7.1 Definiciones y estimación
7.2.4 Cambios de canto y estructuras afines Esbeltez óptima
tima
En la exploración de alternativas formales a problemas estructurales es sa- bido que una de las decisiones fundamentales está en la determinación delcanto ma rigidez —una viga colgada de una ménsula— es la base de todos sus defectos estructurales, pese a la indudable belleza que posee como objeto cuando se le ve a distancia.
6Esto amplía el campo de aplicación de las transformaciones formales legítimas a que
de la estructura. Vamos por ello a analizar las transformaciones de forma más sencillas apropiadas a dicho objetivo, a saber, las transformaciones afines, y analizar tanto las condiciones de equilibrio como de consumo en cantidad de estructura derivadas de tales transformaciones. No vamos a hacerlo de forma sistemática y total, dado que la transformación que tratamos de entender es en particular la derivada del cambio de canto de la estructura manteniendo los demás parámetros de forma inmutables. Respecto del problema general, baste aquí recordar que cualquier transformación afín que modifique simultáneamen- te fuerzas (acciones, esfuerzos axiales y reacciones) y longitudes aplicada a una estructura en equilibrio producirá una nueva estructura que estará igualmente en equilibrio.
Consideramos la transformación de las componentes verticales de fuerzas y longitudes al afectarlas por un factor α: si el factor es menor que 1 se tratará
de una reducción de canto, y si es mayor, de un aumento de canto. Para dicha clase de transformaciones podemos establecer el siguiente:
Teorema 8 (Teorema del canto óptimo) Si a partir de una estructura so- metida a cargas —y reacciones— sólo verticales consideramos todas las formas que pueden obtenerse manteniendo la topología original y el punto de aplicación de las cargas relativo a dicha topología, y que alteren la geometría mediante transformaciones afines que sólo afecten al canto de la estructura, la estructu- ra óptima entre éstas será la que cumpla la condición de que las cantidades de estructura vertical y horizontal se igualan.
Dicho teorema asegura que una condición necesaria, aunque no suficiente, para el óptimo en las estructuras que resuelven problemas en los que las cargas se sitúan y son perpendiculares a un mismo plano es el que tengan igual cantidad de estructura vertical —ortogonal a dicho plano— que horizontal —paralela al plano— pues en caso contrario podría establecerse una transformación de canto en el sentido de igualarlas que reduciría la cantidad de estructura en virtud del teorema. O lo que es lo mismo, toda estructura óptima para esos problemas tiene igual cantidad de estructura vertical que horizontal, aunque no toda estructura con dicha cualidad es óptima —sólo es la mejor de entre las que se obtienen con cambios afines en el canto—.
Para demostrar el teorema escribimos las ecuaciones de equilibrio conside- rando las fuerzas que actúan sobre cualquier región de la estructura, incluyendo las cargas P y las componentes ejercidas por los esfuerzos N sobre los cortes que aislan dicha región. Las componentes horizontales de fuerzas y dimensiones se mantienen sin alteración. El equilibrio de fuerzas horizontales de la estructu- ra original se mantiene pues en la transformada. Las componentes o distancias horizontales no cambian, por lo que los equilibrios de momentos respecto a un eje vertical se mantienen igualmente. Las ecuaciones siguientes valen por tanto igualmente para el equilibrio original, y para el transformado:
X
Pix+XNix= 0 X
Piy+XNiy= 0 X
yiPix−XxiPiy+XyiNix−XxiNiy = 0
En el caso de las fuerzas verticales totales que actúan, incluyendo las compo- nentes verticales de los esfuerzos ejercidos en los cortes realizados, así como en
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el de los momentos correspondientes a equilibrios respecto de los ejes horizon- tales OX, OY, se alteran los equilibrios iniciales, con lo que las ecuaciones que representan tanto el equilibrio original como los nuevos equilibrios resultantes del cambio afín son:
X
αPiz+XαNjz = 0 X
αziPix−XxiαPiz+XαziNix−XxiαNiz= 0 X
yiαPiz−XαziPiy+XyiαNiz−XαziNiy = 0
en las queαrepresenta el factor de cambio de canto adoptado por lo que, para
el valor 1 representa la estructura original. Ahora bien, en este cambio se ha alterado el valor de las cargas, al cambiar sus componentes verticales, por lo que la nueva estructura no resuelve el mismo problema que la anterior.
Debemos remediar la situación volviendo a restaurar a su valor inicial a las componentes verticales de las cargas, que ahora son αPiz, para lo que bastaría dividirlas porα. Sin embargo esto alteraría el equilibrio de fuerzas verticales, a la vez que los equilibrios de momentos respecto de los ejes horizontales, por lo que la alteración requiere ajustes adicionales.
Para mantener el equilibrio de fuerzas verticales se requerirá que las compo- nentes verticales de los esfuerzos se alteren en igual modo, restaurándolas a su valor original:
XαPiz
α +
XαNjz
α = 0
Esto exige además, para mantener la alineación de los esfuerzos con las barras, que las componentes horizontales de tales esfuerzos se alteren en igual medida, al igual que las componentes horizontales de las cargas y las reacciones. De modo que la alteración de las dimensiones verticales al multiplicarlas por un factor
α sin cambio en las componentes verticales de las fuerzas implica, para que se mantenga el equilibrio, un cambio inverso en las componentes horizontales de fuerzas y esfuerzos (que se multiplicarán por 1
α). En estas condiciones las
ecuaciones de equilibrio vuelven a cumplirse, como comprobamos a continuación en el equilibrio de fuerzas: XPix α + XNix α = 0 XPiy α + XNiy α = 0 X Piz+XNiz= 0 y de momentos: X
yiPiz−XαziPiy
α +
X
yiNiz−XαziNiy α = 0 X
αziPix
α −
X
xiPiz+XαziNix
α − X xiNiz= 0 X yiPix α − X xiPiy α + X yiNix α − X xiNiy α = 0
Por tanto una reducción de canto implica un aumento de las fuerzas y es- fuerzos horizontales en un factor inverso para que se mantenga el equilibrio con
las cargas verticales del problema inicial. Si consideramos sólo cargas gravita- torias —verticales— el ajuste de esfuerzos —y de reacciones en caso de tener componentes horizontales, como en el caso de los empujes de arcos— supondrá una alteración en la cantidad de estructura que ahora podemos analizar. Las cantidades de estructura iniciales, horizontal y vertical se alterarán de forma fácilmente predecible a partir de los valores originales:
Wk α= X |Niz|αliz=αWk Wα== X |α1Nix|lix+X|1 αNiy|liy= 1 αW =
Se observa que ambas componentes se modifican de forma inversa, mientras una crece la otra decrece, de modo que podemos afirmar que su producto se mantiene constante. Dado que la cantidad de estructura total es la suma de ambas partes, el óptimo se obtendrá cuando éstas sumen el valor mínimo. Ahora bien, el mínimo de la suma de dos cantidades cuyo producto es constante se produce cuando ambas son iguales, como puede comprenderse si se considera la suma como el semiperímetro de un rectángulo y el producto como el área del mismo. A igualdad de área el perímetro mínimo es el del cuadrado7.
De modo que los valores óptimos de la cantidad de estructura vertical y horizontal son la media geométrica de las originales
Wok=Wo== p
WkW=
El correspondiente factor de alteración en las dimensiones verticales resulta ser
7Puede establecerse algebraicamente la condición de muchos modos. Como ilustración de
algunos de los métodos citados en 6.3.2 el problema de obtenera,bque hacen m´ın(f=a+b) conab=k (constante)
puede reescribirse como obtener lasa,b que hacenm´ınφsiendoφla función obtenida em- pleando el multiplicador de lagrangeλpara la ligadura establecida:
φ=f+λ(ab−k) =a+b−λ(ab−k) m´ın(φ) = m´ın(a+b−λ(ab−k))≡ ∂φ ∂a= 0 ∂φ ∂b = 0 ∂φ ∂λ= 0
que corresponde al sistema de ecuaciones
1−λb= 0 1−λa= 0
ab−k= 0 de las que se deduce
b=a= 1
λ
1
λ2 =k b=a=√k.
En particular la constante puede obtenerse a partir de un caso conocido cualquiera con lo que
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igual al cociente entre la cantidad de estructura vertical óptima y la original
αo=W k
o Wk
El canto óptimo de la estructura se alterará en proporción a dicho valor, y por ende la esbeltez óptima, que es igual al cociente entre el tamaño (invariable) y el canto óptimo, resultará de multiplicar la esbeltez original por el inverso de dicho valor, resultando
λo=λ√ Wk
WkW= =λ
√
WkW=
W=
Hay que hacer notar aquí que la condición geométrica empleada para la transformación se cumple en piezas trianguladas a costa de un cambio en los ángulos de la triangulación. Por la misma razón, las transformaciones de canto de piezas de alma llena no pueden ser consideradas en rigor incluidas entre éstas, dado que los cambios de canto no alteran laoptimidad en los ángulos implícitos en el material del alma, que sigue trabajando como dos familias traccionada y comprimida a45◦.
Pero además puede asegurarse que en la transformación planteada se man- tienen las deformaciones unitarias de las barras, de modo que el terorema es aplicable a estructuras hiperestáticas en las que se cambien las secciones pro- porcionalmente al cambio en esfuerzo aparecido. Pues efectivamente si con el cambio de canto se mantiene la deformación unitaria preexistente, los desplaza- mientos verticales crecen con el aumento de canto, manteniéndose idénticos los horizontales, con lo que la transformación afín es aplicable tanto a la estructu- ra original como a la deformada, lo que asegura la compatibilidad. Puesto que hemos demostrado la existencia del equilibrio, sólo queda asegurar que defor- maciones y esfuerzos respetan las relaciones de rigidez, lo que sólo exige usar el material en la estructura transformada con idéntico nivel de tensión al que tenía en las barras originales, y modificar las secciones en igual medida que los esfuerzos.
Figura 7.13: Deformación de barra y transformación afín
Se deduce una interesante consecuencia de la precedente propiedad al anali- zar el problema de los arcos con péndolas, que estudiaremos con mayor detalle en el apartado 8.3.
Veremos en dicho problema, que consiste en un arco trazado según el antifu- nicular de las cargas que cuelgan de él mediante péndolas y con tirante entre los apoyos, que las soluciones óptimas se producen cuando la cantidad de estruc- tura en péndolas —vertical traccionada— iguala la cantidad de estructura en
tirante —horizontal traccionada— y su suma iguala la cantidad de estructura del arco —que contiene componentes iguales en cantidad de estructura horizon- tal y vertical comprimidas—, pues efectivamente la condición de óptimo para cambios de canto queda establecida cuando las cantidades horizontal y vertical son iguales. Puesto que en este problema el número de Maxwell es nulo, deben ser también iguales las cantidades traccionada y comprimida.
En este caso, pues, la cantidad de estructura de la solución óptima para cambios de canto puede medirse por 4 veces la de cualquiera de dichas partes, que podemos emplear como unidad. Si por ejemplo elegimos la traccionada horizontal, el tirante, tendremos1 =W+=
W+k=W+= =W−k =W−== 1
W =W++W−=W+k+W+=+W−k+W−== 4
Wk=W== 2
Vamos a acometer una nueva transformación de geometría en uno cualquiera de dichos arcos con péndolas y tirante horizontal. Supongamos que desdoblamos la estructura en dos partes idénticas de carga mitad en cada una de ellas mediante un corte plano vertical. Tendremos ahora ocho partes idénticas en la cantidad de estructura. Supongamos que invertimos una de las dos mitades: las péndolas y tirante en tracción se convertirán en dicha mitad en montantes y cordón comprimido, mientras que el arco comprimido pasa a ser un hilo traccionado. El canto total se duplica, por lo que la esbeltez total pasa a ser la mitad (λt= λ2). Las aportaciones a las componentes horizontal y vertical de la estructura se mantienen en todas las piezas tras la inversión propuesta.
Figura 7.14: Mejora por simetría vertical
Ahora bien, si unimos ahora ambas mitades, resultará que las dos piezas horizontales —tirante del arco más cordón comprimido del hilo— dejan de ser necesarias, puesto que en cada apoyo el empuje del arco pasa a equilibrarse con la componente horizontal del anclaje del hilo. El tirante y cordón horizontal comprimido, al superponerse, se transforman en línea neutra sin esfuerzo. De este modo eliminamos la estructura que antes correspondía al tirante, es decir, la mitad de la (cantidad de) estructura horizontal, con lo que las cantidades de estructura en la estructura transformada pasan a ser W=
t = 1, Wtk = 2, Wt = 3. Evidentemente no se trata de un óptimo —aunque hemos disminuido la cantidad original en un 25 %—. Por ello podemos determinar el cambio afín en el canto que optimiza la solución.
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Se logrará el óptimo con
Wtok =Wto== q WtkWt== √ 2 Wto= 2√2 αo=W k to Wtk = √ 2 2 = 1 √ 2 λo=λt W k √ WkW= =λt 2 √ 2 =λ 1 √ 2
Es decir que, aumentando el canto original en √2 (reduciendo la esbeltez en
√2) la cantidad de estructura total se reduce en el mismo factor. El hecho de
tener curvatura en ambos cordones, es decir el hecho de poder apoyar carga transversal en ambos, mejora apreciablemente la eficiencia de la estructura. La simetría respecto de la horizontal aumenta la eficiencia de la forma inicial.
7.3.
Expresión genérica para la cantidad de es-
tructura
Los anteriores resultados permiten ahora explorar de forma genérica los pa- rámetros fundamentales de los que depende la cantidad de estructura.
Para ello consideraremos estructuras dispuestas para sostener cargas orien- tadas en el mismo sentido —las gravitatorias usualmente— y consideraremos en dichas estructuras el valor acumulado de la resultante de las cargas acción, que llamaremosQasí como una dimensión representativa del problema que la
estructura resuelve, que llamaremosl.
Dada la definición que hemos empleado para la cantidad de estructura, es evidente que si se alteran todas las cargas proporcionalmente, la cantidad de estructura se altera en igual medida: la cantidad de estructura es, por tanto, directamente proporcional a la carga totalQ.
En segundo lugar podemos considerar que la carga se aplica en puntos dis- cretos, y suponer modificaciones de dimensión en la estructura, manteniendo la proporcionalidad respecto de la forma original, sin que dichas modificaciones afectes a los valores de dichas cargas. En este caso todos los nudos mantendrán las fuerzas originales, por lo que las fuerzas en las barras se mantendrán. No así las longitudes, que cambiarán con la longitud empleada para definir el ta- maño. En este caso queda de manifiesto que la cantidad de estructura resulta proporcional a dicho tamañol.
Si se consideran juntamente las dos relaciones citadas, resultará que siendo la cantidad de estructura proporcional a carga total y tamaño, puede definirse mediante una expresión del tipo
W =ψQl
dondeψes un factor de forma a determinar en cada caso, y donde la expresión
recoge todos los casos de igual forma —tanto en la configuración de la estructura, excepto en su dimensión básica, como en la disposición de las cargas—. Pues efectivamente, dado que la cantidad de estructura tiene dimensiones de trabajo,
y dado que el producto de la carga por el tamaño aporta dichas dimensiones, debe resultar que el términoψsea adimensional.
Si queremos avanzar algo más, supondremos ahora que, para una carga dada, y para un tamaño dado, realizamos alteraciones afines de canto, de las descritas en el anterior apartado. En este caso sabemos que existirá un canto óptimo para el cual las partes vertical y horizontal de la cantidad de estructura coinciden. Vamos a usar dicho caso como referencia. En el óptimo,
Wo=Wo=+Wok=ψoQl conWo==Wok.
y podemos establecer una relación entre el tamaño de la estructura l y su di-
mensión transversal o canto, que llamamos esbeltez λ que adopta el valor λo
para dicho canto óptimo. Para situaciones con otras dimensiones resultará que la esbeltez variará con un cierto factorα—que por fijar ideas podemos imaginar
mayor que la unidad con lo que la esbeltez aumenta conα—, λ=αλo
de modo que el canto varía con 1
α y la cantidad de estructura variará al variar
las componentes vertical y horizontal en la forma vista en el apartado anterior: la cantidad vertical variará —disminuirá— con 1
α mientras que la horizontal lo
hará —aumentará— conα. Así pues
W =W=+Wk=αWo=+ 1 αW k o W =Wo= α+ 1 α W =Wo= λ λo + λo λ W =W= o λ λo 1 + λ 2 o λ2 .
Como habíamos establecido el valor de la cantidad de estructura óptima
W= o = 12Wo= 1 2ψoQl tendremos W = 1 2λoψoQlλ 1 + λ 2 o λ2 W =φQlλ 1 +λ 2 o λ2 .
La importancia de la expresión resulta ahora evidente: en la medida en que, para un esquema estructural dado existe un valor óptimo del canto, para dicho valor el factor de forma puede establecerse de modo concreto, y el término de- finido como esbeltez óptima en igual medida. Para dicha forma, en la que se admiten cambios de tamaño, de carga, o de canto —aceptando sólo cambios afines en la geometría— resultará que los coeficientes correspondientes al ópti- mo serán calculables, y fijos, quedando sólo como términos variables los Q,l y
λ, resultando una sencilla y poderosa expresión para la cantidad de estructura. La forma elegida para representarW se debe a una consideración adicional. En la mayoría de las estructuras, las esbelteces óptimas resultan ser valores muy
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bajos, de modo que las estructuras reales resultan con esbelteces apreciablemen- te mayores a éstas, pues en tales problemas deben optimizarse conjuntamente otros parámetros del problema del proyecto, como la superficie envolvente que debe cerrarse, o el volumen que debe acondicionarse, que mejoran apreciable- mente aumentando la esbeltez. De este modo el segundo término del sumando, que nunca alcanzará la unidad, se hace poco relevante en buena parte de las situaciones reales, y la expresión es, por ello más adecuada a la comprensión de las variables en juego.
La cantidad de estructura es, por tanto, directamente proporcional a la carga, el tamaño —la luz en los casos de flexión— y la esbeltez utilizada, salvo un pequeño factor corrector que tiene escasa influencia en esbelteces altas alejadas de la óptima teórica.
Veremos esto con más detalle en el próximo capítulo.