Asignaci´on de viajes sobre una ´ unica l´ınea

Inicialmente se considera el caso en el que el sistema de transporte dispone de una sola l´ınea (circuito) que cubre todas las estaciones con una frecuencia m´axima igual a k. La demanda es expresada como un conjunto de pares origen-destino T, donde para cada par origen-destino (u, v) ∈ T se dispone de una estaci´on origen u, una estaci´on destino v, y una demanda duv. El problema consiste en encontrar una asignaci´on de

pares origen-destino a la ´unica l´ınea tal que la demanda cubierta sea maximizada.

El problema tratado en esta secci´on puede ser relacionado con el problema de calen- darizaci´on con m´aquinas id´enticas de la siguiente forma: Se asocia cada par origen- destino del conjunto T con un trabajo de manera que el origen y destino represen- tan los tiempos de inicio y finalizaci´on de dicho par. Adem´as, fijamos la demanda del par O-D (u, v) como el beneficio de cada trabajo, es decir, wuv = duv, ∀(u, v) ∈

T. Finalmente se definen k m´aquinas id´enticas que est´an disponibles en el intervalo [min(u,v)∈T{u}, max(u,v)∈T{v}].

En la Secci´on 2.1 se present´o la relaci´on entre el problema de calendarizaci´on en inter- valos con el problema de colorear grafos en intervalos. Por la transformaci´on anterior, el problema de asignaci´on de viajes puede tambi´en ser expresado en t´erminos del mismo

problema, el cual es conocido que puede ser resuelto en tiempo polinomial.

Inicialmente se presentan algunos conceptos b´asicos necesarios para formular esta va- riante.

Dado un grafo no dirigido G = (V, E), una clique es un subgrafo completo de G. Unaclique maximal es una clique que no puede ser extendida incluyendo un v´ertice adyacente m´as. Una clique m´axima es la clique de mayor tama˜no posible (mayor n´umero de v´ertices).

Eln´umero de clique ω(G) es el n´umero de v´ertices de una clique m´axima de G. El n´umero crom´atico χ(G) es el menor n´umero de colores necesarios para colorear los v´ertices deG, de manera que dos v´ertice adyacentes no tengan el mismo color.

Unconjunto estable es un conjunto de v´ertices en Gtal que ninguno es adyacente a otro. El n´umero de estabilidad α(G) es el tama˜no del conjunto estable m´as grande deG.

Eln´umero de cubrimiento de una cliquede un grafoG,κ(G), es el m´ınimo n´ume- ro de cliques enG que se necesitan para cubrir todos sus v´ertices.

Considerando estas definiciones podemos enunciar:

Teorema 2.3 (Lov´asz (1972)). Teorema d´ebil de los grafos perfectos. Para un grafo simpleG= (V, E), las siguientes propiedades son equivalentes:

1. ω(GA) =χ(GA), ∀A⊆V.

2. α(GA) =κ(GA), ∀A⊆V.

3. ω(GA)α(GA)≥|A|, ∀A ⊆V.

Teorema 2.4 (Berge (1960)). Los grafos cordales son perfectos. Corolario 2.5. Todos los grafos de intervalos son perfectos.

Hay que recalcar que los problemas de coloraci´on, cubrimiento de cliques, conjunto es- table pueden ser resueltos en tiempo polinomial en grafos de intervalos. Para mayores detalles se puede revisar [13].

Propiedad de Grafo CordalTodo ciclo simple de longitud estrictamente mayor que 3 posee una cuerda.

Una cuerda es una arista que no pertenece al ciclo pero conecta dos v´ertices en el ciclo.

Propiedad de orientaci´on transitivaA cada arco se le puede asignar una direcci´on en una sola v´ıa de manera que el grafo orientado resultante G = (V, F) satisface la siguiente condici´on:

ab∈F y bc∈F implica ac∈F ∀a, b, c∈V

Un grafo no dirigido el cual es transitivamente orientable se le conoce como grafo de comparaci´on.

Proposici´on 2.1 (Ghouila-Houri (1962)). El complemento de un grafo de intervalos satisface la propiedad de orientaci´on transitiva.

Demostraci´on. [13] Sea {Iv}_v∈V la representaci´on a intervalos de un grafo G= (V, E).

Se define una orientaci´on F del complemento G= (V, E) de la siguiente forma:

xy ∈F ⇔Ix < Iy, (∀xy ∈E)

Ix < Iysignifica que el intervalo Ix se encuentra enteramente a la izquierda del intervalo

Iy (son disjuntos). La propiedad de orientaci´on transitiva se satisface debido a que

Ix < Iy < Iz implica Ix < Iz. Entonces F es una orientaci´on transitiva de G.

Proposici´on 2.2 (Haj¨os (1958)). Un grafo de intervalos satisface la propiedad de grafos triangulados.

Demostraci´on. [13] Suponer que el grafo de intervalos Gcontiene un ciclo sin cuerdas [v0, v1, v2, ..., vl−1, v0] con l > 3. Sea Ik el intervalo correspondiente a vk. Para i =

1,2, ..., l−1, escoger un punto pi ∈ Ii−1 ∩Ii. Como Ii−1 y Ii+1 no se intersecan, pi

constituye una sucesi´on estrictamente creciente o decreciente. Luego, es imposible que

I0 y Il−1 se intersequen, contradiciendo el criterio quev0vl−1 son un arco de G.

Se debe recalcar que no todo grafo triangulado es de intervalos. Observemos el siguiente teorema:

Teorema 2.6 (Gilmore y Hoffman (1964)). Sea G un grafo no dirigido, son equiva- lentes:

1. G es un grafo de intervalos.

2. G no contiene ciclos inducidos de 4 v´ertices, y su complemento es un grafo de comparabilidad.

3. Los cliques maximales de G pueden ser ordenados de tal forma que para todos los v´ertices a de G, los cliques maximales que contienen a a sean consecutivos.

Demostraci´on.Ver [25]

El problema de asignaci´on de viajes puede ser representado como un grafo de intervalos

GI donde cada par origen-destino representa un nodo tal que 2 nodos son conectados por un arco si y solo si la intersecci´on de los intervalos correspondientes es no vac´ıa. As´ı, el problema de asignaci´on de viajes sobre una ´unica l´ınea puede ser formulado como: (AV LI)        m´axdT_x s.t.Am×nx≤1nTk x∈ {0,1} donde d ∈ Rn

+ es un vector con las demandas de los viajes, A ∈ {0,1}

m×n

es una matriz conm igual al n´umero de cliques maximales sobre el grafoGIy conaij = 1 si el

viaje j pertenece a la clique maximal i y 1n es un vector unitario. La variable x toma

el valor de 1 si un par origen-destino es seleccionado, o toma el valor de 0 caso contrario.

Notar que la matriz A es totalmente unimodular ya que las columnas tienen la pro- piedad de unos consecutivos. Esto debido a que las cliques maximales sobre un grafo de intervalos pueden ser linealmente ordenadas para todos los v´ertices del grafo. Esto es consecuencia directa de la proposici´on 2.2 y el teorema 2.6. Finalmente se conoce que el n´umero de cliques sobre un grafo de intervalos es del orden O(n) por lo que el problema puede ser resuelto en tiempo polinomial.

Formulaci´on como Problema de Flujo de Costo M´ınimo

El Problema de Asignaci´on de viajes con l´ıneas id´enticas puede ser reducido a un Pro- blema de Flujo de Costo M´ınimo de la siguiente manera. Consideremos una instancia del Problema de Asignaci´on de viajes con l´ıneas id´enticas visto como un problema de coloraci´on en un grafo de intervalos. Teniendo en cuenta que se intenta hallar una k

punto donde el n´umero de clique sea igual a k. Entonces el problema ser´a equivalente a eliminar pares origen-destino con demandas peque˜nas de manera que el n´umero de clique, con los pares O-D restantes, sea igual o menor que k.

Para esto, identificamos todas las cliques maximalesq1, q2, ..., qm [13] del grafo de inter-

valos y por el punto 3 del teorema 2.6 sabemos que cada viaje es contenido en cliques maximales consecutivas.

Ahora, se construye un grafo dirigido G = (V, A) con nodos V = {v0, v1, ..., vm} y se

definen arcosA={(vi, vi−1) ∀i = 1,2, .., m}. Estos tendr´an costo igual a cero y capa-

cidad infinita. Si un par origen-destino (s, t) se encuentra en cliques qj, .., qk a˜nadimos

un arco (vj−1, vk), con costo dst y capacidad igual a 1. Para cada clique j que no es

m´axima colocamos un arco (vj−1, vj) de costo 0 y capacidad igual a n´umero de clique

- tama˜no de la clique j.

Queda por definir los nodos fuente y destino. El nodo fuente corresponde a v0 y el

destino avm. El flujo enviado de v0 avm es igual al (n´umero de clique - k) y contamos

con una instancia del problema de flujo de costo m´ınimo. El flujo (n´umero de clique - k) quiere decir que eliminamos los pares origen-destino de menor demanda. Con esto si contamos con una soluci´on factible para el problema de flujo de costo m´ınimo, entonces (1−xa) para cada a asociado con un par origen-destino es soluci´on para el problema

de asignaci´on de viajes, al ubicar aquellos pares origen-destino que no usemos en la transformaci´on anterior.

b b c a d e b v0 v1 v2 v3 L´ınea O−D c b a _d e dc db da dd de 0 0 0 I) II) III)

Figura 2.6: I)Instancia inicial con 1 l´ınea y 5 pares origen-destino. II)Grafo de intervalos. III)Formulaci´on como problema de flujo de costo m´ınimo.

En cuanto al tiempo del algoritmo, se puede ver que las cliques maximales pueden ser obtenidas en un tiempoO(n) sobre grafos de intervalos. Como el n´umero de arcos tambi´en esO(n) el algoritmo depende de la complejidad del algoritmo de flujo de costo m´ınimo que tambi´en es polinomial, concluyendo de esta forma el resultado.

El problema anterior tambi´en puede ser formulado directamente sobre la red GQVD con m+ 1 nodos y m arcos expresado de la siguiente forma:

(F M)        m´ax 1Tx s.t. Ax≤P 0≤x≤d, x∈Z₊

donde A ∈ {0,1}m×T con m igual al n´umero de arcos en la red y aest = 1 si el par

origen-destino (s, t) atraviesa el arco e, d ∈ Z|T |₊ el vector de demandas. Adem´as, un vectorP ∈Z|₊m|con las capacidades de cada arco, es decir, Pe =femax× N yxla varia-

ble de decisi´on que toma un valor entero positivo y representa el n´umero de pasajeros del par origen-destino (s, t) cubierto por la ´unica l´ınea.

Al igual que en el caso anterior, la matrizA es totalmente unimodular ya que tiene la propiedad de unos consecutivos sobre sus columnas, es decir, la matrizAes una matriz de intervalos. Por tanto, se puede relajar las restricciones de integralidad y resolver el problema como un programa lineal y ser´a resuelto en tiempo polinomial.