Aplicaciones de los números complejos

Como ya hemos dicho anteriormente, la exponencial compleja es la herramienta más útil para trabajar con funciones sinusoidales, esto es, las funciones seno y coseno. Muchísimos procesos naturales, entre los que destacan por su importancia y universalidad los movimientos oscilatorios y ondulatorios, se describen adecuadamente por medio de funciones sinusoidales.

Eso explica la presencia de la exponencial compleja y de los números complejos en teorías que, a primera vista, nada tienen que ver con ellos. Veamos algunos ejemplos.

3.5.1. Movimiento armónico simple

r(t)

r(0)

ϕ ωt

−A A

O x(t)

Figura 3.8. Movimiento circular

Un número complejo es un vector del plano que, escrito en forma polar, tiene asociado un ángulo y por eso, los números complejos son muy apropiados para representar giros y movi-mientos circulares. Consideremos un móvil que recorre una circunferencia centrada en el origen y de radio R con una velocidad angular cons-tanteω. Supongamos que su posición inicial pa-rat = 0 viene dada por (A cos ϕ, A sen ϕ). La posición de dicho móvil en el tiempot es

r(t) = A cos(ωt + ϕ), A sen(ωt + ϕ)
Usando números complejos, podemos escribir

r(t) = A cos(ωt + ϕ) + iA sen(ωt + ϕ) Que se expresa mejor con la exponencial compleja:

r(t) = A cos(ωt + ϕ) + iA sen(ωt + ϕ) = A e^i(ωt+ϕ) = A e^iϕe^iωt

Recuerda que multiplicar pore^iωtes un giro de amplitudωt. La igualdad r(t) = A e^iϕe^iωtnos dice que la posición del móvil en el tiempot se obtiene girando el vector que representa su posición inicialr(0) = A e^iϕun giro de amplitudωt.

La proyección sobre el eje de abscisas del vectorr(t) es la primera componente de dicho vector:

x(t) = Re r(t) = A cos(ωt + ϕ) (3.27)

Interpretamos |x(t)| como la distancia al origen en el instante t de un móvil que se desplaza sobre el eje de abscisas y cuya posición en el tiempo t viene dada por la igualdad (3.27).

Observa que dicho móvil recorre el segmento[−A, A] con un movimiento que se caracteriza porque se repite a intervalos regulares de tiempo, pues definiendoT = 2π/ω, se tiene que:

x(t + T ) = A cos(ω(t + T ) + ϕ) = A cos(ωt + 2π + ϕ) = A cos(ωt + ϕ) = x(t) Dicho movimiento se llama movimiento armónico simple. Naturalmente, la proyección sobre el eje de ordenadas del vectorr(t) también describe un movimiento armónico simple de ecuación

y(t) = Im r(t) = A sen(ωt + ϕ) (3.28)

Movimiento armónico simple 98

Las ecuaciones (3.27) y (3.28) representan un mismo tipo de movimiento pues un seno no es más que un coseno retrasado enπ/2, como se sigue de la igualdad cos(x − π/2) = sen x.

En el movimiento armónico simplex(t) = A cos(ωt + ϕ) el número A se llama amplitud, el número ωt + ϕ se llama fase, siendo ϕ la fase inicial; ω es la frecuencia angular que se mide en radianes por segundo. El númeroT = 2π/ω es el periodo, que es el tiempo, medido en segundos, que el móvil tarda en completar un ciclo. El númerof = 1/T es la frecuencia, que es el número de ciclos recorridos en un segundo. La unidad de la frecuencia es el ciclo por segundo que se llama herzio.

La representación compleja proporciona una visualización gráfica del movimiento que es muy útil para el estudio de la composición de movimientos armónicos simples. Consideremos dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia dados por

x₁(t) = A₁cos(ωt + ϕ₁), x₂(t) = A₂cos(ωt + ϕ₂)

Queremos estudiar el movimiento dado por x(t) = x₁(t) + x₂(t). La representación compleja de los movimientos permite dar una respuesta sin necesidad de hacer cálculos. Pongamos

x₁(t) = Re r₁(t) = Re A₁e^i(ωt+ϕ1); x₂(t) = Re r₂(t) = Re A₂e^i(ωt+ϕ2)

Claramente,x(t) = x₁(t) + x₂(t) = Re(r₁(t) + r₂(t)). Como los vectores r₁(t) y r₂(t) giran con igual velocidad angular,ω, el vector suma r(t) = r₁(t) + r₂(t) también gira con la misma velocidad angular (el paralelogramo de ladosr₁(t) y r₂(t) gira todo él con velocidad angular ω). Deducimos que x(t) = Re(r(t)) es la ecuación de un movimiento armónico simple de frecuencia angularω, amplitud igual al módulo de r(t) (que debe ser constante) y fase igual al argumento del número complejor(t). El módulo de una suma lo hemos calculado en (3.14).

En nuestro caso es

|r(t)|²= |r1(t)|²+ |r2(t)|²+ 2 Re(r₁(t)r₂(t)) = A²₁+ A²₂+ 2A₁A₂cos(ϕ₁− ϕ2)

r1(t)

r2(t) r(t)

x1(t) x2(t) x(t) O

Figura 3.9. Composición de movimientos armónicos

Circuitos eléctricos 99

Como la frecuencia angular debe serω, la fase será ωt + ϕ donde ϕ es la fase inicial, que es el argumento del número complejo

r(0) = r1(0)+r2(0) = A1e^iϕ1+A2e^iϕ2 = (A1cos ϕ1+A2cos ϕ2)+i(A1sen ϕ1+A2sen ϕ2) que ya debes saber calcular.

3.5.2. Circuitos eléctricos

R

C

L I(t)

V (t)

Figura 3.10. Circuito RLC

En el análisis de circuitos eléctricos los nú-meros complejos, con el nombre de fasores, fueron introducidos en 1863 por el matemá-tico e ingeniero Charles Proteus Steinmetz (1865-1923). Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y fase inicial de una sinusoide. Los fasores proporcionan una herramienta útil para estudiar circuitos eléctricos cuyo voltaje es de tipo sinusoidal V (t) = Vmcos(ωt + ϕ). Aquí Vm > 0 es la amplitud o máximo valor del voltaje, y ϕ la fase inicial. Podemos asociar a V (t) un fasor que representamos V y es el número complejoV = V_me^iϕ. De esta forma podemos escribirV (t) = Re(V e^iωt) con lo que separa-mos la información de frecuencia y de fase. Observa que, conocida la frecuencia, la sinusoide queda determinada de forma única por su fasor asociado.

La derivada de una sinusoide es otra sinusoide. El fasor que representa a la derivada se expresa muy fácilmente mediante el fasor que representa a la sinusoide.

V^′(t) = dV (t)

dt = −V^mω sen(ωt + ϕ) = Vmω cos(ωt + ϕ + π/2) = Re(iωV e^iωt) Deducimos que el fasor que representa aV^′(t) es iωV. Observa que iωV = ωV_me^i(ϕ+π/2), por lo que el fasor que corresponde a la derivada de una sinusoide va adelantado 90 grados respecto a la sinusoide.

De la misma forma, el fasor que representa a la primitiva de la sinusoideV (t) es 1

iωV y va retrasado90 grados respecto a la sinusoide.

Supongamos que en el circuito de la figura (3.10) se tiene que la intensidad de la corriente viene dada por una sinusoide (lo cual se sabe que es así cuando la fuerza electromotriz aplicada es sinusoidal). PongamosI(t) = I_mcos(ωt + ϕ) y sea I su fasor asociado. Expresemos la caída de potencial en cada uno de los elementos que forman el circuito mediante los fasores de la corriente y el voltaje. Se trata de un circuito RLC que consta de una resistencia deR ohmios, un condensador de capacitanciaC y un inductor, con inductancia L.

La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia viene dada por V_R(t) = RI(t) = RI_mcos(ωt + ϕ)

Circuitos eléctricos 100

La relación entre los fasores respectivos es

VR= RI.

ComoR > 0 se tiene que el voltaje a través de una resistencia está en fase con la corriente.

Es sabido que una corriente variable en un inductor produce un campo magnético que da lugar a una fuerza electromotriz inducida que se opone a la fuerza electromotriz aplicada, lo que origina una caída de potencial dada por

V_L(t) = LdI(t) dt

Deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es VL= iωLI

y por tanto el voltaje a través de un inductor va adelantado90 grados respecto a la corriente.

Llamando Q(t) a la carga que almacena el condensador en el tiempo t, se sabe que la diferencia de potencial entre los extremos del condensador viene dada por la igualdad

V_C(t) = Q(t)

Y deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es VC= 1

iωCI = − i ωCI

y por tanto el voltaje a través de un inductor va retrasado90 grados respecto a la corriente.

La suma de las diferencias de potencial a través de los distintos elementos del circuito debe ser igual al voltaje aplicado. En términos de los fasores asociados, esto quiere decir que:

RI + iωLI − i

se llama impedancia. La impedancia depende de la frecuencia de la fuerza electromotriz aplica-da y de las características del circuito. Cuando se conocen la impeaplica-dancia y el voltaje, podemos calcular el fasor de la corriente por la igualdad

I = V

Procesamiento digital de señales 101

El númeroωL − 1

ωC se llama reactancia. El valor de la frecuencia para el que la reactancia se anula viene dado porω_r = 1

√LC y se llama frecuencia de resonancia. Es el valor de la frecuencia para el cual el valor de|I| es máximo.

3.5.3. Procesamiento digital de señales

Como sin duda sabes, los formatos digitales más frecuentes de audio e imagen son, res-pectivamente, MP3 y JPG. Cuesta trabajo imaginar cómo sería Internet sin estos formatos. Lo que quizás no sepas es que la codificación MP3 y la JPG se llevan a cabo con algoritmos que usan números complejos. El hecho, por extraño que pueda parecer, es que las principales herra-mientas para trabajar con todo tipo de señales (audio, vídeo, voz, imagen,. . . ) son complejas.

La transformada Z, la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto, la Transformada Discreta de Fourier, la Función de Transferencia, los modelos de polos y ceros, la Transformada de Laplace y otras muchas herramientas básicas para el tratamiento de señales, son todas ellas transformaciones que usan números complejos. Todavía más, las propias señales se caracte-rizan por su espectro que ¡es un conjunto de números complejos! Si te sientes atraído por el apasionante mundo del tratamiento digital de señales, todo lo que sepas de números complejos te será útil en tu trabajo.

Como lectura adicional te recomiendo el capítulo 24 del libro de Michael Spivak [16].