Para caracterizar los problemas, en particular los problemas escolares, debemos partir de algún modelo teórico que defina los factores constituyentes de un problema, de modo que podamos diferenciar entre problemas. Un ejemplo clarificador de un método riguroso para clasificar problemas lo proporcionan los estudios de Cerdán (2008), donde, desde la didáctica de las matemáticas, desarrolla un análisis intensivo mediante grafos trinomiales. Estos grafos proporcionan una clasificación de estructuras aritmético-algebraicas con tres variables implicadas. Como ejemplo encontramos los problemas de móviles con las variables implicadas distancia- velocidad- tiempo. Existe un grafo para cada relación implicada entre las tres variables de modo que el asociar un grafo a un problema permite definir conjuntos de problemas de modo que a igualdad de grafos entre problemas igual procedimiento algebraico de resolución.
De esta forma y tomando como ejemplo los clásicos problemas de móviles asociados al estudio de la cinemática donde o ‘’un móvil alcanza a otro’’ o ‘’dos móviles se encuentran el mismo punto’’, llamados coloquialmente problemas de ‘’Alcanzar o encontrar’’, y que vienen representados siempre por un sistema de ecuaciones donde dos rectas se cortan con pendientes del mismo signo o dos rectas que se cortan con pendientes de diferente signo. Un ejemplo de esta cuestión se presenta en la Figura 2, donde podemos observar dos grafos orientados con todas las relaciones entre las variables implicadas similares, excepto una, que es la que cambia su orientación debido a la diferencia en el signo de las pendientes.
En esta figura, 20 y 30 son los valores correspondientes a la velocidad (expresados en m/s), 2000 corresponde a la distancia (expresada en m) y el tiempo es la variable demandada en los problemas.
Figura 2: Grafos orientados de dos problemas de móviles con los mismos datos ofrecidos y solo una
relación diferente. Diferente signo en la pendiente de una de las dos rectas implicadas.
En los problemas escolares de ciencias se suele plantear un contexto mediante el lenguaje natural en el que se intentan relacionar fenómenos naturales con algunas reglas, principios o leyes. Existen aspectos, atributos o características de la situación que son conocidos y una demanda concreta sobre otro aspecto no conocido (Sanjosé, Valenzuela, Fortes y Solaz-Portolés, 2007). Si nos centramos en el ambiente académico, los problemas en ciencias y matemáticas poseen dos factores que los caracterizan según algunos autores (Chi, Feltovich y Glaser, 1981; Holyoak y Koh, 1987): contexto y estructura. El contexto o superficie, corresponde al nivel concreto; y la estructura corresponde al nivel abstracto de la situación. El contexto o superficie del problema hace referencia a la temática concreta o al ámbito de la realidad descrito en el enunciado, mientras que la estructura se refiere a las relaciones entre las variables que relacionan este enunciado con las reglas, leyes y procedimientos necesarios para la representación abstracta del problema.
Los problemas que tienen idéntico contexto y diferente estructura se denominan similares; isomorfos si tienen diferente contexto e idéntica estructura; equivalentes cuando tienen igual contexto e igual estructura, y, finalmente, no-relacionados o diferentes, cuando tienen diferente contexto y diferente estructura (Reed, 1987). En la Tabla III se recoge la información que acabamos de mencionar.
Igual Superficie Diferente superficie
Igual Estructura Equivalentes Isomorfos
Diferente Estructura Similares Diferentes
Tabla III: Relaciones entre problemas en términos de la similitud de sus superficies y estructuras. (Reed, 1987).
En nuestro caso en particular, cuando hablamos de estructura nos referimos a las relaciones algebraicas que se dan entre las variables asociadas a las entidades expuestas en el enunciado, es decir, cuando dos problemas tienen idéntica estructura sus relaciones abstractas son idénticas y se resuelven aplicando el mismo tipo de reglas, procedimientos y algoritmos. Un ejemplo de problemas con la misma estructura sería: a) un problema en el que un motorista ha de alcanzar a un coche en una autovía; y b) un problema en el que un tren ha de alcanzar a otro en algún punto de la vía. En ambos la pregunta podría ser: ¿cuándo alcanzará, el segundo móvil (Motorista/Tren) al primero? Como vemos, poseen historias distintas pero la estructura y el método de resolución son similares. Un caso de problemas con la misma superficie o contexto y distinta estructura podrían ser dos problemas de trenes que salen, bien de la misma estación, bien de estaciones distintas, y se ha de averiguar el punto de encuentro de ambos trenes.
Además del contexto o situación real descrita en el enunciado, son también elementos superficiales los valores numéricos de las cantidades explicitadas como datos. En problemas multiplicativos se ha observado que los estudiantes cambian la operación elegida cuando se les presentan, sucesivamente, problemas que sólo difieren en términos numéricos (Bell, Swan y Taylor, 1981). También la incógnita, o la magnitud demandada son elementos de la superficie. Se ha demostrado que la incógnita de un problema influye directamente en la dificultad del problema y condiciona el proceso de resolución (Hiebert, 1982; Vergnaug, 1982). Se ha encontrado también que los estudiantes con bajo conocimiento previo y pericia
trabajar “hacia atrás” (Chi, Glaser y Rees, 1982), comenzando por la incógnita y retrocediendo paso a paso hasta encontrar los datos del problema.
Diversos estudios (Bashkar y Simon, 1977; Larkin y Rief, 1979; Chi et al, 1981) han mostrado que los expertos poseen, además de un conocimiento base mayor que los novatos, esquemas mejor organizados, principalmente en torno a principios, leyes y procedimientos, es decir, esquemas construidos a partir de las estructuras procedimentales subyacentes a los enunciados, además, son capaces de interrelacionar temáticas científicas entre ellas a partir de estas reglas o leyes, en cambio, los estudiantes con poca experiencia, construyen los esquemas, principalmente, en torno a elementos superficiales.
Novick (1988), concluyó que cuando los problemas tienen las mismas características estructurales y diferente superficie o contexto se obtiene un nivel de transferencia positivo espontáneo (el aprendizaje previo interfiere en una nueva situación facilitando la identificación de características comunes entre dos situaciones) mayor en resolutores expertos, mientras que cuando los problemas tienen la misma superficie, se produce transferencia negativa (el aprendizaje previo interfiere en una nueva situación dando lugar a una identificación incorrecta de características comunes entre dos situaciones) en ambos grupos pero los resolutores novatos tienden a producirlo con mucha más frecuencia que los resolutores expertos.