Capítulo 3 Métodos de Optimización de Aparamenta de Alta Tensión

3.2 Métodos de optimización de electrodos de revolución basados en la variación de la curvatura superficial

3.2.2 Método de Singer y Grafoner

3.2.2.2 Descripción del método

La corrección del contorno se deduce de la relación de Spielrein [128] según la cual para cada punto Pi de un electrodo se cumple la igualdad:

i

Si se deriva la curvatura con respecto al campo eléctrico, resulta:

i n E i

que de forma incremental puede aproximarse por:

i2

con lo cual, conocido el campo eléctrico Ei en cada punto del contorno, y, prefijado el valor del campo deseado, Ed, la variación de la curvatura ∆Ci queda numéricamente determinada por la expresión (3.6).

Como se indica en el apéndice B la curvatura total C de la superficie, en el punto P es la suma algebraica de las correspondientes a las dos secciones normales:

Ci = ±R1axi ± 1i ρ

(3.7)

De acuerdo con la Fig. 3.3, ρi es el radio de curvatura de una sección normal que contiene al eje de simetría, p.e: la definida por el plano del papel. El radio de curvatura de la sección normal perpendicular al plano del papel que pasa por el punto Pi es Raxi

cuyo valor está definido por la distancia entre el punto del contorno Pi y la intersección con el eje de rotación de la recta normal a la superficie en dicho punto.

r z

M Pi

Raxi

ρi

Fig. 3.3. Radio de curvatura.

Es evidente que si se modifica ρi también varía Raxi, pero, en general, la variación de Raxi puede despreciarse respecto a la de ρi [119], con lo que se obtiene para el incremento de la curvatura la expresión:

i i

Ci

ρ ρ

1 1

± (3.8)

donde:

- ρ ′i representa el nuevo radio de curvatura que debe de tener el perfil del contorno.

- ρi es el radio de curvatura que tiene realmente en la iteración en curso.

Conocido numéricamente el valor de ± ∆Ci, a partir de la expresión (3.6), y definido geométricamente el electrodo, se puede determinar el nuevo radio de curvatura ρ′i a partir de la ecuación (3.8) sin mas que despejar en ella, es decir,

i i i

C ρ

ρ 1

1 +

±

(3.9)

Para explicar cómo se realiza la construcción del nuevo contorno se utiliza el perfil de una varilla frente a un plano de tierra representado en la Fig. 3.4. En dicha figura se representa el proceso de construcción entre dos pasos de iteración. Se trata de construir un nuevo perfil formado por una sucesión de arcos de circunferencia tangentes en los puntos de contorno. Se comienza con el punto P1 de mínima intensidad de campo. El procedimiento es el siguiente. Cada punto del contorno, salvo el primero que enlaza con

la parte no optimizada y permanece fijo, se va a desplazar en dirección normal, para lo cual se trazan todas las normales que pasan por los puntos de contorno del contorno original. Para cada punto Pi se conoce el radio de curvatura ρi,i+1 del arco Pi, Pi+1 en el contorno original, y sobre las normales trazadas se tienen los centros Mi,i+1 de cada uno de estos arcos. A partir de los incrementos de curvatura necesarios para obtener las intensidades de campo prefijadas se han determinado los nuevos valores que deberán tener los radios de curvatura después de modificar el contorno. Para el punto inicial P1

se impone la condición de que el contorno mantenga su tangencia con el resto del electrodo por lo que la normal del contorno original y la del contorno desplazado coinciden. A la vez, al ser un punto fijo, el punto P1 y su desplazado P’1 coinciden.

Empezando en P1, a partir de cada punto desplazado P’i se traza la nueva normal al arco P’i, P’i+1 en P’i. Sobre esta normal se lleva el nuevo radio calculado ρ’i,i+1, obteniéndose el centro M’i,i+1. Con centro en M’i,i+1 y radio ρ’i,i+1 se traza una nueva circunferencia que determina el nuevo P’i+1 en el punto donde corta a la antigua normal al punto Pi+1. El nuevo punto Pi+1’junto con el centro de la circunferencia trazada, M’i,i+1, determinan la nueva normal en P’i+1 que permite continuar el trazado.

ρ’1,2

P’n

P’5 P”5

M’2,3

Pn

P’n-1

P6 P”6

P5

P4 P3

P2

P’1=P1

Mn-1,n

Mn-2,n-1 M’n-1,n

M’n-2,n-1

M5,6

M4,5

M3,4 M2,3 M1,2

M’4,5

M’3,4

ρ4,5

ρ3,4

M’1,2

ρ5,6

ρ2,3

ρ’4 ,5

ρ’3,4 ρ’2,3 ρ1,2

P’4

P”4

Corregido M’n-1,n

P’6

Pn-1

P’2

P’3

Pn-2

P’n-2

Fig. 3.4. Construcción de un nuevo contorno entre dos pasos de iteración.

Conviene destacar que la recta PnMn1,n para el caso representado en la Fig. 3.4, es el propio eje de rotación ya que este es un extremo de la zona a optimizar.

Por otro lado, debe establecerse la condición de que en el último punto P’n la tangente sea horizontal, es decir, que el centro de curvatura M’n-1,n tenga abscisa nula. Esta condición no se ha considerado en el proceso de corrección del contorno descrito anteriormente aunque debe quedar satisfecha de forma obligada. Por lo tanto, el radio del arco de la última circunferencia no será el que resulta del cálculo sino que debe modificarse ligeramente y situarse sobre el eje de simetría (ver centro corregido en la figura).

Además, debido a las hipótesis simplificativas realizadas en las expresiones (3.6) y (3.9) el contorno calculado se sustituye, a veces, por uno intermedio en el que cada nuevo punto P ′′ se coloca en una posición intermedia entre i P y i P′ (Fig. 3.4), las i coordenadas de este punto vienen dadas por:

( )

donde f es un factor de relajación (f<1).

En otras ocasiones es más adecuado elegir valores de f >1, con lo que se logra una convergencia más rápida, aunque, si el factor f es demasiado grande, puede producirse una iteración oscilante no convergente.

El valor que debe tomar f depende principalmente de la distancia entre electrodos próximos [119]. En el transcurso de las iteraciones se puede modificar el factor de relajación para obtener lo mas rápidamente posible la solución.

3.2.2.2.1 Reducción del tiempo de cálculo

Se consigue una reducción del tiempo de cálculo si se desprecia la influencia de la zona del contorno donde se ha hecho la modificación, sobre las cargas de simulación correspondientes a las zonas del contorno suficientemente alejadas de ella. Estas cargas no se calculan y se consideran conocidas siempre que no varíen en dos iteraciones consecutivas más de un cierto límite prefijado, con ello el sistema de ecuaciones a resolver se simplifica notablemente. Para explicarlo supóngase una disposición de cuatro cargas desconocidas a las que les corresponde el sistema de ecuaciones siguiente:

Si las cargas Q2 y Q3 han variado muy poco durante dos iteraciones consecutivas, el sistema de ecuaciones se reduce al siguiente:

=

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