Aproximaciones

Aprovechando las propiedades de los amplificadores operacionales de tener baja impedancia de salida y muy alta impedancia de entrada, los filtros activos pueden realizarse de forma modular colocando en cascada secciones de segundo orden, y de ser necesaria, una sección de primer orden cuando el orden es impar. Es por ello que como materiales en este capítulo se diseñan solo secciones de segundo orden de redes de variable de estado. De esta forma, para filtros de orden superior se extiende el procedimiento de diseño a sus diversas secciones. Las redes de variable de estado tienen la particularidad de ser tipo MISO (Multiple-inputs Single-outputs) o de tipo SIMO (Single-input Multiple-outputs), por lo cual una misma red puede realizar varias respuestas de frecuencias. De esta forma, las respuestas de frecuencias obtenida de una misma red responden a los mismos parámetros que definen sus propiedades; esto es, el factor de calidad, Q, y frecuencia central del par de polos, fp, por lo que existe una interrelación entre ellas, siendo únicas para cada diseño. Esta particularidad comúnmente simplifica el proceso de aproximación, ya que, por ejemplo, si la red puede realizar simultáneamente respuestas de frecuencias pasobajo, pasobanda y pasoalto, solo es necesario hacer un proceso de aproximación para una de estas respuestas, quedando las demás dependientes de la calculada.

A continuación se expone el procedimiento seguido para obtener las funciones de red que satisfacen las diversas especificaciones de diseño. Teniendo en cuenta la particularidad de que las redes con variable de estado pueden ser SIMO o MISO, para abarcar todas las posibilidades que estas ofrecen solo es necesario calcular las funciones de aproximación para las siguientes variantes:

 Utilizando aproximantes de Butterworth, Chebyshev-I y Bessel de segundo orden, se calcularon sendas funciones con respuesta pasobajo. De esta forma, una red SIMO como la KHN que entrega también salidas pasoalto y pasobanda ofrecerá esas respuestas con las mismas propiedades de la función pasobajo calculada mediante cada método, sucediendo de forma semejante para una red SIMO de TT que en una de sus variantes entrega también una salida pasobajo inversora y pasobanda.

 Utilizando aproximantes de Butterworth, Chebyshev-I y Bessel de segundo orden, se calcularon sendas funciones con respuesta pasoalto. Estas encuentran utilidad en

redes SIMO como una de las variantes de la TT que entrega, además de la salida pasoalto también dos salidas pasobanda, una inversora y otra no inversora.

 Utilizando aproximantes de Chebyshev-II y elíptica de segundo orden, se calcularon sendas funciones pasobajo. De esta forma, una red SIMO como la KHN puede realizar funciones pasobajo o pasoalto notch.

 Especificando la frecuencia central y el factor de calidad se construye directamente la función de red con respuesta de frecuencias pasobanda de segundo orden. Esta es necesaria cuando lo que se desee es obtener una respuesta de frecuencias pasobanda, independientemente de que el circuito entregue otros tipos de respuestas de frecuencias.

Para diseñar un filtro pasobajo de Butterworth se utilizó la función [b, a] = butter (n, p, 's'), donde n es el orden del mismo, p la frecuencia de corte y 's' indica que el diseño sea analógico. La función devuelve los vectores fila b y a que son los coeficientes de numerador y denominador respectivamente de la función de red H(s). Para una respuesta pasoalto solo se añade dentro del argumento el parámetro ftype que en este caso toma el valor 'high'. Para la realización, con redes de variable de estado, de filtros que respondan a una función aproximante de Butterworth de segundo orden y frecuencia de corte en 1 kHz se especifica: [b, a] = butter(2, 2*pi*1000, 's')

Esta devuelve los coeficientes de la función de red pasobajo:

b = 0 0 3.947841760435743e+007 a = 1.00000000e+000 8.885765876316731e+003 3.947841760435743e+007 lo que significa:

𝐻_{𝐿𝑃𝐵𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟}(𝑠) = 3.947841760435743 × 107

𝑠2_{+ 8.885765876316731 × 10}3_{s + 3.947841760435743 × 10}7

Si se necesita obtener una función de aproximación de un filtro de Bessel se procede de forma similar ya que a la función de MATLAB besself se le especifican los mismos parámetros que a la anterior butter aunque sin indicar el parámetro 's' pues esta función no soporta el diseño de filtros digitales.

Cuando la función de aproximación responde a la aproximación de Chebychev-I se le agrega además el parámetro R que especifica la amplitud del rizo de la banda de paso en unidades de dB. La sintaxis en este caso es [b, a] = cheby1(n, R, p, 's'), donde p en este caso representa la frecuencia hasta donde la banda de paso mantiene el rizado R, lo que comúnmente se denomina frecuencia esquina de la banda de paso. Al igual que para la aproximante de Butterworth, cuando la respuesta de frecuencias es pasoalto se añade el parámetro ftype. En este trabajo se realizarán y verificarán redes de variable de estado con funciones de Chebyshev-I de segundo orden que tengan frecuencia esquina de la banda de paso en 1 kHz y amplitud del rizado en la banda de paso de 1 dB, por lo que las funciones de red tienen la siguiente expresión:

𝐻_{𝐿𝑃𝐶ℎ𝑒𝑏𝑦1}(𝑠) = 3.879202073472595 × 107

𝑠2_{+ 6.897268204419519 × 10}3_{s + 4.352536314402692 × 10}7

Puede mostrarse, como ejemplo, la respuesta de la función aproximante pasobajo en la figura 2.1. Para el trazado de esta respuesta se utiliza la función freqs(b, a, ) que devuelve la respuesta de frecuencia compleja del filtro analógico especificado por los coeficientes b y a. Esta función evalúa la respuesta de frecuencia a lo largo del eje imaginario en el plano complejo a la frecuencia angular en radianes especificada en el vector real , donde  es un vector conteniendo los valores de las frecuencias en que se evalúa la función, que en este caso se le asigna valores desde 100 hasta 105. Y luego se grafica con la función Figure que es muy común en el MATLAB.

Figura 2.1.Respuesta magnitud-frecuencia pasobajo Chebychev- I

Las dos funciones pasobajo notch se hicieron, uno con la función cheby2 que tiene las mismas especificaciones que cheby1 pero el parámetro R es la amplitud del rizo en la banda de rechazo en unidades de dB, por lo que pen este caso es la frecuencia de la banda derechazo a partir de la cual el rizado se mantiene por debajo de R. A diferencia de las funciones con respuestas pasobajo, las pasobajo notch posee un tercer parámetro que caracteriza su respuesta de frecuencias, la frecuencia del cero de transmisión, z.

La otra función pasobajo notch se obtuvo con la función ellip(n, Rp, Rs, p, 's') donde Rp es la amplitud en dB del rizado en la banda de paso, Rs en la banda de rechazo, mientras que p es la frecuencia hasta donde se extiende el rizado en la banda de paso.