Categoría 2: Aprendizaje del cálculo de volumen

La siguiente categoría tiene por nombre: aprendizaje del cálculo de volumen de prismas, y pretende describir precisamente el proceso que los niños siguieron, las discusiones y los logros alcanzados para aprender a calcular el volumen de los prismas.

Los datos que se presentan a continuación, fueron recolectados a partir de dos instrumentos específicamente: la entrevista y la guía de observación. Los datos se estructuran en tres grandes indicadores:

- Construir y armar desarrollos planos de prismas - Calcular el volumen de prismas rectos construidos

4.1.2.1 Conocer las propiedades básicas de los prismas.

Este primer indicador sobre conocer las propiedades básicas de los prismas pretendía observar en qué medida los alumnos lograban aprender las características de los prismas, en específico, el concepto de arista, vértice, caras y bases, ya que por un lado este

conocimiento era indispensable para el trabajo con el modelo matemático para lograr un manejo correcto de la terminología adecuada. Este indicador además es uno de los propósitos que la SEP (2009) establece para el sexto grado.

Se les propuso a los alumnos en la actividad uno de la webquest que llenaran una tabla con las características de los prismas, registrando el número de aristas, de vértices y de caras, así como la forma de las caras de los diversos primas. Para ello podían buscar información de diversos recursos de internet en la webquest.

En la guía de observación se registró que los alumnos de los cuatro equipos lograron identificar qué era una arista, un vértice y una cara registrando en la tabla los datos

correctamente, aunque llegaron a este conocimiento de diferentes maneras (véase apéndice H).

En el equipo 1, el alumno E11 ya tenía la noción de lo que significaba cada concepto, y como contarlas para llenar la tabla, sin embargo, sus compañeros opinaron que sería mejor corroborarlo con la información de la sección de recursos. Así, en diversos sitios encontraron que la información que el alumno E11 les decía era correcta y llenaron la tabla. Lo mismo pasó con los equipos 3 y 4, aunque los alumnos ya tenían una noción de los conceptos, los alumnos decidieron revisar la información de apoyo con la que contaban, y lo hicieron correctamente.

El equipo 2 en cambio, no necesitó buscar información, ellos tenían muy claramente los conocimientos previos necesarios para saber lo que era cada característica de los prismas y llenaron la tabla con rapidez. La estrategia del equipo 2 fue buscar una “caja de papel aluminio” del rincón de materiales del salón y manipulando este objeto pudieron contar los vértices y aristas de el prisma cuadrangular.

La guía de observación también registra que los equipos 3 y 4 tuvieron dificultades para encontrar la información de los recursos de apoyo, y necesitaron apoyo del docente para ubicar lo que ellos buscaban. Después de esta ayuda tecnológica, pudieron encontrar sus respuestas y llenar la tabla correctamente.

En las entrevistas, a los alumnos se les preguntó sobre el concepto de arista, vértice y cara, y la manera en que los habían aprendido. Los doce alumnos demostraron conocer lo que cada concepto significaba, aunque lo expresaban de diversa maneras. (véase Anexo 9). Nueve de los doce alumnos manejaron en sus respuestas una terminología informal, ya que definieron los conceptos de aristas, vértices o caras, de la siguiente manera:

Los alumnos señalaban e identificaban correctamente la ubicación de estos conceptos en el prisma armado, y los contabilizaban correctamente, pero utilizaban este lenguaje para definirlos.

Otra pregunta que se les realizó a los alumnos fue “¿Con qué prisma trabajaron en la actividad?, y ¿porqué se llama así?”. Como respuesta, once alumnos, identificaron

correctamente que se trataba de un prisma cuadrangular, y dijeron el porqué de ello correctamente (véase apéndice I). Solamente una alumna no supo que contestar ante esta pregunta, dijo que no recordaba el nombre del prisma.

Pregunta ¿Puedes decirme lo que es una arista, un vértice y una cara con tus palabras? - Respuesta del alumno E23.- “Un arista son los palitos entre los vértices, un vertice son los

puntos que unen las aristas, las caras son las (las señala en el prisma)”

- Respuesta del alumno E31.- “Las aristas son la orillita de los prismas, un vértice son los puntitos, una cara son lo que unen”

- Respuesta del alumno E43.- “Las arista son las lineas que estan en (señala), un vértice son las esquinas, una cara son las partes que estan en los lados que tapan la figura.”

4.1.2.2 Construir y armar desarrollos planos

El segundo de los indicadores que pertenece a la categoría 2, fue el que los alumnos construyeron y armaron desarrollo planos de prismas, que también es uno de los propósitos del sexto grado para la asignatura de matemáticas.

La guía de observación registró que los alumnos lograron armar el desarrollo del prisma correctamente, aunque atravesaron por diversas problemáticas. Los equipos 1 y 3 principalmente tuvieron ciertas dificultades con el uso de los instrumentos de medición, puesto que recurrentemente dibujaban y redibujaban su patrón en la cartulina, aunque al final lo consiguieron. El equipo 4, tuvo mayores dificultades ya que inició rápidamente el dibujo del prisma pero dibujando las diversas caras y bases por separado, después de una discusión entre los miembros del grupo, lograron corregir este error. El equipo 2 no tuvo mayores dificultades en el dibujo del patrón, ni en el uso de la regla. Estos alumnos fueron muy precisos y no necesitaron ayuda del docente para realizar su construcción del prisma solicitado.

En la entrevista, los alumnos relataron la manera en que habían construido el prisma y si habían tenido dificultades así como la información que buscaron y ocuparon para llegar a este resultado. Los doce alumnos contaron su proceso de armado de una manera muy similar, algunas de las respuestas más recurrentes fueron:

Solo los alumnos del equipo 2 mencionaron no haber necesitado información, los demás equipos en sus respuestas explicaban que habían recurrido a la computadora para encontrar el patrón de armado del prisma.

E3A2: “Primero hicimos en la computadora y luego lo recortamos y pegamos. Si usamos la informacion de la computadora, de que tenias que dibujar como en la computadora”

E2A1: “Primero lo dibujamos en el carroncillo y luego lo recortamos, no ocupamos información, ya sabiamos como armarlo.”

E2A2: “Primero lo dibujamos, medimos, que midiera 10 centimetros y 24 para abajo y de alli lo recortamos y lo pegamos”.

4.1.2.3 Calcular el volumen de prismas construidos

El último indicador que se crea para la categoría 2, trata de describir el proceso que siguieron los alumnos para llegar a calcular el volumen del prisma que armaron. Se observó si los equipos identificaban las variables área de la base y altura como indispensables, si realizaban un conteo de centímetros cúbicos, si podían elaborar la fórmula del cálculo de volumen y con ello llegar a una respuesta correcta.

El equipo 1, inició dibujando los centímetros cúbicos en el prisma que habían hecho, pero luego de una discución entre los alumnos del equipo, llegaron a la conclusión que podrían multiplicar lado por lado de la base y así tener los centímetros cúbicos de la base. Luego de esto, E12 sugirió multiplicarlo por la altura. Los alumnos llegaron al

resultado y el modelo que formularon fue: Volumen es igual a lado por lado por altura, que después de analizarla la transformaron en área de la base por altura (véase figura 12).

Figura 12.- Explicación del modelo del E1

El equipo 2 buscó también el área de la base para conocer el número de centímetros cúbicos, pero luego buscó el área de cada una de las caras, obteniendo primero la fórmula del cálculo del área total de los prismas.

El alumno E23 se dio cuenta que faltaban los “cubos de adentro” fue entonces que el alumno E22 propuso contar por “cajones” es decir, después de saber los cubos de la base, continuar con el siguiente, y así hasta llegar a la otra base, es decir, lo multiplicaron por la altura. Llegaron a la respuesta correcta mediante la fórmula: “volumen = L x a x a” (volumen es igual a largo por ancho por altura) para luego pasar a “V= área de la base por la altura” (véase figura 13).

Sacar el área de la base al y multiplicarla por la altura. Para sacar el volumen de un prisma triangular “ab x h”

Figura 13.- Explicación del modelo del E2

El equipo 3, después de múltiples ejercicios en un juego interactivo de la computadora, reconoció rápidamente que habían de multiplicarse las tres medidas para llegar a la respuesta. Su fórmula fue: “volumen = área de la cara por altura”

Para el equipo 4, el proceso fue más despacio, puesto que ellos calcularon el área de una de las caras recangulares del prisma y luego lo multilicaron por la medida de un lado del cuadrado de la base. La respuesta fue correcta, sin embargo, cuando se les presentó el prisma triangular tuvieron problema en el calculo de su volumen. Ellos decidieron “voltear” el prisma y hacer lo mismo pero desde la base, calculando su área y luego por

multiplicandola por su altura.

4.1.3 Elementos para el diseño de una webquest

La tecnología jugó un papel importante como apoyo en la continuidad de las actividades que daban seguimiento a cada etapa del proceso de modelación matemática. Las actividades fueron planteadas en el desarrollo de las partes de una webquest que se mencionaron en el capítulo 2:

- Introducción - Tarea - Proceso - Recursos

- Conclusión

Se utilizaron la autoevaluación y la entrevista como instrumentos para recabar información sobre lo que los alumnos pensaban de las actividades que se les habían propuesto y el grado que les otorgaban a sus compañeros de equipos sobre el trabajo realizado con el propósito de verificar si efectivamente la webquest había cumplido con su parte de apoyo.

Los resultados de las autoevaluaciones mostraron que los alumnos de los cuatro equipos en su puntaje otorgaron una media de 1 al indicador que validaba el hecho de que sus compañeros compartían ideas sobre la resolución del problema, lo que mostraba que siempre lo hacían.

En el siguiente indicador los alumnos tuvo una media de 2, lo que indicaba que la mayoría de las veces se cumplió con el respeto de turnos. En el indicador sobre realizar cada quien su parte del trabajo los cuatro equipos tuvieron una media de 2, lo que indica que sucedió la mayoría de las veces.

Los alumnos se autoevaluaron con un puntaje medio de 1 en el indicador que medía el grado en que se habían aclarado las dudas. Por último, la media del indicador sobre expresar con claridad sus ideas en el equipo y en la presentación del trabajo, fue de 2, que representa la mayoría de las veces.

Por otro lado, en la entrevista, los doce alumnos respondieron que las instrucciones de la webquest les habían parecido sencillas y que no tuvieron problemas para enternder lo que harían. A su vez, la respuesta sobre la utlización de la información de la web, los niños expresaron que había sido de mucha ayuda las páginas de internet y que les había gustado manejarla. Algunas de las respuestas fueron:

- E1A3.- Las páginas web me sirvieron para averiguar cómo se hacía un prisma, y para averiguar cuántos cuadritos tenia la figura. Si (me gustó), porque es más divertido.

- E2A2.- Las páginas me sirvieron para aprender, si encontré información, buscamos como era el prisma, si me gusto el internet porque así puedo aprender más.

- E3A2.- Si me sirvió, para enseñarme más, si encontré información, encontré cómo armar los prismas para calcular su volumen. Había juegos, me sirvieron para enseñarme más.

Por último, en la cuestión sobre el trabajo con las matemáticas con las webquest, el total de la muestra respondió favorablemente afirmando que les había parecido mejor y que habían aprendido mas. Sus respuestas fueron:

- E4A1.- Estuvo divertido, aprendí que podías multiplicar lado por lado y altura para sacar el volumen.

- E4A2.- Me gusto porque nunca había trabajado con matemáticas en computadora y porque aprendí más.

- E1A3.- Me parece mejor que escribir mucho. Es mejor es la computadora y hacerlo en equipo. Si, aprendí a sacar el volumen, como son los vértices, aristas caras.

Ambos instrumentos permitieron conocer el punto de vista de los alumnos respecto a su trabajo con las webquest. En la siguiente sección se presenta el análisis de los resultados presentados que arrojaron los diversos instrumentos en las tres categorías.

4.2 Análisis e interpretación

En esta sección se presentará la triangulación de datos, es decir se analizarán los resultados de las diferentes fuentes y métodos de recolección utilizados (Hernández, et al., 2010). El análisis se presentará organizándolo en las tres categorías principales en que se presentaron los datos: Competencias de modelación matemática que desarrollan los alumnos de sexto grado de educación primaria, Proceso de aprendizaje del cálculo de volumen de prismas y Elementos para el diseño de una webquest.

4.2.1 Competencias de modelación matemática que desarrollan los alumnos de sexto grado de educación primaria.

A continuación se analizará la información que previamente fue descrita sobre los resultados arrojados a partir de los instrumentos utilizados, y con ello lograr una revisión de cada una de las competencias de modelación matemática que pudieron ser observadas en los alumnos.

4.2.1.1 Estructurar el campo o situación que va a modelarse

Para iniciar el ciclo de modelación, los alumnos fueron enfrentados a una situación problemática. El diseño de las situaciones constituye un elemento central para que el uso de la modelación tenga éxito, puesto que un problema planteado en buenos términos favorece el compromiso de los estudiantes en su solución (Trigueros, 2006).

Por ello, la situación problemática que se presentó fue: “¿Cuál es la cantidad de jugo que contiene el siguiente envase?” Esta situación reunía las características de ser una

situación cotidiana para los alumnos y a su vez tenía un significado, es decir, era una problemática relevante para darle solución, a diferencia de los problemas de calcular el volumen de prismas aislados y sin sentido. Bosh, et al. (2006) propone partir de una situación realista para el alumno en la que pueda actuar empezando la construcción de su primer modelo.

Los alumnos después de una lectura grupal del problema a resolver, empezaron a hacer comentarios entre sus equipos y con ello, se desataron diversas discusiones sobre lo que harían. El docente al ir orientando sus discusiones, realizaba preguntas que les

permitiera saber si los alumnos habían comprendido el problema, cumpliendo su rol de hacer cuestiones para encaminarlos e intervenir aclarando dudas si es necesario (Trigueros, 2006).

Los equipos 1, 2, 3 y 4 a la pregunta de ¿Qué es lo que harán? Contestaron

correctamente que buscarían saber “la cantidad de jugo que cabía en el envase”, e iniciaron a llenar la tabla de características de los prismas mediante una búsqueda de información en la sección de recursos de la webquest.

Y efectivamente, con los resultados presentados en los instrumentos que recabaron datos, se puede afirmar que todos los equipos reconocían la incógnita y los datos que el problema les proporcionaba, y con ello, deducían que era posible su resolución. Así, los alumnos lograron entender la situación real e iniciar la construcción de hipótesis para la construcción del modelo de resolución adecuado (Bosh et al., 2006).

Por ello se puede afirmar que los alumnos de sexto grado pudieron estructurar el campo o situación a modelarse, durante esta etapa del proceso. Algo que tuvo influencia en el desarrollo de esta competencia de modelación matemática, fue la presentación de la problemática de manera escrita y también con el apoyo de diversas representaciones gráficas (dibujos) que hacían que los alumnos comprendieran mejor lo que harían. Además de la propuesta de complementar la tabla les hizo tener un más claro panorama de los datos que podían ser utilizados para construir el modelo con el que resolverían el problema.

4.2.1.2 Traducir la realidad a una estructura matemática

Como siguiente actividad a los alumnos se les pedía armar el prisma con el que calcularían su volumen. Durante el armado los alumnos mostrarían que tenían la competencia de iniciar a traducir la realidad que habían comprendido anteriormente, es decir la situación problemática, a una estructura matemática con otro nivel de abstracción, que específicamente sería el proceso de construcción del prisma (envase).

Los niños tuvieron diferentes maneras para el armado de dicho prisma. Se les dio la oportunidad de que buscaran en la sección de recursos de la webquest información sobre el patrón que debían de dibujar aprovechando esta oportunidad los equipos 1, 2 y 3.

equipo 1 y el equipo 3, tuvo diversas dificultades para la medición de las caras del cartoncillo, sin embargo no se dieron por vencido, encontraron maneras ingeniosas de poder dibujar el patrón de modo correcto. El trabajo con actividades basadas en modelación de situaciones reales, tiene como beneficio un incremento en la creatividad y el interés por el descubrimiento (Aravena, 2007).

Algunas de las dificultades presentadas por el equipo 4 fueron el no buscar la información necesaria en primera instancia para posteriormente iniciar a dibujar en el cartoncillo las caras aisladas del prisma. Este error de orden en las acciones, se puede traducir como un paso importante en el proceso de modelación puesto que analizaron al darse cuenta de su error y volvieron de nuevo a empezar, es decir, revisaron sus errores y corrigieron, haciendo del proceso de modelación un ciclo, en el que el alumno puede retroceder las veces necesarias si detecta algún error (Hodgson, 1995).

En conclusión se puede afirmar que los alumnos pudieron desarrollar la

competencia de modelación matemática ya que en el trabajo en equipo fueron capaces eventualmente y algunos con un poco de ayuda, de traducir la realidad presentada en el problema a una estructura matemática abstracta, en este caso un prisma (envase) con las medidas exactas que se les pedía en la actividad.

4.2.1.3 Interpretar los modelos matemáticos en términos reales

Un tercer indicador a analizar es el que los alumnos hayan sido capaces de establecer una relación entre el modelo matemático que estaban construyendo con el problema, pudiendo identificar cada variable con su significado.

En la actividad dos se les solicitaron a los alumnos, ya con el prisma armado, tratar de calcular el volumen que había en él. Es decir, de acuerdo con Aravena (2007) estaban empezando a matematizar el problema, elaborando el modelo matemático a partir de los datos con que contaban.

En este punto se les preguntó a los alumnos el por qué (justificación) de lo que estaban realizando con los datos del problema, con los algoritmos que estaban aplicando y con las diversas anotaciones que realizaban. De acuerdo con las respuestas más recurrentes, se analiza que los alumnos tenían una idea clara de lo que estaban haciendo en relación con la situación planteada.

Así, las respuestas a la pregunta del ¿por qué? fueron en su totalidad encaminadas a explicar que el proceso que seguían tenía un fin y una incógnita que resolver, las respuestas de los cuatro equipos fueron correctas y argumentadas de acuerdo al procedimiento que