En general, nada nuevo se ha aportado en este cap´ıtulo, su inclusi´on obedece a disponer de un documento autocontenido ya que todo el material expuesto ser´a utilizado (directa o indirectamente) en el resto de la tesis. No obstante, se han dado dos definiciones (que no existen en la literatura sobre el tema) que ser´an clave para la correcta asimilici´on de la aportaci´on hecha en esta tesis. Estos han sido el grafo asociado y la compatibilidad de una transformaci´on de un grafo respecto al isomorfismo. Se insiste que sin la lectura de estos conceptos (sobre todo el segundo) ser´a muy dif´ıcil hacerse una idea del alcance de la aportaci´on hecha. Por otro lado, tambi´en es clave el estudio hecho de los grafos en estrella ya que ser´an utilizados de forma muy intensiva en el SM.
Estado del arte del emparejamiento
de grafos
3.1
Introducci´on
Durante m´as de cuatro d´ecadas se ha estado investigando el emparejamiento exacto e inexacto de grafos y subgrafos y, al d´ıa de hoy, se contin´ua en ello; luego la literatura que se ha producido, y se est´a produciendo, es enorme. Si adem´as se a˜nade que a muchos m´etodos o t´ecnicas otros autores les han incorporado mejoras o han hecho variantes es comprensible que redactar (adem´as de forma sucinta) un estado del arte sobre todo ello es sumamente dif´ıcil.34 En este cap´ıtulo se pretende exponer un material claramente compartimentado pero m´ınimo y ni mucho menos exhaustivo. De aqu´ı que s´olo se esbozar´a aquellos m´etodos que sean n´ıtidamente diferentes del resto y se obviar´an las mejoras o variantes, al no ser que hayan tenido un gran impacto.
Con mucho pesar otros aspectos relacionados con la tem´atica ser´an dejados de lado ante la impo- sibilidad material de abordar todos ellos, cabe destacar el homomorfismo de grafos, el isomorfismo de subgrafos y el problema del m´aximo com´un subgrafo de dos grafos. Est´a demostrado y es bien conocido que todos ellos tienen una complejidad computacional NP-completo35 por lo que todos
los esfuerzos est´an siendo volcados en buscar soluciones sub´optimas en tiempo polinomial para estos problemas.
Este cap´ıtulo no se ce˜nir´a estrictamente al isomorfismo de grafos (emparejamiento exacto de gra- fos),36 sino que se comentar´an m´etodos que persiguen encontrar un mapeado entre dos grafos de forma tal que se “parezcan” lo m´as posible, es lo que se denomina emparejamiento inexacto de grafos. Si se tiene en cuenta que la utilidad pr´actica de un grafo (en la gran mayor´ıa de los ´ambitos que se utiliza) reside en su gran poder de abstracci´on ser´ıa de desear que dos grafos que reflejan la misma realidad sean isomorfos. La praxis es que, en la mayor´ıa de los casos, no ser´an isomorfos (pero ser´an “parecidos”) por la dificultad que encierra controlar todos los factores externos a la realidad de inter´es. Para ilustrar esto ´ultimo, sup´ongase dos im´agenes fijas tomadas del mismo objeto y en el mismo escenario, despu´es de diferentes etapas de procesado (filtrado, segmentado, extracci´on de caracter´ısticas, etc.) se obtiene sendos grafos que son la abstracci´on de la misma
34Para hacerse una idea de la vasta literatura publicada sobre el tema en la p´agina 95 de [MP14] publicado
recientemente (a˜no 2013) se asegura que por lo menos existen unos cuantos centenares de algoritmos publicados.
35V´ease la demostraci´on para el homomorfismo de grafos en [Lev73]. Para el isomorfismo de subgrafos v´ease [Coo00],
aunque existen casos particulares [Rey77] en que la complejidad computacional es polinomial. El problema del m´aximo com´un subgrafo es reducible al problema del clique y este esNP-completo [Kar09] (aunque la referencia citada es de una reedici´on del a˜no 2009 el art´ıculo original es de 1972), Para el problema del m´aximo com´un subgrafo son recomendables las lecturas de [Kan92], [BFG+02] y [AK14].
36En todo el texto se har´a uso libre e indistinto de la expresi´on “emparejamiento exacto” y el t´ermino “isomorfismo”,
3.1. Introducci´on
realidad, pero debido al ruido, distorsiones, las condiciones no controlables de las tomas de las im´agenes, cambios en la iluminaci´on y a otras razones estos dos grafos, ni mucho menos, ser´an iso- morfos. Es por ello que en la literatura sobre el tema, con la finalidad de revertir la teor´ıa en usos pragm´aticos, hay bastante m´as inter´es (y por lo tanto m´as material) sobre el emparejado inexacto de grafos que sobre el exacto (isomorfismo).37 Una problem´atica que se produce exclusivamente en el emparejamiento inexacto de grafos es formalizar lo que se entiende por grafos “parecidos”. Es evidente que se deber´a, implicita o explicitamente, tener en cuenta una distancia38 que mida el “parecido” entre grafos a fin y efecto de obtener el “mejor” mapeado. Este hecho abre, m´as si cabe, las posibilidades a la hora de dise˜nar algoritmos para el emparejamiento inexacto dado que puden tomarse diferentes definiciones para la distancia entre grafos.
Para acabar de complicar las cosas no es lo mismo un m´etodo, t´ecnica, algoritmo,. . . que decida de forma binaria si dos grafos son isomorfos o que extraiga el mapeado entre ambos grafos, pudi´endose producir la paradoja en la que se puede conocer si dos grafos son isomorfos en un tiempo razonable pero la extracci´on del mapeado a efectos pr´acticos es inviable. Una estructura expositiva compar- timentada deber´ıa desgajar ambos aspectos d´andoles un tratamiento diferenciado, pero esto dar´ıa lugar a un texto excesivamente extenso por lo que se ha optado por mezclar ambos planteamientos. Por otro lado, no es lo mismo un grafo ponderado o no ponderado39 y por lo tanto los m´etodos,
t´ecnicas, algoritmos,. . . ser´an diferentes seg´un el caso; muchos de los trabajos que se mostrar´an ser´an para grafos no ponderados. No obstante se puede afirmar que el emparejamiento de grafos no ponderados es m´as “dificil” que para grafos ponderados, ello es debido (de forma muy intuitiva) a que los propios pesos pueden servir para identificar de forma inequ´ıvoca las aristas hom´ologas entre grafos y de carambola los nodos hom´ologos (esto no es posible en grafos no ponderados).40 En los interesantes textos de [CFSV04], [WM03], [Gal06], [Bun00a], [BIN05] y [Bun00b] se exponen sendas descripciones de las aportaciones realizadas en estas ´ultimas d´ecadas sobre el tema, por otra parte la lectura de [GJ90] es muy recomendable, por no decir inexcusable, para la correcta asimilaci´on del presente cap´ıtulo, y complementariamente los textos de [AB09], [Gol08] y/o [Pap03]. Un texto de referencia y consulta puede ser [GY05].
Hoy por hoy no se conoce un m´etodo, t´ecnica, algoritmo,. . . que resuelva en general el problema del isomorfismo de grafos en tiempo polinomial, adem´as ni siquiera se conoce si puede o no puede existir tal algoritmo.41De forma m´as concisa se afirma en [Coo71] (p´agina 6) que el isomorfismo de grafos es uno de los pocos ejemplos de problemaNPdel que se desconoce si est´a enNP-completo o en P.42 Teniendo en cuanta lo anterior no es de extra˜nar que ya en el a˜no 1977 en [RC77] se
califique el problema del isomorfismo de grafos como “enfermedad”.
En [Tor04] se afirma que el algoritmo m´as r´apido que resuelve el problema del isomorfismo de grafos pero de valencia acotada est´a propuesto en [BL83] siendo su complejidad computacional de exp√cnlogn siendo c una constante y n el grado del grafo. Existen pocos43 trabajos que hagan
37Otras razones por las que existe m´as inter´es sobre el emparejamiento inexacto que sobre el exacto es que
a) El emparejamiento exacto requiere, en general, muchos m´as recursos temporales, en t´erminos computacionales, que el emparejamiento inexacto.
b) El emparejamiento exacto no garantiza siempre una respuesta en tiempos computacionales razonables.
Es por ello que muchas aplicaciones pr´acticas que requerir´ıan un emparejamiento exacto es sustituido, si es factible, por uno de inexacto.
38O si se prefiere (formalmente m´as relajado) funci´on de coste.
39O si se prefiere, s´olo en el contexto de este trabajo, con todos los pesos iguales.
40Umeyama en el ´ultimo p´arrafo de la introducci´on de [Ume98] hace la interesante afirmaci´on: “. . . el problema
del emparejamiento de grafos ponderados incluye el problema del ismomorfismo de grafos . . . ”.
41A´un as´ı existen numerosos trabajos publicados que afirman que el problema del isomorfismo de grafos es polino-
mial tal como se comenta de puntillas en la introducci´on de [MP14]. La comunidad cient´ıfica suele tratar con muchas reservas todos ellos.
42La resoluci´on del problema en general est´a premiada con una muy importante cantidad econ´omica ofrecida por
el “Clay Mathematics Institute”. V´ease [CB06] para otros problemas importantes que a´un permanecen abiertos y dotados econ´omicamente por el instituto anteriormente citado.
comparaciones serias entre las prestaciones de los diferentes algoritmos que se han propuesto, es obvio que, en todo caso, cada uno de estos trabajos no podr´a abrazar todos los algoritmos que se han llegado a proponer, al respecto pueden ser consultados [BV99] y [FSV01] entre otros.
La lectura de este cap´ıtulo permitir´a dejar en clara evidencia que el CEM y el SM (que ser´an presentados m´as adelante) son absolutamente novedosos y que ni son una variante ni parten de ninguno de los trabajos presentados en estas cuatro d´ecadas. El resto de este cap´ıtulo quedar´a divido en dos grandes bloques: emparejamiento exacto e inexacto de grafos.