Capítulo 4 Diseño de detalle de los elementos principales
4.1 Cálculo del diámetro del eje principal
Para realizar este cálculo, se realizó una investigación con diversas casas comerciales, a fin de obtener datos reales sobre las características generales de las bobinas plásticas, ya que su peso y dimensión varían de un proveedor a otro. En promedio las características encontradas fueron:
Peso máximo: 50Kg Diámetro máximo: 40cm Ancho máximo: 30cm
Tomando lo anterior en consideración y adicionando el peso aproximado de los demás componentes que se ensamblan en el eje, se tiene como datos iniciales:
⁄
⁄
Para calcular el momento máximo al que se someterá el elemento se utiliza la ecuación de 3 momentos (Ortiz, 2002):
Las cargas a las que se somete el elemento son dos tipos: Distribuida y puntual. Son consideradas como se muestra en la tabla 4.1.
Tabla 4.1 Consideraciones según el tipo de carga
Tipo de carga
Lado izquierdo
Lado derecho
Carga distribuida
Carga puntual
La bobina utilizada produce una carga distribuida de acuerdo a su ancho, dado que el valor máximo es de 30cm se tiene:
⁄
Convirtiendo a N/m:
⁄ ( ) ( ) ⁄
Figura 4.1 Representación de cargas y momentos en el eje
Sustituyendo en la ecuación 1 para el punto B:
Sustituyendo en la ecuación para el punto C:
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones 2 y 3:
Dividiendo el eje en 3 secciones y calculando las reacciones correspondiente se tiene:
Sección 1
Figura 4.2 Sección A-B
Para calcular las reacciones en el elemento se tiene que:
Por lo que el diagrama de la sección queda de cómo se muestra en la figura 4.3.
Figura 4.3 Reacciones de la sección A-B
Sección 2
La sección comprendida entre los puntos B y C se muestra en la figura 4.4.
Figura 4.4 Sección B-C
En los soportes B y C se tendrá una reacción adicional producida por la carga de la bobina sobre los 2 conos de sujeción, la cual se toma a consideración de la siguiente manera:
⁄
Haciendo las operaciones correspondientes, el diagrama de la sección 2 queda como se muestra en la figura 4.5.
Figura 4.5 Análisis de las reacciones de la sección B-C
Simplificando, ver figura 4.6:
Figura 4.6 Reacciones de la sección B-C
Sección 3
Figura 4.7 Sección C-D
En esta sección se tiene una carga puntual, para determinar las reacciones se realiza una sumatoria de fuerzas y momentos:
Finalmente mediante la ecuación 4 se determina la reacción por efecto del momento:
Haciendo las operaciones correspondientes, el diagrama de la sección 3 queda como se muestra en la figura 4.8.
Figura 4.8 Análisis de las reacciones de la sección C-D
Simplificando, ver figura 4.9:
Figura 4.9 Reacciones de la sección C-D
Sumando las tres secciones analizadas se obtiene la figura 4.10:
Figura 4.10 Suma de reacciones de las 3 secciones
Figura 4.11 Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante
Del diagrama anterior se obtiene un momento máximo de:
Para el dimensionamiento del eje, se aplican los siguientes criterios (Norton, 1999), donde se selecciona el mayor de ellos:
Criterio del esfuerzo cortante máximo (Tresca):
[ √ ]
Criterio de Von Mises:
[ √ ]
Calculando el torque por medio de las ecuaciones 7 y 8:
Sustituyendo la carga de la bobina en la ecuación 7 se tiene:
Sustituyendo los valores en la ecuación 8:
El eje debe ser fabricado en acero inoxidable AISI 304, por lo que se considera un esfuerzo de cedencia (Hibbeler, 2006) de:
Seleccionando un factor de seguridad de 3 considerando un “Elemento de máquina bajo
cargas dinámicas con incertidumbre acerca de las cargas” (Mott, 2006), y sustituyendo en las ecuaciones 5 y 6:
Criterio de Tresca:
[ √ ]
Aproximando la dimensión obtenida al valor comercial en pulgadas más cercano:
( )
Criterio de Von Mises:
[ √ ]
Repitiendo el proceso anterior:
Dado que en el diseño se contempla una muesca, para evitar que se desplace axialmente durante la operación del equipo, se incrementa a la siguiente medida comercial, que es de 1 plg, de modo que el diámetro de la muesca se mantenga en 3/4 plg, para no comprometer su resistencia.
Para validar que el diámetro de 3/4 plg del núcleo del eje es correcto se compara con el
“Manual de construcción en acero” (Instituto mexicano de la construcción en acero, 2002), donde se especifica que para un perfil redondo, sólido y liso se requiere un módulo de sección igual a:
Verificando que el módulo de sección del eje no supera al permisible, se utiliza la siguiente ecuación:
Calculando el esfuerzo de trabajo y sustituyendo en 9: Convirtiendo a cm: ( )
Dado que el valor obtenido es inferior al módulo de sección admisible, el diámetro de 1plg con muesca de 3/4 plg resulta ser validado.
4.1.1 Cálculo del diámetro considerando el peso propio de la barra
Considerando el peso teórico obtenido del catálogo de “Metales días” para una barra redonda de 1 plg de acero inoxidable AISI 304, ver anexo 3, se repite el proceso anterior.
Por lo tanto para el eje de 76 cm se tiene un peso de:
(
Figura 4.12 Cargas y reacciones en el eje considerando el peso propio
Analizando con el software MDsolids, se genera el diagrama de esfuerzo cortante y momento flexionante mostrado en la figura 4.13.
El momento máximo obtenido se utiliza para verificar nuevamente el módulo de sección del eje, sustituyendo en 9:
Como el módulo de sección sigue siendo inferior al requerido, el eje queda definido a 1plg con muesca a 3/4 plg.
4.1.2 Cálculo de la deflexión máxima
La deflexión máxima no debe ser mayor 1/16” por cada pie de longitud, por lo que
realizando las conversiones pertinentes se obtiene que:
Considerando el eje como una viga, se aplicaron las fórmulas para vigas del “Manual de recipientes a presión” (Megyesy, 1992), analizando las 3 secciones del eje:
Calculando el momento de inercia para el eje de 1 plg:
En este, se presenta cargas puntuales y distribuidas, por lo que para obtener la deflexión máxima, se utilizan las formulas 11 y 12 respectivamente:
Carga distribuida:
Considerando un módulo de elasticidad de 193 MPa para el acero inoxidable AISI 304 (Hibbeler, 2006), y analizando cada sección se tiene que:
Sección 1: Sustituyendo en 11: La deformación es: Sección 2:
Sumando las 2 cargas distribuidas y sustituyendo en 11:
La deformación es: Sección 3:
En esta sección se tiene dos tipos de cargas: Carga distribuida:
Por efecto de esta carga la deformación es:
Carga puntual:
√
Por efecto de esta carga la deformación es:
Sumando las dos deformaciones se tiene que:
Comparando los resultados de cada una de las tres secciones respecto al requerimiento máximo permisible, se observa que todas se encuentran por debajo del límite.