DESDOBLAMIENTO DE ESTADOS

Figura 8.

Ejemplo 2.37. Sea G el grafo de la izquierda en la gura 9, y consideremos la partición de ΣI dada por Σ1I = {a} y Σ2I = {b, c}. A la derecha de esa gura se muestra el grafo resultante

de desdoblar el estado I con esa partición. 

Figura 9.

Supongamos que H se forma a partir de G desdoblando el estado I, como se describió más arriba. A continuación construimos una conjugación entre sus shifts de aristas XG y XH.

Denamos la transformación monobloque Ψ : B1(XH) → B1(XG)mediante Ψ(fi) = f si f ∈ ΣI

y Ψ(e) = e si e /∈ ΣI. En otras palabras, Ψ simplemente borra supraíndices. Es posible chequear

(lo haremos más adelante) que borrar supraíndices de los caminos en H produce caminos en G, de modo que Ψ induce un código de ventana deslizante monobloque ψ : XH → XG. Ahora

denamos un código 2-bloque Φ : B2(XG) → B1(XH) mediante:

Φ(f e) =    f si f /∈ ΣI f1 si f ∈ ΣI y e ∈ Σ1_I f2 si f ∈ ΣI y e ∈ Σ2_I

Es decir, Φ se anticipa un símbolo y puede añadir un supraíndice, dependiendo de lo que ve. Es factible chequear (también lo haremos más adelante) que Φ transforma caminos de G en caminos de H, y, por lo tanto, induce un CVD φ de XG en XH con memoria 0 y anticipación 1.

Puesto que agregar y eliminar supraíndices no tiene efecto, vemos que ψ φ(x)
= x para todo x ∈ XG. Recíprocamente, los supraíndices están unívocamente determinados por la denición

de Φ, ya que Σ1

I y Σ2I son una partición de ΣI, de modo que φ ψ(y)
= y para todo y ∈ XH.

Luego, φ es una conjugación de XG en XH.

Ejemplo 2.38. Las acciones de φ y ψ sobre puntos típicos x ∈ XG, y ∈ XH del ejemplo

32 2. SHIFTS DE TIPO FINITO

x = · · · d a d b d c e . a d c e b d · · ·

φ ↓ ↑ ψ

y = · · · d1 a d2 b d2 c e1 . a d2 c e2 b · · ·

Notar que no gura el símbolo en y debajo de la última d de x, pues para ello hace falta conocer

el símbolo a la derecha de dicha d. 

El procedimiento general de desdoblamiento de estados es una extensión, en dos sentidos, del proceso elemental recientemente descripto: por un lado, las aristas salientes de un estado pueden particionarse en una cantidad de conjuntos que no necesariamente sea 2, y, por otro lado, se puede particionar simultáneamente los conjuntos de aristas salientes de todos los estados (incluyendo los que presentan bucles).

Definición 2.39. Sea G = (V, Σ, iG, tG) un grafo. Para cada estado I ∈ V , sean denidos

un entero positivo m(I) tal que m(I) ≤ |PI|, y una partición de ΣI en conjuntos disjuntos

(no vacíos) Σ1

I, Σ2I, . . . , Σ m(I)

I (es decir, m(I) ≥ 1 es la cantidad de átomos en la partición de

ΣI). Sea P la partición resultante de Σ. El grafo de estados desdoblados G[P] formado a

partir de G usando P es el grafo (W, Σ0_{, i}

H, tH) denido como sigue:

Conjunto de estados: W = Ik _{: I ∈ V ∧ 1 ≤ k ≤ m(I)} . Conjunto de aristas: Σ0 _=ej _{: e ∈ Σ ∧ 1 ≤ j ≤ m t}

G(e)

. Función de nodos iniciales: iH(ej) = (iG(e))

n _{donde n es tal que e ∈ Σn} iG(e).

Función de nodos terminales: tH(ej) = (tG(e))j.

Es decir, si e ∈ Σ va de I a J en G, entonces existe n tal que e ∈ Σn

I, y el estado inicial de ej

en G[P] es In y el terminal es Jj; es decir, ej va de In a Jj.

Un desdoblamiento elemental de G por el estado I ocurre cuando m(I) = 2 y m(J) = 1 para todo J 6= I.

Cuando para algún estado J se tiene que m(J) = 1, los supraíndices 1 (en el nombre del estado y de las aristas entrantes a J1 _{en el grafo desdoblado) se vuelven redundantes, y no hay}

problemas en omitirlos (pues se obtiene un grafo isomorfo), como hicimos en nuestras primeras discusiones respecto de los desdoblamientos elementales.

Asumiremos que los elementos de las particiones de aristas salientes de cada nodo nunca son vacíos. Esto garantiza que el grafo obtenido de desdoblar estados en un grafo esencial (o irreducible) es también esencial (o irreducible).

Observación 2.40. De la denición del grafo desdoblado, se desprende que una arista ej

va de In _{hasta J}k _{si, y sólo si, e ∈ Σ}n

I (lo cual implica que iG(e) = I), tG(e) = J y j = k. Por

ello, la cantidad de aristas desde Inhasta Jken el grafo desdoblado es precisamente la cantidad

de aristas en Σn

I que terminan en J en el grafo G. Es decir,

  Σ 0 In ∩ Σ0J k  =  Σn_I ∩ ΣJ  para todos k ∈ {1, . . . , m(J)}, n ∈ {1, . . . , m(I)}, I, J ∈ V (G).

Ejemplo 2.41. Sea G el grafo de la izquierda en la gura 10, de modo que ΣI = {e, f } y

ΣJ = {g}. Tomemos las siguientes particiones: Σ1I = {e}, Σ2I = {f } y Σ1J = {g}, de modo que

m(I) = 2 y m(J) = 1. Entonces P = {Σ1

I, Σ2I, Σ1J}. El grafo resultante del desdoblamiento se

muestra a la derecha en esa misma gura. Notar que, en particular, el bucle e en el estado I se desdobla en un bucle e1 _{en el estado I}1 _{y otra arista e}2 _{desde I}1 _{hasta I}2_{. }

Ejemplo 2.42. La gura 11 muestra a la izquierda un grafo del full shift {e, f}Z. Esen-

4. DESDOBLAMIENTO DE ESTADOS 33

Figura 10.

resultante del desdoblamiento se muestra en la misma gura a la derecha, y puede advertirse que, salvo cambio de nombres, es esencialmente la presentación del full shift en bloques de

tamaño 2 con solape. 

Figura 11.

Ejemplo 2.43. Para el grafo G a la izquierda en la gura 12, sea P denida por Σ1

I = {a},

Σ2

I = {b, c}, Σ1J = {d}, ΣK1 = {e} y Σ2K = {f }. El grafo G[P] se muestra a la derecha de esa

misma gura. 

34 2. SHIFTS DE TIPO FINITO

Como la construcción de G[P] _{usa particiones de conjuntos de aristas salientes, decimos}

que G[P] _{es el grafo de desdoblamiento de salidas formado a partir de G usando P. Hay}

una correspondiente noción de desdoblamientos de entradas, usando particiones de conjuntos de aristas entrantes.

Definición 2.44. Sea G = (V, Σ, i, t) un grafo. Para cada estado I ∈ V , sea denida una partición de ΣI en conjuntos disjuntos (no vacíos) ΣI

1, ΣI2, . . . , ΣIm(I), donde m(I) ≥ 1 es la can-

tidad de conjuntos en la partición de ΣI_{. Sea P la partición resultante de Σ. El grafo de desdo-}

blamiento de entradas G[P]formado a partir de G usando P tiene como conjunto de esta-

dos a {Ik: I ∈ V ∧ 1 ≤ k ≤ m(I)}y como conjunto de aristas a ej : e ∈ Σ ∧ 1 ≤ j ≤ m i(e)

. Si e ∈ Σ va de I a J en G, entonces existe j tal que e ∈ ΣJ

j, y el estado inicial de ei en G[P] es

Ii y el terminal es Jj.

Ejemplo 2.45. Sea G el grafo a la izquierda en la gura 13. Denamos P mediante ΣI 1 =

{e}, ΣI

2 = {g} y ΣJ1 = {f }. El correspondiente G[P] se muestra en esa misma gura, a la

derecha. 

Figura 13.

Será conveniente considerar a un grafo isomorfo a G[P] _{también como un desdoblamiento de}

salidas de G (y similarmente para los desdoblamientos de entradas). También es apropiado dar un nombre a la operación inversa del desdoblamiento.

Definición 2.46. Un grafo H es un desdoblamiento de un grafo G, y G es una amalgama de H, si H es isomorfo a G[P] _{o a G}

[P], para alguna partición P del conjunto de aristas de G.

Si hace falta mayor precisión, emplearemos los términos desdoblamiento de salidas, desdobla- miento de entradas, amalgama de salidas o amalgama de entradas. Notar que los isomorsmos de grafos, de acuerdo a nuestra denición, pueden ser vistos como cualquiera de estas cuatro operaciones.

Al igual que en los desdoblamientos elementales, los desdoblamientos en general producen grafos cuyos shifts de aristas son conjugados a los del grafo inicial.

Teorema 2.47. Si un grafo H es un desdoblamiento de un grafo G, entonces los shifts de aristas XG y XH son conjugados.

Demostración. Probaremos sólo para el caso de los desdoblamientos de salida, siendo el otro caso similar.

Ya que los isomorsmos de grafos establecen conjugaciones, y que la composición de con- jugaciones es otra conjugación, alcanza con probar el resultado para el caso en que H = G[P]_.

Mostraremos, en sucesivos pasos, que existen CVD ψ : XH → XG y φ : XG → XH tales que

4. DESDOBLAMIENTO DE ESTADOS 35

Denamos la transformación monobloque Ψ : B1(XH) → B1(XG) mediante Ψ (ej) = e,

y consideremos ψ = Ψ[0,0] ∞ .

Sea y ∈ XH, y tomemos k ∈ Z. Debe ser yk = ej, yk+1 = fm con e, f ∈ Σ y

tH(ej) = iH(fm); por denición de H, esto implica que (tG(e)) j

= (iG(f ))

n _{con n tal}

que f ∈ Σn

iG(f ), de donde concluimos que tG(e) = iG(f ) (es decir, ef es camino en G) y

que j = n, es decir, f ∈ Σj

iG(f ). Por lo tanto,

tG((ψy)k) = tG(Ψ(yk)) = tG Ψ(ej)
= tG(e) = iG(f ) = iG(Ψ(fm)) = iG((ψy)k+1)

mostrando que ψ(y) ∈ XG, y entonces ψ (XH) ⊆ XG, por lo que ψ : XH → XG es un

CVD monobloque bien denido.

Ahora denamos la transformación de bloques Φ : B2(XG) → B1(XH)por medio de lo

siguiente: si ef ∈ B2(XG), entonces existe un único j tal que f ∈ Σj_{iG(f )}, y denimos

Φ(ef ) = ej. Consideremos φ = Φ[0,1]∞ .

Sea x ∈ XG, y tomemos k ∈ Z. Tenemos que xk, xk+1, xk+2 ∈ Σ, xkxk+1, xk+1xx+2 ∈

B2(XG), y existen I, J ∈ V tales que tG(xk) = iG(xk+1) = I, tG(xk+1) = iG(xk+2) = J.

Sean n1 y n2 tales que xk+1 ∈ ΣnI1 y xk+2 ∈ ΣnJ2. Entonces Φ(xkxk + 1) = xnk1 y

Φ(xk+1xk+2) = xnk+12 . Luego, tH((φx)k) = tH(Φ(xkxk+1)) = tH(xnk1) = (tG(xk)) n1 = In1 iH((φx)k+1) = iH(Φ(xk+1xk+2)) = iH xnk+12
= (iG(xk+1)) n1 = In1

mostrando que φ(x) ∈ XH, y entonces φ (XG) ⊆ XH, por lo que φ : XG → XH es un

CVD bien denido.

Sean x ∈ XG y k ∈ Z. Entonces (φx)_k = Φ (xkxk+1) = xnk para algún n, y entonces

(ψ(φx))_k = Ψ ((φx)k) = Ψ (xnk) = xk. En consecuencia, (ψ ◦ φ)(x) = x para todo

x ∈ XG.

Recíprocamente, sean y ∈ XH y k ∈ Z. Razonando como antes, debe ser ykyk+1 =

ejfm con f ∈ Σj_i

G(f ), por lo que (ψy)[k,k+1] = ef (con ef ∈ B2(XG) pues ψ(y) ∈ XG)

y entonces Φ(ef) = ej_{, así que (φ(ψy))}

k = Φ (ψy)[k,k+1]

= Φ(ef ) = ej _{= y} k. En

consecuencia, (φ ◦ ψ)(y) = y para todo y ∈ XH.

Queda entonces demostrado que φ : XG → XH es código de ventana deslizante que posee función

inversa que es también código de ventana deslizante, por lo que XG y XH son conjugados. 

La demostración anterior muestra que si H es un desdoblamiento de salidas de G, hay un código monobloque desde XH a XG, que se denomina código de amalgama de salidas, cuyo

inverso es un código con memoria 0 y anticipación 1 llamado código de de desdoblamiento de salidas. Análogamente, si H es un desdoblamiento de entradas de G, tenemos un código de amalgama de entradas monobloque con inverso denominado código de desdoblamiento de entradas que tiene memoria 0 y anticipación 1.

Del teorema previo, se deduce que si un grafo H puede ser obtenido por una sucesión (nita) de desdoblamientos y amalgamas de un grafo G, entonces XH ∼ XG (la conjugación es

la composición de los sucesivos códigos de desdoblamiento o amalgama). Aunque no lo haremos aquí, es posible probar también el recíproco: cualquier conjugación entre shifts de aristas puede escribirse como una composición de códigos de desdoblamientos y amalgamas. Este importante resultado se conoce como Teorema de la Descomposición.

4.1. Los desdoblamientos y las matrices de adyacencia. Consideremos el ejem- plo 2.43. Los estados de G y de su desdoblado son, respectivamente, V = {I, J, K} y W = {I1_{, I}2_{, J}1_{, K}1_{, K}2_{}. Podemos representar cómo los estados en W se derivan a partir de los es-}

36 2. SHIFTS DE TIPO FINITO

por W (en el orden dado):

D =   1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1  

Por ejemplo, DI,I1 = 1 = D_I,I2 pues I1 e I2 resultan de desdoblar el estado I, mientras que

DI,J1 = 0 pues J1 no procede del desdoblamiento de I.

Por otro lado, podemos especicar las cantidades de aristas en cada partición que terminan en un estado dado, por medio de la siguiente matriz E con las indizadas por W y columnas indizadas por V (en el orden dado):

E =       0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0      

donde, por ejemplo, EI1_,J es la cantidad de aristas en Σ1_I que terminan en J, en este caso una

sola arista.

Un cómputo directo muestra que el producto DE es igual a la matriz de adyacencia de G, y que ED da la matriz de adyacencia del grafo desdoblado. Veremos ahora que esta situación se cumple en general.

Definición 2.48. Sea G = (V, Σ, i, t) un grafo, P una partición de salida de Σ, y H = G[P]_.

Designemos por W al conjunto de vértices de H. La matriz de división D para P es la matriz sobre V × W denida por

D_I,Jk =

 1 _{si I = J} 0 si I 6= J

La matriz de aristas E para P es la matriz sobre W × V denida por EIn_,J =



Σn_I ∩ ΣJ 

De la observación 2.40, surge que EIn_,J corresponde a la cantidad de aristas en el grafo

desdoblado que van desde desde In _{hasta J}k _{(cualquiera sea k ∈ {1, . . . , m(J)}).}

Las matrices de división y de aristas permiten obtener las matrices de adyacencia de los grafos involucrados en un desdoblamiento, de acuerdo al siguiente resultado.

Teorema 2.49. Sean G, P, H, D y E como en la denición anterior. Entonces,

DE = AG ED = AH

Demostración. Se tiene que (DE)I,J = X K∈W DI,KEK,J = X L∈V m(L) X i=1 D_I,LiE_Li_,J = m(I) X i=1 D_I,IiE_Ii_,J = m(I) X i=1 E_Ii_,J = m(I) X i=1  Σi_I∩ ΣJ =       m(I) [ i=1 Σi_I ∩ ΣJ
      =         m(I) [ i=1 Σi_I  ∩ ΣJ       = ΣI∩ ΣJ  = (AG)I,J

mostrando que DE = AG. Por otro lado,

(ED)Ii_,Jj = X K∈V EIi_,KD_K,Jj = E_Ii_,JD_J,Jj = E_Ii_,J = Σi_I∩ ΣJ =   Σ 0 Ii ∩ Σ 0Jj  = (AH)Ii,Jj por lo que ED = AH. 

Capítulo 3

In document Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Matemática DINÁMICA SIMBÓLICA APUNTES DE CÁTEDRA NOVIEMBRE DE 2016 (página 33-39)