3.2 Emparejamiento exacto de grafos
3.2.1 Casos particulares de emparejamiento exacto en tiempo polinomial
Para ciertos subconjuntos de grafos se conocen algoritmos que resuelven el problema del isomor- fismo de grafos de forma exacta con complejidad computacional subexponencial. Los casos m´as interesantes son los enumerados a continuaci´on. En algunos de estos casos, dada su relativa escasa popularidad, se ha dado una muy breve descripci´on con la intenci´on de facilitar la lectura.
1. Grafos planos. El subconjunto de los grafos planos tiene, por s´ı mismo, multitud de apli- caciones pr´acticas, es por ello que se han dedicado esfuerzos considerables para encontrar resultados pr´acticos en ´epocas muy precoces; un trabajo que identifica estos grafos es [HT74]. Weinberg [Wei66] explota el hecho de que los grafos planos triconectados44 se pueden repre- sentar de forma ´unica en una esfera [Whi92]45 para elaborar un algoritmo con complejidad computacionalO(N2) para testear el isomorfismo de grafos planos triconectados. El anterior
resultado es extendido a grafos planos arbitrarios con complejidad computacionalO(NlogN) en los trabajos de Hopcroft y Tarjan [HT71, HT72]. El anterior resultado es mejorado por Hopcroft y Wong pasando su complejidad computacional a serO(N) en el mejor caso [HW74], no obstante los propios autores reconocen el valor puramente te´orico de este resultado y ponen en duda su uso pr´actico. En [KHC04] se propone un algoritmo con complejidad computacional
O(N2) pero que tiene la gran ventaja de que es f´acilmente implementable es un computador
convencional, en este mismo trabajo tambi´en se expone un estudio muy interesante de los resultados obtenidos previamente.
2. Arboles con ra´ız.´ Dado que un ´arbol siempre es un grafo plano este caso estar´ıa incluido en el caso anterior que es m´as general, sin embargo debido al alto inter´es pr´actico que despiertan los ´arboles por s´ı mismos han sido estudiados de forma monogr´afica. En [AHU74] se da un algoritmo para el isomorfismo de ´arboles con ra´ız con complejidad computacional lineal seg´un el n´umero de nodos (O(N)), en esencia tal algoritmo asigna un codigo a cada ´arbol con ra´ız y al final lo que se comparan son los c´odigos. Los anteriores enfoques tambi´en sirven para ´
arboles sin ra´ız, en estos el problema se traslada a la localizaci´on de sendos nodos que puedan ejercer la funci´on de raices para ello se busca el centro de los grafos.
44Una grafo fuertemente conexo es triconexo cuando al eliminar dos cualesquiera de sus v´ertices sigue siendo
fuertemente conexo.
3.2. Emparejamiento exacto de grafos
3. Grafos de valencia acotada. Utilizando la teor´ıa de grupos Luks presenta en [Luk82] un m´etodo para el testeo del isomorfismo de grafos de valencia acotada con una complejidad computacional polinomial. El enfoque desde la teor´ıa de grupos del isomorfismo de grafos ha sido aplicado por diversos autores para diversos tipos de grafos por lo que es recomendable el libro [Hof82] que cubre aspectos b´asicos de dicha teor´ıa (en especial el Cap´ıtulo II) y el caso de los grafos de valencia acotada (Cap´ıtulo V).
4. Grafos de intervalos. SeanN intervalos de la recta real de forma que a cada intervalo se le asocia un nodo de un grafo, entonces dos nodos son adyacentes si, y s´olo si, sus respectivos intervalos se intersecan, en este caso se dice que este grafo es de intervalos. En [LB79] se da un algoritmo de decisi´on para el isomorfismo de grafos de intervalos mediante el uso de unas estructuras llamadas “PQ-tree” con una complejidad computacional deO(N+M) dondeM
es el tama˜no del grafo. Sea dicho de paso, en el mismo art´ıculo el autor demuestra que el problema del isomorfismo de grafos cordales46es NP-duro.
5. Grafos circulares. Sea una circunferencia (cuya posici´on del centro y longitud del radio son irrelevantes) en la que existen N cuerdas de forma tal que a cada cuerda se la asocia un nodo del grafo, entonces dos nodos son adyacentes si, y s´olo si, sus respectivas cuerdas se intersecan, en este caso se dice que el grafo es circular (tambi´en es conocido como grafo circular de cuerdas) [EI71].47En [GSH89] puede ser encontrado un algoritmo para el reconocimiento de este tipo de grafos y m´as recientemente en [Spi94] y en [Hsu95], todos los anteriores algoritmos son polinomiales en tiempo. En este ´ultimo art´ıculo tambi´en se ataca el isomorfismo de los grafos circulares de arcos, explotando y generalizando el concepto de la estructura “PQ-tree” utilizada en los grafos de intervalos dando un algoritmo con complejidad computacional de
O(N +M) donde M es el tama˜no del grafo; el resultado obtenido es extendido a los grafos de cuerdas (grafos circulares).
6. Grafos de g´enero acotado. Informalmente un grafo es de g´enero γ (con γ = 0,1,2, . . .) cuando puede ser representado en una esfera conγ“agujeros” sin que las aristas se intersequen (conγ el menor posible), es evidente que para γ = 0 se est´a ante un grafo plano, por lo tanto este tipo de grafos es una generalizaci´on de los grafos planos, o si se prefiere los grafos planos son un caso particular de este tipo de grafos (g´enero 0). En [FMR79] se da un m´etodo para determinar el g´enero de un grafo. Simult´aneamente en el tiempo se presentaron los trabajos de [Mil80] y de [FM80], como se reconoce en el primer trabajo ambos son muy similares. En ellos se presenta un algoritmo para el testeo del isomorfismo de grafos de este tipo. La complejidad computacional del algoritmo es NO(γ) con la notaci´on utilizada m´as arriba. Despu´es de dos d´ecadas, en el art´ıculo de [Gro00] se tacha de complicados los algoritmos de los dos trabajos anteriores y se propone otro algoritmo basado en lo que el autor denomina “color refinement” siendo la complejidad computacional la misma que los dos anteriores. 7. Grafos con multiplicidad de los autovalores acotada. Sup´ongase que de la matriz de
adyacencia de un grafo de grado N se obtienen sus autovalores y que m es la multiplicidad mayor de ellos. En [BGM82] se presentan dos algoritmos distintos y sin conexi´on conceptual alguna entre ellos para el testeo del isomorfismo de este tipo de grafos. El primer algoritmo es determin´ıstico y su complejidad computacional esO(N4m+c) y el segundo es no determin´ıstico y utiliza el algoritmo “Las Vegas”48con complejidad computacionalO(N2m+c) en dondeces
una constante. En ambos casos la soluci´on aportada s´olo es para grafos no dirigidos.
46Los grafos cordales o triangulados son los grafos que no contienen ciclos inducidos con 4 o m´as nodos. Los grafos
de intervalos y los cordales est´an relacionados porque los primeros son un subconjunto de los segundos [LB62].
47Estos grafos no se han de confundir con los grafos circulares de arcos en donde lo que se intersecan sonN arcos.
En general, por grafo circular se debe entender un grafo de cuerdas.
48El algoritmo “Las vegas” fue introducido por L´aszl´o Babai in 1979 para el tratamiento del isomorfismo de grafos
8. k-´arboles parciales.Losk-´arboles son utilizados en multitud de problemas como puede ser la asignaci´on eficiente de memoria a procesadores. Seg´un los autores de [LKT02] losk-´arboles son una generalizaci´on natural de los ´arboles, estos pueden ser definidos49 de forma recursiva
mediante la aplicaci´on de las dos reglas siguientes:50
(a) Un grafo completo dek v´ertices (k-clique) es unk-´arbol.
(b) SiT es unk-´arbol, entonces un nuevok-´arbol se forma a˜nadiendo un nuevo v´ertice v y agregandok aristas entrev y cada v´ertice de un k-clique enT.
A un subgrafo de unk-´arbol se le denomina unk-´arbol parcial. Caracterizaci´on, propiedades e informaci´on extra, fuera de lo que aqu´ı se esta tratando, puede ser encontrado en los textos de [BP71], [Ros74], [CM93] y [Pat86] entre otros muchos. Ya en 1985 se conjetura en [Joh85] que existe un algoritmo polinomial de decisi´on sobre el isomorfismo de este tipo de grafos. Poco despu´es, en el trabajo [Bod90] se demuestra que tal algoritmo polinomial existe y se da una descripci´on del mismo resultando una complejidad computacional de O(N4,5). El autor del anterior trabajo sugiere en las conclusiones que el mismo algoritmo, con ligeras modificaciones, puede proporcionar el mapeado del isomorfismo pero no da m´as indicaciones.