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p no es condición suficiente ni necesaria para q, que es equivalente a decir que: q no es condición necesaria ni suficiente para p.

Recomendaciones para determinar la condición que cumple una proposición con otra; podemos razonar de la siguiente manera:

Tomamos a una de las dos proposiciones como dato cierto y nos preguntamos si ese sólo dato es suficiente para asegurar o concluir la otra proposición.

Si la respuesta es si la proposición tomada como dato es suficiente para la otra. Si la respuesta es no la proposición de donde partimos no es suficiente para la otra. Luego, se hace análogamente el mismo razonamiento pero intercambiando las proposiciones.

Para leer:

“Tus manos son necesarias para tu vida. Tu corazón, además de necesario, es suficiente” Lo que es necesario, literalmente es eso; una condición o un elemento que resulta de importancia para la existencia de algo; en cambio, cuando algo es suficiente, quiere decir que con eso basta como mínimo.

Como corolario podrías sacar que lo que es suficiente también es necesario, pero no a la inversa.

Actividad 17

1. Analiza condición necesaria y/o suficiente

a) Px: x es un número múltiplo de 6 Qx: x es un número múltiplo de 2

b) Px: x es un impar

Qx: x es un número primo

c) p: Juan tiene 21 años de edad q: Juan es mayor de edad

d) p: El gobierno aumenta los salarios q: Habrá mayor consumo en la población

e) p: Pedro vive en Sudamérica q: Pedro vive en Argentina

f) p: El rectángulo tiene los cuatro lados que miden iguales

q: El rectángulo es un cuadrado g) p: Llueve en el parque

q: Las plantas del parque están mojadas

h) p: El alumno finalizó el ciclo secundario q: El alumno está inscripto en la

i) p: Los ángulos interiores de un polígono suman 180 grados q: El polígono es un triángulo

j) p: El semáforo está rojo q: El vehículo detiene su marcha

k) p: El sistema de ecuaciones lineales es compatible

q: El sistema de ecuaciones lineales tiene única solución

l) A y B conjuntos PA, B: A  B = A QA,B : A  B

m) Pf: f es una función creciente Qf: f es una función lineal

n) a y b números reales Pa, b: a b

Qa, b: a  b o a ≤ -b ñ) p: La figura es un triángulo

q: La figura tiene tres lados

o) A y B rectas en el plano PA, B: A y B son paralelas

QA,B: A y B no tienen puntos en común 2. Escribe cada una de las proposiciones siguientes en la forma “Si p entonces q” a) Hoy es miércoles implica que ayer fue martes.

b) Resolver crucigramas es suficiente para volverme loco.

c) El director contratará más profesores solo si la junta escolar lo aprueba. d) Un triángulo con dos lados de la misma longitud se llama isósceles. e) Defender la ecología es necesario para ser electo como diputado.

f) Un número es irracional si su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

3. Considera el conjunto Universal (U) formado por cuadriláteros cerrados. Los siguientes conjuntos A, B, C y D están contenidos en U.

Un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si el cuadrilátero tiene dos pares de lados paralelos. A = {x/ x es un paralelogramo}

Todo cuadrilátero que tenga dos pares de lados paralelos será un paralelogramo.

Un cuadrilátero es un rombo si y solo si el cuadrilátero tiene sus lados congruentes. Una propiedad del rombo es que tiene dos pares de lados paralelos. B = {x/ x es un rombo} Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si el cuadrilátero tiene sus lados y sus ángulos congruentes. C = {x/ x es un cuadrado}

Un cuadrilátero es un trapecio si y solo si el cuadrilátero tiene un par de lados paralelos D = {x/ x es un trapecio}

Establece la condición de p respecto de q a) p: La figura es un cuadrado

q: La figura es un rombo

b) p: La figura es un paralelogramo q: La figura es un cuadrilátero cerrado c) p: La figura es un rombo

q: La figura es un paralelogramo

d) p: La figura es un cuadrilátero cerrado q: La figura es un trapecio

1.12 Funciones proposicionales y condición necesaria y suficiente Consideremos las siguientes funciones proposicionales:

Px : x es natural, múltiplo de 4 y Qx : x es natural, múltiplo de 2 Donde x pertenece al conjunto de los números naturales.

Todo número que haga cierta Px, también hará cierta Qx pues todo múltiplo de 4 también es múltiplo de 2.

En general:

Se dice que una función proposicional cualquiera Px ES CONDICIÓN SUFICIENTE PARA otra función proposicional Qx si:

 x  A se cumple que: cuando Px es verdadero se puede asegurar que Qx también lo es. En símbolos:  x  A : Px es V  Qx es V

En este caso también se dice que Qx ES CONDICIÓN NECESARIA PARA Px

En el ejemplo dado Px es condición suficiente para Qx, pero Qx no es condición suficiente para Px , pues 6 es múltiplo de 2 pero no es múltiplo de 4.

Ejemplos:

a) Rx : abcd es paralelogramo Sx : abcd es cuadrado Sx es condición suficiente para Rx

Rx no es condición suficiente para Sx

b) Tx : x es entero mayor que 8 Wx : x es entero positivo Tx es condición suficiente para Wx

Wx no es condición suficiente para Tx

c) Px : x es divisible por 2 Qx : la última cifra de x es divisible por 2 Px es condición necesaria y suficiente para Qx

d) Ux : x es divisible por 10 Vx : x es divisible por 5 Ux es condición suficiente para Vx, pero no necesaria

e) Un : n es equilátero Vn : n es equiángulo Un es condición necesaria y suficiente para Vn

f) Pz : z es entero impar Qz : z es múltiplo de 5 Pz no es condición necesaria ni suficiente para Qx

1.13 Formas proposicionales y condición necesaria y suficiente

Una forma proposicional es CONDICIÓN SUFICIENTE para otra si en todo renglón de la tabla en que es verdadera la primera, también es verdadera la segunda.

Ejemplo:

La forma proposicional p  q es suficiente para p  q

p q p  q p  q

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

Observa que (p  q) es condición suficiente para (p  q), pero (p  q) no es condición suficiente para (p  q).

Si agregamos una columna para un condicional tomando la primera (pq) como antecedente y la segunda (p  q) como consecuente, resultará una tautología, como veremos a continuación: p q p  q p  q p  q  p  q V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Luego:

Una forma proposicional p es condición suficiente para otra q cuando el condicional, tomando a p como antecedente y a q como consecuente, resulte una tautología.

Ejemplos:

a) Dadas las formas proposicionales p y (p  q), probemos que p es condición suficiente para  (p  q)

Luego, p es condición suficiente para  (p  q) p porque p (p  q) es una tautología.

b) La forma proposicional p  q es condición necesaria y suficiente para  (p q) c) p  q es condición suficiente para p  q

d) p  q no es condición necesaria ni suficiente para p  q Nota

¿En qué tipo de ejercitación o expresiones aplicamos la condición necesaria y suficiente?  p   (p q) F V V F V V V F V V V V F F V F V V F F V V F V V F F F

Veamos el siguiente ejercicio de múltiple opción:

Si el número natural “x” es divisible por 6, podemos asegurar que: a) x es divisible por 3 b) x es un número par

c) x es un número impar d) x es un número divisible por 4 Para resolver correctamente este ejercicio se debe analizar si la función proposicional “x es divisible por 6” es condición suficiente para alguna de las alternativas propuestas. Así, el hecho de que un número natural es divisible por 6 es condición suficiente para afirmar que es divisible por 3 y que es un número par. Por lo tanto las respuestas correctas son a) y b).

Conclusión:

En los ejercicios de múltiple opción la expresión “podemos asegurar”, está indicando que el dato dado debe ser suficiente para alguna de las alternativas.

Actividad N18

1. Indica la condición de p respecto de q a) p: t  r q: r t

2. Indica la opción correcta y justifica porqué no son correctas las restantes opciones. i) Si las raíces de un polinomio P (x) de grado tres son –1, 0 y 3, se puede asegurar que: a) P(x) = x (x + 1) (x – 3) b) P(x) = 2 x (x + 1) (x – 3) c) P(x) = (1/3) x (x + 1) (x – 3) d) Ninguna de las anteriores. ii) Si en la ecuación y = ax2 + bx + c es a < 0, se puede asegurar que la gráfica de dicha ecuación es:

a) Una parábola que no interseca al eje x.

b) Una parábola con vértice en el primer cuadrante. c) Una parábola cóncava hacia abajo.

d) Ninguna de las anteriores. iii) Si la fracción a/b es irreducible a) a es divisible por b

b) a y b son primos entre si. c) a y b son impares.

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