2. TEORÍA DE LOS AEROGENERADORES
2.2. AEROGENERADORES
2.2.3 BASE MATEMÁTICA DE LA ENERGÍA EÓLICA
2.2.3.2. COEFICIENTE DE POTENCIA
Pero no es posible convertir la totalidad de la energía cinética del viento en energía mecánica para el movimiento del rotor de la turbina. Esto se debe a que si se aprovechara el 100% de la energía cinética del viento que pasa por las palas, entonces en el volumen posterior inmediatamente próximo al rotor estaría totalmente inmóvil. Esto provocaría que el caudal posterior a ese instante en el que se ha capturado el 100% de la energía descendiera hasta cero.
Por lo tanto, para representar la fracción de potencia que se extrae del viento es necesario definir un nuevo factor, denominado coeficiente de potencia:
𝐶𝑝=
𝑃 1
2· 𝜌 · 𝐴 · 𝑣3
( 9)
Un valor que representa los valores que suele tomar este coeficiente de potencia en aerogeneradores modernos rápidos es de casi 0,5. Este es el valor normal de un HAWT de rotor tripala, que son aquellos rotores que sacan un mejor aprovechamiento de la energía cinética del aire. Se conocen como generadores rápidos porque al tener pocas palas el momento de inercia del rotor es menor, por lo que la velocidad de giro que puede alcanzar el mismo e muy elevada.
Si se mira en la figura 20 puede detectarse que al ir aumentando el número de palas el coeficiente de potencia 𝐶𝑝 va aumentando. Pero esto sólo es cierto hasta llegar a un número
de palas de 4, que es el valor óptimo. El 𝐶𝑝 en este caso puede sumar un 0,05 respecto al
rotor tripala. La razón de por qué no es común ver un aerogenerador con un rotor de 4 palas es debido a varios factores:
• Aparición de efecto de tower shadow al tratarse de un número de palas par.
• Incremento de costes de fabricación y montaje por sólo aumentar un 0,05 el coeficiente de potencia.
El efecto de tower shadow es posible evitarlo instalando un rotor basculante, pero ello encarece el proyecto y puede ser un limitante de las dimensiones y potencia del aerogenerador.
Pero a partir de un número de palas mayor que 4 el coeficiente de potencia disminuye. Esto se debe a que, al aumentar el número de palas, los efectos aerodinámicos de unas palas perturban a las demás al crear perturbaciones del viento después de la pala. Y al final, en las fuerzas que generan el giro hay una mayor componente de las fuerzas de arrastre que de las fuerzas de sustentación. Esto hace bajar progresivamente el valor de 𝐶𝑝 hasta 0,3 como se
puede observar en la figura 20.
Con todo ello se concluye que los aerogeneradores rápidos presentan una serie de ventajas frente a los aerogeneradores lentos:
• Se obtienen mayores valores de 𝐶𝑝, y además, se obtienen valores aceptables del mismo en un amplio rango de velocidades del rotor.
• Usan rotores más ligeros con objeto de aumentar la velocidad del extremo de la pala, lo cual supone un ahorro en costes.
ecuación (10)). Y alcanzar velocidades más altas y captar un menor valor de par conlleva las siguientes ventajas: se requiere una relación menor de multiplicación en la caja de engranajes, reduciéndose su coste y aumentando el rendimiento; y las solicitaciones del rotor asociado a las cargas debidas al par son menores, por lo que el dimensionamiento de la anchura de las palas también lo será.
• El acople con el generador a bajas velocidades del viento es más fácil. Debido a que el 𝐶𝑝 a ese rango de funcionamiento es bajo y produce bajo par, lo cual es compatible
con el bajo par que tiene los generadores en el arranque.
Un aerogenerador por tanto genera una cierta potencia que es función del par al que está sometido (𝑀𝑤) y de la velocidad del rotor (𝜔𝑤):
𝑃𝑤= 𝑀𝑤· 𝜔𝑤 ( 10)
Y a su vez esta potencia coincidirá con la que es capaz de extraer del aire: 𝑃𝑤 = 𝑀𝑤· 𝜔𝑤=
1
2· 𝐶𝑝· 𝜌 · 𝐴 · 𝑣
3 ( 11)
El coeficiente de potencia es función de dos parámetros que son: el “tip-speed ratio” o velocidad del extremo de pala (𝜆) y del “pitch angle” o ángulo de ataque de las palas (𝛽).
𝐶𝑝= 𝐶𝑝(𝜆, 𝛽) ( 12)
El “tip-speed ratio” representa la velocidad del extremo de las palas frente a la velocidad del aire. Por tanto no es un factor de medida absoluta, sino relativa. Lo cual hay que tener en cuenta en los gráficos de 𝐶𝑝 (eje y) frente a 𝜆 (eje x).
𝜆 =𝜔𝑤· 𝑅 𝑣𝑤
( 13)
Normalmente en aerogeneradores de eje horizontal la curva 𝐶𝑝− 𝜆 presenta una variación
mínima del coeficiente de potencia en un rango amplio del tip-speed ratio. Este hecho refleja la gran eficiencia del aerogenerador en diferentes condiciones de velocidad, lo cual presenta una gran ventaja frente al resto de aerogeneradores. Es usual encontrase el punto de máxima eficiencia (máxima 𝐶𝑝) alrededor de un valor de tip-speed ratio de: 𝜆 = 8.
El otro factor es el ángulo de ataque de las palas. Representa el ángulo que forma la propia pala con el plano de giro del motor. Se puede observar de una forma más clara cuál es este ángulo en la siguiente figura.
Figura 39. Perfil de pala de un aerogenerador de eje horizontal
El ángulo de ataque de las palas normal es de 0º, es decir, la pala se sitúa sobre el plano de giro del rotor. A medida que se aumenta el ángulo de ataque de las palas disminuye la fuerza de sustentación sobre la pala, lo que se traduce en un menor par sustraído del viento. Y por tanto disminuye la potencia recogida por el rotor. Por ello, para que la ecuación número (11) represente esta bajada de potencia en el rotor es necesario que al aumentar el ángulo de ataque disminuya el valor de 𝐶𝑝.
Por tanto al aumentar el ángulo de ataque disminuye el valor de 𝐶𝑝. El sentido de querer que
disminuya la potencia recogida radica en diversas limitaciones cuando el viento supera un cierto valor de velocidad:
• Limitaciones del generador, ya sean por temperatura, valores de corriente, etc. • Limitaciones en la electrónica de control del generador, que no es capaz de manejar
más de una cierta cantidad de energía.
• Limitaciones de ruido que pueden aparecer en el rotor cuan este alcanza una velocidad de giro elevada consecuencia del creciente par que aplica el viento en el rotor.
• Limitaciones debidas a solicitaciones en la estructura, como fuerzas cíclicas producidas por la vibración del rotor a una alta velocidad de giro.
Derivándose de la ecuación (11) y (10) es posible calcular el par que sufre el rotor del aerogenerador a una cierta velocidad de rotación del mismo 𝜔𝑟:
𝑀𝑤=
1
2 · 𝐶𝑝· 𝜌 · 𝐴 · 𝑣3
𝜔𝑟
( 14)
Con esta expresión es posible conocer en cada instante cuál es el par que sufre el rotor en determinadas condiciones de operación. Y como se puede observar, la aumentar el ángulo de ataque disminuye el valor del coeficiente de potencia, disminuyendo consecuentemente el par ejercido sobre la turbina. Esto permite controlar de forma más segura la velocidad de giro
Pero el valor de 𝐶𝑝 tienen un límite físico que es imposible de sobrepasar, este límite superior
se conoce como coeficiente de Betz. A continuación vamos a proceder a la demostración matemática del coeficiente de Betz.
Para el cálculo del límite de Betz se supone que la velocidad del viento a través de la turbina es la media de las velocidades antes y después de la misma:
𝑉 =𝑉1+ 𝑉2 2
( 15)
Figura 40. Representación de la evolución del viento a través del rotor
La ecuación (15) es demostrada en la publicación de Albert Betz: “Wind-Energie” en 1926 [12]. Recogiendo la ecuación (4) y derivando respecto al tiempo obtenemos la siguiente ecuación: 𝑃 =𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 1 2· 𝑚̇ · 𝑣 2 ( 16)
Que representaría la potencia del viento. La potencia que se extrae del viento en un aerogenerador es función de las velocidades del mismo antes y después del plano de la turbina: 𝑃𝑤 = 1 2· 𝑚𝑤̇ · (𝑉1 2− 𝑉 22) ( 17)
Que representa la cantidad de energía cinética que pierde el viento a su paso por la turbina. Esa energía pérdida por el viento es la que recoge la turbina. El flujo de caudal másico de aire también se verá afectado por la velocidad que tenga el viento a su paso por el plano de la turbina:
𝑚𝑤̇ = 𝜌 · 𝐴 · 𝑉 = 𝜌 · 𝐴 ·
𝑉1+ 𝑉2
2
( 4)
Sustituyendo en la ecuación (17) el valor de 𝑚𝑤̇ por el calculado en la ecuación (18) se tiene
𝑃𝑤 = 1 2· 𝜌 · 𝑉 · 𝐴 · (𝑉1 2− 𝑉 22) ( 5)
Para manejar la anterior ecuación se introduce una nueva variable que representa la fracción de velocidad del viento que se pierde a su paso por la turbina del aerogenerador, también llamado coeficiente de velocidad inducida 𝑎. Quedando las siguientes series de ecuaciones para el cálculo posterior:
𝑉 = 𝑉1· (1 − 𝑎) ( 20)
𝑉2= 𝑉1· (1 − 2𝑎) ( 21)
Estas dos últimas ecuaciones, junto con la ecuación (15) permiten expresar la ecuación (19) de la siguiente forma:
𝑃𝑤 =
1 2· 𝜌 · 𝑉1
3· 𝐴 · (1 − 𝑎) · (1 − (1 − 2𝑎)2) ( 22)
Ahora se va a proceder a calcular los puntos donde la derivada frente respecto de 𝑎 de la anterior función sean igual a cero, para determinar el máximo de la misma. Para ello cogeremos sólo la parte de la ecuación que nos interesa:
𝑓(𝑎) = (1 − 𝑎) · (1 − (1 − 2𝑎)2) = 4𝑎 − 8𝑎2+ 4𝑎3 ( 23)
Derivando la ecuación (23) respecto de 𝑎: 𝜕𝑓(𝑎)
𝜕𝑎 = 4 − 16𝑎 + 12𝑎
2 ( 24)
Ahora, igualando la derivada a cero obtenemos los puntos singulares de la función que estamos manejando. Resolviendo la ecuación de segundo grado:
𝑎 =16 ± √16
2− 4 · 4 · 12
2 · 12
De esta igualdad se obtiene que 𝑎 =1
3 y 𝑎 = 1. El segundo resultado no representa un máximo
ya que en ese caso 𝑉 = 0, por lo tanto el flujo másico sería cero y por consiguiente también sería cero la expresión de la potencia extraída del viento (19). Aun así es posible determinar matemáticamente si se trata de un máximo o de un mínimo. Para ello calculamos la segunda derivada:
𝜕2𝑓(𝑎)
𝜕𝑎2 = −16 + 24𝑎
Sustituyendo en la ecuación anterior los valores de 𝑎 donde hay puntos singulares tenemos los siguientes valores:
𝜕2𝑓(𝑎 = 1)
𝜕𝑎2 = −16 + 24 = 8 > 0
Por lo tanto 𝑎 = 1 se trata de un mínimo. 𝜕2𝑓(𝑎 = 1/3 )
𝜕𝑎2 = −16 +
24
3 = −8 < 0
El punto 𝑎 =13 corresponde a un máximo de la función 𝑓(𝑎). Ahora se procede a calcular el valor correspondiente a ese punto en la función utilizando la ecuación (20):
𝑓(𝑎 = 1/3) = 4 ·1 3− 8 · ( 1 3) 2 + 4 · (1 3) 3 =16 27= 0,5926 = 59,26% ( 26)
Se obtiene de esa forma el valor máximo posible físicamente que puede obtener el coeficiente de potencia 𝐶𝑝.
A continuación se muestra la gráfica de la función 𝑓(𝑎) donde se puede observar que los puntos singulares ciertamente corresponden con el máximo y el mínimo calculados.
Los cálculos realizados hasta ahora tienen en cuenta la velocidad incidente del viento en el plano del rotor así como la velocidad de salida del mismo. Pero estos no son valores que se manejen o puedan ser controlados fácilmente para seguir una estrategia de control del coeficiente de potencia 𝐶𝑝. Los parámetros que se controlan en le aerogenerador son los
anteriormente calculados, que son: • El ángulo de ataque 𝛽 • El tip-speed ratio 𝜆
Por ello es necesario conseguir una expresión en la que el coeficiente de potencia dependa de estos dos parámetros. La siguiente expresión es generalmente utilizada para determinar el 𝐶𝑝 en la mayoría de simulaciones de aerogeneradores [13]:
𝐶𝑝(𝛽, 𝜆) = 𝑐1· ( 𝑐2 𝜆𝑖 − 𝑐3· 𝛽 − 𝑐4· 𝛽𝑐5− 𝑐6) · 𝑒 −𝑐𝜆7 𝑖 ( 27) Siendo 𝜆𝑖: 𝜆𝑖 = 1 1 𝜆 + 𝑐8· 𝛽− 𝑐9 𝛽3+ 1 ( 28)
Estando el ángulo de ataque (𝛽) en grados.
Donde los diferentes coeficientes “𝑐” toman valores distintos según se traten de turbinas eólicas de velocidad variable o de velocidad constante. Los diversos valores que pueden tomar están recogidos en la siguiente tabla:
Figura 42. Valores de los coeficientes de 𝐶𝑝 dependiendo del tipo estrategia de velocidad del rotor que
se utilice [13]
Como puede observarse los valores de los coeficientes cambian dependiendo del caso de tipo de turbina ante el que nos encontremos. En el caso de aerogenerador de velocidad constante todos los coeficientes que acompañan al ángulo de ataque son nulos; a excepción de 𝑐9, que aun así no es un término representativo que modifique en exceso el valor del
parámetro 𝜆𝑖.
A Continuación se va a proceder a representar las curvas del coeficiente de potencia correspondiente a la fila de aerogenerador de velocidad variable, que es modelo que se va a utilizar en este proyecto. Se representará la variación de la curvas en función de 𝜆 para distintos valores discretos de 𝛽.
Figura 43. Representación gráfica de las curvas de 𝐶𝑝 frente a 𝜆 para valores discretos del ángulo de ataque (𝛽)
Como ya se adelantó anteriormente, al aumentar el ángulo de ataque se disminuye el valor de 𝐶𝑝. Además se puede comprobar que el pico de máximo coeficiente de potencia ronda el
valor de 0,45 y corresponde a un valor cercano a 𝜆 = 8; además este se alcanza cuando el ángulo de ataque de las palas es nulo, es decir, cuando la pala se sitúa completamente paralela al plano de giro del rotor. En esta situación la pala sufre la mayor fuerza de sustentación posible y por tanto es donde mayor potencia puede captar.
Hay que tener en cuenta que aunque el límite físico del coeficiente de potencia esté determinado por el coeficiente de Betz en 0,5926, aún se está muy lejos de acercarse a ese valor. Tecnológicamente aún no es posible alcanzar un valor de 0,5 en el coeficiente de potencia.
Se puede observar que hasta un cierto valor de 𝜆 = 2 el valor de 𝐶𝑝 es muy bajo. Si se observa
la ecuación (13): un valor de 𝜆 bajo significa que la velocidad de desplazamiento del extremo de las palas es baja en relación con la velocidad del viento. Valores bajos del tip-speed ratio corresponden con los instantes de arranque de los aerogeneradores. En estos momentos durante el arranque y acople del generador a la red no es posible extraer potencia del viento. Se puede observar que al aumentar mucho 𝜆 el coeficiente de potencia cae. Estos valores representan velocidades anormalmente rápidas del rotor frente a la velocidad del viento. Estos casos de valores de 𝜆 altos se producen principalmente cuando la velocidad del viento es muy alta. Ante estas situaciones de velocidades altas de la turbina eólica es necesario realizar una parada de emergencia. La parada de emergencia se lleva a cabo por razones de seguridad, ya que, bajo estas condiciones de viento, es peligroso que el aerogenerador continúe funcionando: puede provocar la aparición de cargas de fatigas debido a las vibraciones consecuencia de las rachas turbulentas de aire y de la velocidad de rotación del
rotor. Todo ello puede reducir la vida útil de la estructura y de los componentes eléctricos y electrónicos.
Esta caída del valor de 𝐶𝑝 al aumentar 𝜆 es más prematuro al ir aumentando el ángulo de
ataque. Esto es consecuencia de que al aumentar el valor del ángulo de ataque, menor es la componente de la fuerza de sustentación que actúa sobre la pala. Por lo tanto el par imprimido sobre las mismas se pierde a velocidades de rotación más bajas.