CMR = 0,04 ICF
2.3. El Valor del Dinero en el Tiempo.
2.3.1. Conceptos Generales de Interés.
El interés puede definirse como, “la ganancia que se obtiene de una inversión útil de capital”, o también como “el dinero que debe pagarse por la utilización de dinero prestado durante un espacio del tiempo”.
El interés que produce el capital, está siempre relacionado con el tiempo transcurrido. Los períodos usuales para indicar interés son 1 mes, 6 meses, 1 año.
Se define como “Tasa de Interés”, la ganancia obtenida por unidad de inversión, o bien, el dinero que se paga por unidad de dinero prestado.
Si llamamos C al capital inicial e I el monto total del interés producido, e i la tasa de interés, entonces
i =
I
C
Ejemplo: Un capital de $5.000 produce $ 100 de interés mensual. ¿ Cuál es la tasa de interés?
Solución :
i
100
5.000
0,02
=
=
El interés es del 2% mensual. En el período de un año el interés será 12 veces dicho valor, es decir 12·2 = 24% anual
El proceso mediante el cual los intereses producidos por un capital (o una deuda) son ingresados a éste quedando incrementado con ellos y en condiciones de producir nuevos intereses, se denomina “capitalización”.
Hay dos sistemas conocidos de capitalización de intereses, atendiendo al hecho de que los intereses producidos no generen o generen a su vez nuevos intereses, los cuales se denominan respectivamente: sistemas con interés simple y con interés compuesto.
Si el interés de un capital (o una deuda) al fin de un período no se integra a dicho capital (o deuda) para producir nuevos intereses, se habla de interés simple.
Ejemplo: Interés simple obtenido después de 3 años por un capital de $ 1.000 al 5% anual
año interés ($) capital ($)
0 -- 1.000 1 50 1.050 2 50 1.100 3 50 1.150
150
si depositamos una cantidad P, el capital, en un banco y se paga interés a razón de I=iP $/año, donde la tasa de interés i es la fracción del capital que se paga como interés cada año, entonces el pago de interés anual In será :
I
n= ⋅i P
después de n años, la cantidad total de dinero, Sn (incluyendo el capital inicial), que recolectamos será :
S
n=
P + n I⋅
n=
P + n i P⋅ ⋅
(
)
S
n= + ⋅ ⋅1
i n P
En nuestro ejemplo : Sn= (1+0.05·3) 1000= $1.150 Interés Compuesto:Con los cálculos de interés simple, no existe diferencia si el banco entrega un pago anual del interés o si efectúa el pago al final de los n años. Sin embargo sería ventajoso retirar el dinero del banco al final del primer año, y depositar tanto el capital inicial, como el interés producido por un capital, al final del período se integra a dicho capital (capitalización) con el fin de producir nuevo interés en el período próximo, se habla de interés compuesto.
Como ejemplo determinemos, el interés compuesto, después de 3 años, producido por un capital de $1.000 al 5% anual.
año interés ($) capital ($)
0 - 1.000 Puede verse que en el caso de interés 1 1.000·0,05 = 50.0 1.050 compuesto los capitales se incrementan 2 1.050·0,05 = 52,5 1.102.5 más rápidamente que el interés simple. 3 1.102·0,05 = 55,1 1.157,6
Si el interés anual es i, entonces la cantidad de dinero que es nuestra al final del primer año será P +Pi, y el banco debe pagarnos un interés i sobre esta cantidad el segundo año.
año capital inicial interés capital final
0 -- -- P
1 P P·i P+Pi = P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+P(1+i) = P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2+P(1+i)2i = P(1+i)3 ·
· ·
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1+P(1+i)n-1 i = P(1+i)n
Se tiene entonces que el valor inicial del capital P, se ha transformado después de n período (n capitalización en :
(
)
S
nP 1 + i
n
= ⋅
Tasa de Interés Nominal y Efectiva
En la práctica industrial, la longitud del período de interés descrito se supone 1 año y la tasa de interés i está basada en un año.
Sin embargo, existen casos donde otras unidades de tiempo se utilizan, y aunque el período real no es un año, la tasa de interés se expresa en una base anual. Si un barco da un 1.5% interés cada tres meses, se habla en este caso de una tasa de interés de 6% anual pero compuesta cuatro veces al año. Este tipo de tasa de interés se conoce como “tasa de interés nominal”.
En este caso, el interés real sobre el capital inicial no será exactamente 6%, sino que será algo mayor debido al interés compuesto a los 3, 6 y meses.
Es deseable expresar el interés exacto basado en el capital inicial y en el tiempo de un año. Una tasa de este tipo se conoce como “tasa de interés efectivo”. En la práctica de la ingeniería es preferible trabajar con una tasa efectiva en vez de una tasa nominal. La única vez en que ambas tasas de interés sin iguales es cuando el interés se compone anualmente.
Si tomamos el caso de interés compuesto
(
)
S
nP 1 + i
n= ⋅
En esta ecuación , Sn representa la cantidad total del capital inicial más interés después de un
período n , a una tasa de interés de i.
Sea r la tasa de interés nominal bajo la cual existen m períodos por año. Entonces la tasa de inetrés basada en el tiempo de un período será r/m , y la cantidad de dinero Sn después de un año será :
S
P 1 +
r
m
1
m
= ⋅
Designando la tasa efectiva de interés como ief, la cantidad S después de un año puede expresarse como :
(
)
S
1= ⋅P 1 + i ( n = 1 )
efo
Tasa de interés efectiva
i
r
m
ef m=
1+
−1
o real Ejemplo :Se desea pedir en préstamos $10.000 para cumplir con un compromiso financiero. El dinero puede ser obtenido de un banco local con una tasa de interés de 2% mensual.
Determinar:
a) La cantidad de capital más interés simple que se deberán después de dos años si no se efectúan pagos intermedios.
período de interés = 1 mes Nº de período en 2 años = 24
P = $ 10.000 i = 0,02 mensual
n = 24 meses Sn = 10.000 (1+0,02·24) Sn = $ 14.000
b) La cantidad de capital más interés compuesto en el mismo caso anterior. Sn = P(1+i)n
Sn = 10.000 (1+0,02)24 Sn = $ 16.084
c) La tasa de interés nominal cuando el interés es mensual
r = Tasa de interés nominal = 2·12 =24% por año / comp. mensualmente.
d) La tasa de interés efectiva cuando el interés es mensual Tasa de interés efectiva = (1+ r
m) m-1 i ef = (1+ 0 24 12 . )12-1 ief = 0.268 = 26,8%.