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Clasificación de las anualidades

In document La empresa, su operación y su entorno (página 121-134)

Gráfica 1. Valor futuro

1.5.5. Anualidades

1.5.5.1. Clasificación de las anualidades

Solución...

El periodo de inversión fue de 10 años y 3 meses; esto es, 123 meses. La tasa efectiva en el periodo fue:

i = 4,400 – 1,285 = 242.4124514% en el periodo 1,285

Para obtener la inflación ocurrida en el periodo de inversión se utiliza la información de la siguiente tabla, junto con la ecuación (5.8).

Mes y año INPC

Diciembre de 1992 24.7398

Marzo de 2003 104.2610

λ = 104.2610 – 1 = 321.430246% en el periodo 24.7398

Mediante la fórmula de Fisher se obtiene el rendimiento real:

iR = 2.424124514 – 3.21430246 = - 18.7499% en el periodo de inversión.

1 + 3.21430246

La tasa real negativa indica que invertir en Centenarios no fue buena inversión para Mayra.

Elementos que componen una anualidad M = monto de una anualidad

C =capital valor presente o valor actual de una anualidad i = tasa de interés

R = pago periódico de una anualidad o renta

n = número de pagos o tiempo en que se paga una anualidad 1.5.5.1.1 Anualidades vencidas u ordinarias

Las anualidades vencidas consisten en una serie de pagos en donde el primer pago se efectúa al finalizar el primer periodo, el segundo se realiza al término del segundo periodo, el tercero se realiza al finalizar el tercer periodo y así sucesivamente. Gráficamente, esto se puede representar por:

R R R R R ………... R

………...

0 1 2 3 4 5 n tiempo

Monto:

En la línea del tiempo tenemos:

R(1+i)n-1 R(1+i)n-2 R(1+i) R

0 1 2 …….. n - 1 n tiempo

M = R ( 1 + i )n-1 + R ( 1 + i )n-2 + …… + R ( 1 + i ) + R

Considerando la suma anterior de derecha a izquierda, se puede ver que el monto es una progresión geométrica, y tenemos que:

M = R + R ( 1 + i ) + … + R ( 1 + i )n-2 + R ( 1 + i )n-1

M = R [ 1 + ( 1 + i ) + … + ( 1 + i )n-2 + ( 1 + i )n-1 ] = RS S

Sabemos que:

t1 ( 1 – rn ) t1 – t1 rn S = 1 – r = 1 - r

En la ecuación ( 1 ) observamos que: t1 = 1 y r = 1 + i Sustituyendo estos valores en la ecuación ( 2 ) tenemos que:

1 – ( 1 + i )n 1 – ( 1 + i )n 1 – ( 1 + i )n ( 1 + i )n – 1 S = 1 – ( 1 + i ) =

1 – 1 – i =

- i =

i Sustituyendo este valor de S en ( 1 ) obtenemos la fórmula del monto:

[ ( 1 + i )n – 1 ]

M = R i

( 1 )

( 2 )

Capital:

En la línea del tiempo tenemos:

R(1+i)-1 R(1+i)-2 R(1+i)-n+1 R(1+i)-n

0 1 2 …….. n – 1 n tiempo

C = R ( 1 + i )-1 + R ( 1 + i )-2 + … + R ( 1 + i )-n+1 + R ( 1 + i )-n

C = R [ ( 1 + i )-1 + ( 1 + i )-2 + … ( 1 + i )-n+1 + ( 1 + i )-n ] = RS S

Sabemos que:

t1 – t1 rn S = 1 – r

En la ecuación ( 3 ) observamos que: t1 = ( 1 + i )-1 y r = ( 1 + i )-1 sustituyendo estos valores en la ecuación ( 4 ) tenemos que:

( 1 + i )-1 – ( 1 + i )-1 ( 1 + i )-n ( 1 + i )-1 [ 1 – ( 1 + i )-n ]

S = 1 – ( 1 + i )-1 =

1 - 1 1 + i

( 1 + i )-1 [ 1 - ( 1 + i )-n ( 1 + i )-1 [ 1 – ( 1 + i )-n ]

S = 1 + i – 1 = 1

1 + i 1 + i

( 1 + i ) ( 1 + i )-1 [ 1 – ( 1 + i )-n ] [ 1 – ( 1 + i )-n ]

S = i =

i Sustituyendo este valor de S en ( 3 ) obtendremos la fórmula del capital:

[ 1 – ( 1 + i )-n ]

C = R i

Ejemplos…

Calcule el monto y el valor actual de las siguientes anualidades:

1.$25,000 semestrales durante cinco años y medio a una tasa de Interés del 19% capitalizable semestralmente.

Datos...

R = $25,000 i = 0.19 / 2 = 0.095 n = (5.5) (2) = 11

Fórmula...

[ ( 1 + i )n – 1 ]

( 3 )

( 4 )

Solución...

[ ( 1.095 )11 – 1 ] M = 25,000

0.095 M = 450,962.96

Fórmula...

[ 1 – ( 1 + i )-n ]

C = R i

Solución...

[ 1 – ( 1.095 )-11 ] C = 25,000

0.095 C = 166,182.60

2.$50,000 anuales durante 8 años a una tasa anual de 12.8%

Datos...

R = $50,000 i = 0.128 n = 8

Fórmula...

[ ( 1 + i )n – 1 ] M = R

i Solución...

[ ( 1.128 )8 – 1 ]

M = 50,000 0.128

M = 633,216.74 Fórmula...

[ 1 – ( 1 + i )-n ] C = R

i Solución...

[ 1 – ( 1.128 )-8 ]

C = 50,000 0.128

C = 241,590.35

3.Un padre de familia prometió a su hija que cuando cumpliera 15 años le haría su fiesta y además le regalaría un viaje a Europa por 30 días. De acuerdo con las investigaciones hechas por el padre, poder cumplir su promesa le costará $200,000, por cual ha decidido ahorrar cada fin de mes cierta cantidad que le permita cumplir con lo ofrecido. Si la tasa de interés es de 18% capitalizable mensualmente y su hija en este momento tienen 12 años, determine:

a) El importe de los depósitos mensuales.

Datos...

M = $200,000 i = 0.18 / 12 = 0.015 n = (3) (12) = 36

Fórmula...

[ ( 1 + i )n – 1 ] M = R

i Solución...

[ ( 1.015 )36 – 1 ] M = 200,000

0.115

M = 4,230.48 depositara mensualmente el padre

b) Si él quisiera hacer un solo depósito el día de hoy, ¿de cuánto sería este depósito.

Datos...

R = $4,230.48 i = 0.015 n = 36 Fórmula...

[ 1 – ( 1 + i )-n ] C = R

i Solución...

[ 1 – ( 1.015 )-36 ]

C = 4,230.48 0.015

C = 117,017.97 tendría que depositar el día de hoy.

4.El beneficiario de un seguro de vida recibirá $3,100 mensuales durante 10 años, pero prefiere que le den el capital equivalente al inicio del plazo. ¿Cuánto le darán si el dinero reditúa en promedio 19.35% capitalizable mensualmente?

Datos...

R = $3,100

i = 0.1935 / 12 = 0.016125 N = (10) (12) = 120

Fórmula...

[ 1 – ( 1 + i )-n ]

C = R i

Solución...

[ 1 – ( 1.016125 )-120 ] C = 3,100

0.016125 C = 164,050.89

5.Un actuario deposita $1,000 al mes de haber nacido su hijo. Continúa haciendo depósitos mensuales hasta que su hijo cumpla 18 años de edad para en ese día entregarle lo acumulado como regalo. Si durante los primeros 6 años de vida del hijo la cuenta pagó 36% capitalizable mensualmente, y durante los 12 años restantes pago el 2% mensual, ¿cuánto recibió el hijo a los 18 años?

Calculando con la tasa de 36% capitalizable mensualmente en los primeros 6 años tendrá:

Datos...

R = $1,000

Fórmula...

[ ( 1 + i )n – 1 ] M = R

I Solución...

[ ( 1.03 )72 – 1 ] M = 1,000

0.03 M = 246,667.24

Considerando que esta cantidad genera intereses a razón de 2% mensual durante los últimos 12 años, tenemos que:

Datos...

C = $246,667.24 i = 0.02

n = (12) (12) = 144 Fórmula...

M1 = C ( 1 + i )n Solución...

M1 = 246,667.24 ( 1.02 )144 M1 = 4’271,065.30

Considerando que en los últimos 12 años siguió haciendo depósitos de $1,000 cada mes y que la tasa cambió al 2% mensual, tenemos:

Datos...

R = $1,000 I = 0.02

N = (12) (12) = 144 Fórmula...

( 1 + i )n M2 = R i Solución...

( 1.02 )144 M2 = 1,000 0.02

M2 = 815,754.46

Sumando M1 + M2 = 4,271,065.30 + 815,754.46 = 5’086,819.76 El hijo recibirá como herencia a los 18 años $5,086,819.76

6. El señor Méndez adquiere hoy a crédito una computadora, ésta le cuesta $18,000 y conviene pagarla en 24 mensualidades vencidas. ¿Cuánto deberá pagar cada mes si le cobran 1.5% de interés mensual?

Datos...

C = $18,000 i = 0.015 n = 24 Fórmula...

1 - ( 1 + i )-n

C = R I

Solución...

1 - ( 1.015 )-24

18,000 = R 0.015 = 20.030405 R

R = 18,000 / 20.030405 = 898.63 esta cantidad deberá pagar cada mes el señor Méndez 1.5.5.1.2. Anualidades anticipadas

Las anualidades anticipadas se componen por una serie de pagos, en donde el primero se efectúa al término del primer periodo, el tercero se realiza al finalizar el segundo periodo y así sucesivamente. Gráficamente, esto puede observarse en la línea del tiempo:

R R R R R ………... R

………...

0 1 2 3 4 5 n tiempo

Monto

En la línea del tiempo tenemos:

R(1+i)n-1 R(1+i)n-2 R(1+i)2 R(1+i)

0 1 2 n-2 n-1 tiempo

M = R + R ( 1 + i )n-1 +R ( 1 + i )n-2 + ... + R ( 1 + i )2 + R ( 1 + i ) M = R [ ( 1 + i ) ( 1 + i )2 + ... + ( 1 + i )n-2 + ( 1 + i )n-1 + 1] = RS

S Sabemos que:

S = [ t1 ( 1 – rn ) ] ( 1 – r ) = ( t1 – t1 rn ) / ( 1 – r ) ] ( 2 ) En la ecuación ( 1 ) observamos que:

t1 = 1 + i y r = 1 + i Sustituyendo estos valores en la ecuación ( 2 ) tenemos que:

S = [ ( 1 + i ) – ( 1 + i ) ( 1 + i )n ] / [ 1 – ( 1 + i ) ]

S = [ 1 + i – ( 1 + i )n+1 ] / i S = 1/i + i/i - [ ( 1 + i )n+i / i ]

(1)

Sustituyendo este valor de S en ( 1 ) obtenemos la fórmula del monto:

h [(1+i)n+1-1 M = R

I - 1

O también:

[ ( 1 + i )n – 1 ] M = R

i ( 1 + i ) Para Capital:

[ 1 - ( 1 + i )-n+1 ] C = R

i + 1

O también:

[ 1 - ( 1 + i )-n ]

C = R I ( 1 + i )

Ejemplos…

1.Una persona deposita en una cuenta de ahorros $500 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 1.5%

mensual de interés. ¿cuánto habrá ahorrado durante el primer año?

Datos...

R = $500 i = 0.015 n = 12 Fórmula...

h [(1+i)n+1-1 M = R

i - 1

Solución...

H [(1.015)13-1]

M = 500

0.015 - 1

M = 6,618.41 esta cantidad es la que habrá ahorrado durante el primer año.

2.Para adquirir un automóvil a crédito se deben hacer 18 abonos mensuales de $6,000 cada uno comenzando en el momento de la entrega del vehículo. Si los intereses que se cobran son a razón de 24% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál es el valor de contado del automóvil?

Datos...

R = $6,000

i = 0.24 / 12 = 0.02 n = 18

Fórmula...

[ 1 - ( 1 + i )-n+1 ] C = R

i + 1

Solución...

[ 1 - ( 1.02 )-17 ]

C = 6,000 0.02 + 1

C = 91,751.23 que es el valor de contado del automóvil

El señor Fernández alquilo una propiedad, cobrando una renta bimestral de $1’000,000, estipulándose en el contrato que los pagos deberán ser depositados en la cuenta num. 717818-2 del Banco de Comercio al inicio de cada bimestre. Si el banco paga una tasa de interés de 60% con capitalización bimestral, ¿cuánto tendrá el señor Fernández en un año?

Datos...

R = $1’000,000 i = 0.60 / 6 = 0.10 n = 6

Fórmula...

h [(1+i)n-1 M = R

i ( 1+i )

Solución...

h [(1.10)n-1

M = 1’000,000 0.10 ( 1.10 )

M = 8,487,171 que es lo que tendrá el señor Fernández al termino de un año

Si en el ejemplo anterior el señor Fernández deseara que el alquiler de su propiedad fuese liquidado mediante un solo pago al principio del año, ¿cuánto recibiría por el alquiler, bajo las mismas condiciones?

Datos...

R = $1,750

i = 0.12 / 12 = 0.01 n = (12) (10) = 120 Fórmula...

[ 1 - ( 1 + i )-n ] C = R

i ( 1 – i ) Solución...

[ 1 - ( 1.01 )-120 ] C = 1,750

0.01 ( 1.01 )

1.5.5.1.3. Anualidades diferidas

En las anualidades estudiadas hasta ahora, el plazo empezaba de inmediato, tanto si el pago tenía lugar al inicio como al final del periodo. Ahora examinaremos el grupo de anualidades diferidas en las cuales el plazo comienza en una fecha futura. Es evidente que siempre que el plazo en una fecha futura, los pagos pueden hacerse al final o al inicio del periodo de pago. Esto quiere decir que las anualidades pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo del momento en que tiene lugar el pago. En los negocios, es frecuente que ciertas circunstancias obliguen a que el primer periodo de pago comience en una fecha futura, esto es, después de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. Es decir, no coincide la fecha inicial de la anualidad, con la fecha del primer pago, en estos casos se dice que la anualidad es diferida. A continuación se dan varias definiciones de las anualidades diferidas para aclarar más este concepto:

Definición 1. Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago no se efectúa al principio ni al final, sino hasta cierta fecha futura.

Definición 2. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo no comienza sino hasta después de haber transcurrido cierto número de periodos de pago; este intervalo de aplazamiento puede estar dado en años, semestres, meses, quincenas, semanas, etcétera.

Definición 3. Una anualidad diferida es aquella en que el inicio de los cobros o depósitos se posponen para un periodo posterior al de la formalización de la operación.

Definición 4. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo inicia después de haber transcurrido un intervalo.

Definición 5. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza después de haber transcurrido cierto número de periodos de pago.

Definición 6. Una anualidad es aquella que comienza después de que transcurre un intervalo. El lapso que transcurre entre la fecha inicial o fecha de valoración de la anualidad y la del primer pago, se llama intervalo de aplazamiento o de diferimiento.

La duración de una anualidad diferida es el tiempo que transcurre entre el inicio del intervalo de aplazamiento y el final del plazo de la anualidad diferida, es decir, comprende dos partes. La primera o preliminar se compone del tiempo comprendido entre el momento actual y el comienzo del plazo de la anualidad n.

Para el análisis de las anualidades diferidas, emplearemos las anualidades ordinarias vencidas. La fórmula que aplicaremos para calcular el valor presente, valor actual o capital, es la siguiente:

[ 1 – ( 1 + i )-n ] C = R

i ( 1 + i )-t’

En donde t es el intervalo de aplazamiento o diferimiento y t’ = t – 1, por considerar para el cálculo una anualidad vencida.

Nota: para el cálculo de monto se aplica simplemente la fórmula de un monto vencido.

1.Calcular el valor actual de una renta semestral de $12,000 durante 5 años, si el prime pago se realiza dentro de 2 años y el interés es de 11.5% semestral.

R R R R R R R R R R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 t

Datos...

R = $12,000 i = 0.115 n = 10

t = 4 t¨ = 4 – 1= 3 Fórmula...

[1-(1+i) –n ] C = R

i (1 + i)-t¨

Solución...

[1-(1.115) –10 ] C = $12,000

0.115 (1.115 )-3 R = el valor actual es $49,930.35

2.Calcular el valor actual de una renta semestral de $60,000 que se pagará durante 7 años, si el primer pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17% semestral.

Datos...

R = $60,000 i = 0.17 n = 14

t = 6 t¨ = 6 – 1= 5 Fórmula...

[1-(1+i) –n ]

C = R i (1 + i)-t¨

Solución...

[1-(1.17) –14 ] C = $60,000

0.17 (1.17 )-5 R = el valor actual es $143,108.50

¿Cuál es el modo de la anualidad planteada en el ejercicio anterior?

Datos...

R = $60,000 i = 0.17 n = 14

R R R R R R R R R R R R R R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 t

Fórmula...

[(1+i) n –1] M = R

i Solución...

[(1.17) 14 –1] M = $60,000 0.17 M = $ 2, 826,160.32

Otra forma de calcular el monto es considerando el valor actual C = $ 143, 108.50

Datos...

C = $ 143, 108.50 I = 0.17

n = 19 Fórmula...

M = C (1 + i )n Solución...

M = $143, 108.50 (1.17 )19

M = $ 2, 826,160.37

(La diferencia de 5 centavos se debe al redondeo)

3. El 12 de enero una persona acuerda pagar una deuda mediante 8 pagos mensuales de $400 cada uno, haciendo el primero el 12 de julio del mismo año. Si después de realizar el quinto pago deja de hace dos,

¿Cuál será el monto del pago 8 para saldar completamente su deuda si la tasa de interés es de 3.66% mensual?

Datos...

R = $ 400 i = 0.0366 n = 3

400 400 400 400 400 400 400 400

400 400 400 400 400 ……… R= ?

1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6

12- enero 12- julio 12- febrero

Fórmula...

[(1 + i) n ] M = R

i

Solución...

M = $ 400 [(1.0366) 3 -1] / 0.0366

R = lo que se debe pagar el 12 de febrero es $ 1,244.46 1.5.5.1.4. Anualidades generales

Las anualidades que hemos mencionado anteriormente hemos notado que el periodo de capitalización es igual al periodo de pago, es decir, son anualidades simples. En los casos en que no hay coincidencia entre el periodo de pago y de capitalización decimos que se está ante una anualidad general.

La forma más sencilla para resolver las anualidades generales es modificarlas, para que se ajusten al caso de anualidades vencidas o anticipadas, para encontrar los valores deseados. Hay dos formas para convertir anualidades generales en anualidades simples y son:

1. Encontrando la tasa de interés equivalente y

2. Encontrando la renta o pago equivalente.

Para comprender mejor estas dos formas analicemos el siguiente Ejemplo...

Calcular el valor presente de una anualidad vencida de 20 pagos semestrales de $ 1,000.- cada uno, si la tasa de interés es de 12% anual capitalizable mensualmente.

1. Encontrando la tasa de interés equivalente:

Se observa que la periodicidad de capitalización de la tasa (mensual) no coincide con los periodos de pago (semestral), por lo que procedemos a encontrar la tasa semestral equivalente a la tasa mensual para que ésta coincida con la frecuencia de los pagos:

Datos: i = 0.12; m = 12; i12 = 0.12 / 12 = 0.01; m’ = 2 Fórmula: ( 1 + i12 )m = ( 1 + i’ )m

Solución: ( 1.01 )12 = ( 1 + i’ )2 i’ = 0.06152015

Una vez encontrada la tasa semestral i’ = 6.152015%, estamos en posibilidades de resolver nuestro problema.

Datos: R = $ 1,000.-; i = 0.06152015; n = 20 Fórmula:

[ 1 – ( 1 + i )-n ] C = R

i Solución:

C = 1,000 [ 1 – ( 1.06152015 )-20 ] / 0.06152015 C = $ 11,329.71 valor presente

2. Encontrando la renta o pago equivalente:

Considerando un semestre encontraremos el pago semestral equivalente y representando esta situación en

R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6 meses

M = $ 1,000.-

Datos: M = $ 1,000.- ; i = 0.01; n = 6 Fórmula:

[ ( 1 + i )n – 1 ]

M = R I

Solución: 1,000 = R { [ ( 1.01)6 – 1 ] / 0.01 } R = $ 162.54

Una vez encontrado el pago mensual de $ 162.54, procedemos a resolver nuestro problema:

Datos: R = $ 162.54; n = ( 20 ) ( 6 ) = 120; i = 0.01 Fórmula:

[ 1 – ( 1 + i )-n ] C = R

i Solución:

C = 162.54 [ 1 – ( 1.01)-120] / 0.01 = $ 11,329.71 Valor presente

Con lo cual podemos concluir que al calcular de una forma u otra llegamos al mismo resultado.

La primer forma que es encontrar la tasa de interés equivalente es el método más usual en los negocios.

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