Si A es un dominio ´ıntegro de Nagata ´ıntegramente cerrado, K es su cuerpo de cocientes y x∈ K, entonces el anillo B =A[x] tiene la propiedadN1.
Sea x=b/a, cona, b∈A. EntoncesBa =B[1/a] =A[1/a] es ´ıntegramente
cerrado, ya que es una localizaci´on deA. Por el teorema 3.23 basta probar que BP tiene la propiedadN1para todo ideal maximal PdeB.
Llamemosp=P∩A. ComoB/P= (A/p)[¯x] es un cuerpo, ¯xes algebraico sobre (el cuerpo de cocientes de)A/p, luego existe un polinomiof(X)∈A[X] tal quef(x)∈P. Podemos suponer que el coeficiente director c def(X) cumple c /∈ p. Entonces BP = (Bc)Pc, y los anillos Ac y Bc cumplen las mismas
hip´otesis queAyB. As´ı pues, no perdemos generalidad si suponemos quec es una unidad deAo, equivalentemente, quef(X) es m´onico.
Sea K la adjunci´on aKde las ra´ıces def(X), seaA la clausura entera de AenK (que contiene a dichas ra´ıces) y seaB =A[x].
ComoAes un anillo de Nagata, tenemos queAes unA-m´odulo finitamente generado, luegoA es un dominio ´ıntegro de Nagata ´ıntegramente cerrado yB es unB-m´odulo finitamente generado. SeaPcualquier ideal maximal deBtal queP∩B=P(existe por [AC 3.63]). SiBP tiene la propiedadN1para todo
P, lo mismo le sucede a BP por 3.23 (notemos que (BP )a es una localizaci´on
deBA =Aa, luego es ´ıntegramente cerrado). A su vez, siBP esN1, lo mismo
le sucede a BP, ya que la clausura entera de BP est´a contenida en la deBP,
que es finitamente generada sobreBP y ´este es finitamente generado sobreBP.
En resumen, podemos cambiar AporA, etc., por lo que podemos suponer