Agustín Louis, barón de Cauchy
APLICACIONES A LA GEOMETRÍA
1. Hallar una curva que pase por el punto (0, −3), de manera que la pen- diente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea el doble de la orde- nada en el mismo punto.
Respuesta: y= −3e2x
2. Encontrar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0, 2) y en cada punto (x, y) tiene pendiente −xy.
Respuesta: y=2e−x 2 2 Geometría 103 Carmona-03.indd 103 Carmona-03.indd 103 7/13/10 11:25:15 AM7/13/10 11:25:15 AM
104 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
3. Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, e) y en cada punto (x, y) la pendiente de su normal es x
y 2
Respuesta: y=e1x
4. Encontrar la ecuación de una familia de curvas tal que todas sus tangentes pasen por el origen.
Respuesta: y=kx
5. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus norma- les pasan por un punto fi jo es una circunferencia.
6. Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de cada tan- gente a la curva, comprendido entre los ejes de coordenadas, se divide por la mitad en el punto de tangencia.
Respuesta: xy=c
7. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto, la recta tangente es perpendicular a la que une el punto con el origen de coordenadas.
Respuesta: x2 y2 c c 0
+ = , >
8. En cierto punto de una curva, la pendiente es igual al recíproco de la abscisa. Hallar la familia de curvas que tienen esta propiedad.
Respuesta: y=lnx+c
9. Hallar las curvas para las cuales cada normal en un punto dado y su in- tersección con el eje x tienen la misma longitud.
Respuesta: x2 y2 cx k 2
+ + =
10. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto la pendiente de la normal se obtiene del recíproco de la abscisa restándole la unidad.
Respuesta: y= +x ln
(
x−1)
+c11. Encontrar la curva que pasa por el punto (0, 3) y tal que la proyección de su tangente en dicho punto sobre el eje x siempre tenga una longitud igual a 2. Respuesta: y2=9ex
12. La proyección de la recta normal desde un punto P de la curva sobre el eje x tiene una longitud igual a la abscisa en P. Encontrar la ecuación de dicha curva que pasa por el punto (2, 3).
Respuesta: y2+x2=13
13. La pendiente de una curva, en cualquier punto (x, y) es 2x−y. Determi- nar la ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (0, D). Respuesta: y=2x− +2 3e−x
14. La pendiente de una curva en cualquier punto es 3x2. Determinar la ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 1).
Respuesta: y=x3
15. Hallar una curva que pase por el punto (0, −1), de modo que la pendien- te de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la abscisa del punto, aumentada en 5 unidades.
Respuesta: y= x + x− 2
2 5 1
Carmona-03.indd 104
16. Demostrar que la curva cuya pendiente de la tangente en cualquier pun- to (x, y) es proporcional a la abscisa del punto
(
x0, y0)
, en una parábola. 17. Hallar la curva para la que se cumple que la pendiente de la tangente encualquier punto es k veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.
Respuesta: y=cxk
18. Hallar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada y la mitad de la abscisa del punto.
Respuesta: y= −1x− +ce x 4
1 8
2
19. Hallar la ecuación de la familia de curvas con la propiedad de que la distancia del origen a la recta tangente en un punto P de una curva es igual a la abscisa en P.
Respuesta: x2+y2=cx
20. Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que la recta normal en cualquiera de sus puntos P coincida con la recta que une al punto P con el origen.
Respuesta: x2+y2=c
21. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: r=c
(
sen−cos)
Respuesta: r=c
(
cos+sen)
22. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: r=ccos2
Respuesta: r2=csen
23. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:
r= c −
(
1 cos)
Respuesta: r= c + 1 cos24. Sea la familia de rectas y=c x1 ; encontrar la familia de trayectorias iso- gonales que forman con dichas rectas un ángulo de
3 radianes. Respuesta: 2 3 1 2 2 tan− y=ln
(
+)
x c x y25. Demostrar que la recta normal corta al eje x en x1= + ′x yy
26. Demostrar que la longitud de la normal desde un punto P hasta el eje y es:
x y y 1+ ′2 ′ Geometría 105 Carmona-03.indd 105 Carmona-03.indd 105 7/13/10 11:25:18 AM7/13/10 11:25:18 AM
106 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
27. Demostrar que la longitud de la subtangente es y y′.
28. Hallar la longitud de la recta tangente a una curva desde el punto (1, 1) al eje x, sabiendo que su pendiente es 2x.
Respuesta: 5
2 =1 118.
29. La intersección con el eje y de la normal a una curva en cualquier punto es y
2 . Si la curva pasa por el punto (1, 1), encontrar su ecuación. Respuesta: y2 x2
2 3
+ =
30. La tangente a una familia de curvas en el punto P corta a los ejes coor- denados formando con ellos un triángulo; ya que las coordenadas del punto P forman con los ejes un rectángulo, hallar la familia de curvas con la propiedad de que el área del triángulo es siempre el doble que la del rectángulo.
Respuesta: xy=c
31. Encontrar la curva que cumple la condición de que el área acotada por dicha curva desde (0, 1) a (x, y), el eje x y la ordenada, es igual a la or- denada.
Respuesta: y=ex
32. Hallar la curva en el plano xy, con la propiedad de que el área acotada por esta curva, el eje x y la ordenada, es igual a la longitud de la curva desde el punto (0, 1) al punto (x, y).
Respuesta: y=coshx
33. Hallar las coordenadas del punto o puntos de la curva y=2x2 que están más próximos al punto (9, 0).
Respuesta: (1, 2)
34. Hallar las coordenadas del punto o de los puntos de la curva x2−y2=9 que están más cercanos al punto (0, 7).
Respuesta:
(
−4, 7)
,(
4, 7)
En los siguientes ejercicios, elegir la opción que contiene la solución correcta. 35. La derivada dx
dt es proporcional a x. Sea x( )0 =10 y x( )5 =15. Hallar el valor de x cuando t=20 . a. 4 05. b. 50 6. c. 0 81. d. 16 21. 36. Dada la ecuación y′2 xy 36
= , elegir la opción que contiene dos solucio- nes que pasan por el punto ( , )4 1 .
a. y=
(
2x32−17)
y= −(
2x −17)
2 3
2 2 ,
b. No tiene solución porque no es lineal
Carmona-03.indd 106
c. y=
(
2x32−15)
y= −(
2x +17)
2 3
2 2 ,
d. No puede tener dos soluciones porque contradice el teorema de exis- tencia y unicidad.
37. Seleccionar la opción que contiene las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje x y pasan por el origen. a. x2+y2=kx b. y y x xy ′ = 2− 2 2 c. y xy x y ′ = − 2 2 2 d. x2+y2=cy
38. Elegir la opción que contiene la ecuación de la curva C que se muestra en la fi gura, sabiendo que el área del triángulo APB es constante. a. y3 kx c 6 = + b. A=k c. tan= AB y d. y dy2 kdx 2 = C θ P (x, y) Figura 3-5.
39. Hallar la curva que pasa por el punto (1, 1), cuya normal en cualquier punto (excepto en x= 0) queda dividida en dos partes iguales por el eje y. a. y2+2x2=3 b. yy′ = −2x c. y x c 2 2 2 = − + d. c=3 2 Geometría 107 Carmona-03.indd 107 Carmona-03.indd 107 7/13/10 11:25:20 AM7/13/10 11:25:20 AM
108 Capítulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
40. ¿Qué opción contiene la familia de trayectorias ortogonales de la fun- ción cosy=ae−x ? a. cosy=aex b. secy=aex c. seny=cex d. seny=ce−x Respuestas:
35. b. Los demás valores son resultados intermedios.
36. c. Es no lineal y admite dos soluciones por ser cuadrática, como puede verifi carse.
37. d. La opción a contiene precisamente la familia de circunferencias cu- yos centros están en el eje x y pasan por el origen (que es dato del ejercicio). La opción b representa la ecuación diferencial de la fami- lia de la opción a. La opción c es la ecuación que da la solución co- rrecta en la opción d.
38. a. Las demás opciones representan los pasos intermedios en la solución del problema.
39. a. Las demás opciones son pasos intermedios. 40. d.
Ecuación de Bernoulli
1Es una ecuación de la forma:
y′ + f x y=r x yn n≠ ( ) ( ) , 0 1, Para n=0 1, la ecuación es lineal.