ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAM ILIA DE CURVAS

Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial mediante la eliminación de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la constante en un m iembro de la ecuación y derivando. También se puede elim inar la constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se resuelve el sistema form ado con la ecuación original.

Ejem plos.-

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = C¡ cos(,v + C 2 ) . Solución

y = C, cos(x + C2 ) => y = - C ] sen(.v + C 2) y " = - C , eos(x + C 2 )

donde

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = A sen x + B eos x Solución

14 Eduardo Espinoza Ramos

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y = A sen x + B cos x => y' = A c o s .v - f is e n x y " = - A sen x - B cos.v f y " = - ^ s e n x - f i c o s x de donde y ”+ y = 0 y = A sen x + B eos x

Otra manera de elim inar las constantes es, considerando el sistema siguiente: y = — A sen x + B eos x y ' = A eos x - B sen x y ” = - A sen x - B eos x - y + A s e nx + Be o sx = 0 - y ’+ ^ c o s x - 5 s e n x = 0 - y " - A sen x - B eos x = 0

Este sistema de ecuaciones en dos incógnitas A y B tienen la solución sí y sólo sí:

- y

senx

COSX

- y ' cosx - s e n x = 0 => y " + v = 0

- y "

-senx

-cosx

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = C , e ' x + C 2e - ix Solución

y = C¡e~x + C 2e~ix => e * y = C( + C 2é,~2'' derivando e x y' +ex y = - 2 C 2e~2x e 3xy ’+e3xy = - 2 C 2 => 3e3x y' +e3x y ”+3e3xy + e 3xy ' = 0

3y' + y " + 3 y + y ' = 0 => y" + 4 y ’ + 3y = 0

Otra manera es:

-3.v

y = C¡e x + C 2e v ' = —C,e~x - 3C-,e-3-v

= C ,e_v +9C2e el sistema tiene solución sí y solo sí:

-3-v

—y + C,e~x + C 2e~3x = 0 - y ' - C , e ~ x - 3 C 2e~3x = 0 —y " + C , e ~ x + 9 C 2e~3x = 0 —x - 3a’ - y e e - y 1 1 - y ' - e - x - 3 e - 3x = 0 => - y ' -1 - 3 = 0 - y " e~x 9 e ' 3x - y " 1 9 de donde y ' ' + 4y' + 3y = 0

Conceptos Básicos 15

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Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es (jc—a ) 2 +_y2 = r2 , circunferencias de radio fijo r, con centro en el eje x, siendo “a” arbitrario.

Solución ( x — a ) 2 + y 2 = r 2 => x — a = - y 2 derivando V '-2 - y 2 se tiene: -0 = - - y y yJl-2 - V 2 -yy de donde r 2 — y 2 = y 2y ' 2 ( 1 + y 2 ).V: = r :

Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas las que tienen sus vértices en el origen y sus focos sobre el eje y.

Solución

De acuerdo a los datos del problema, la gráfica de estas parábolas es:

La ecuación de ésta familia de parábolas es:

y2 = 4 p v ...(1 )

donde el vértice es v(0,0) y el foco F(ü,p). Com el parámetro es P entonces lo elim inam os

1 T 2 ,

” , ■ i • 2 y x — x v „

— = 4 p , derivando se tiene —--- r—— = ü

y - ■ y"

simplificando .’. x y ' = 2 y ecuación diferencial pedida

Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencia en el prim er cuad: inte, tangentes a las rectas x = 0 e y = 2x

De los datos del problema, el gráfico es: Solución

16 Eduardo Espinoza Ram os Sí c (h,k) el centro => r = h por ser tangente el eje Y.

r 2 = d 2 (c, p ) = d 2 (c, p ) = (a - h ) 2 + ( b - k ) 2

r 2 = ( a - h ) 2 + ( b - k ) 2

pero p(a,b) e L: y = 2x => b = 2a Luego r 2 = ( a - h ) 2 + ( 2 a - k ) 2 ... (1) Además la ecuación de la circunferencia de radio r, centro c (h,k) es:

(x — h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2 . . . (2) Ahora derivamos la ecuación (2) se tiene; (x - h) + {y - k ) y ' - 0

Como en el punto p (a,b) es tangente a la recta y = 2x

¡ocJf ' ■: i-l l«it oJj. >ol 6 otflíHJO' ÍÜ => y ' \ x=a= 2 entonces (a - h) + 2 (2a - k) = 0 => 5a = h + 2k

h + 2 k 2 i a = — - — y b = —(h + 2k) — (3) Reemplazando (3) en (1 ) h 2 = ( - ^ — - h ) 2 + ( ^ ( h + 2 k ) - k ) 2 2 , 2 k - 4 h 2 , 2 h - k 2 ■ v c ,

h

= (--- ) + (--- ) , simplificando 5 5 5h2 + 2 0 k h - 5 k 2 = 0 => h 2 + 4 k h - k 2 = 0 ^ > h = ( 4 l - 2 ) k ó => k = h \ ¡ 5 - 2 ( x - h ) 2 + ( y — j í — )2 = h 2 ...(4 ) V 5 - 2

La expresión (4) es la ecuación de la familia de circunferencias, para hallar la ecuación diferencial, eliminamos el parámetro h de la ecuación (4) para esto derivamos:

Conceptos Básicos 17 h 2 ( x - h ) + 2 ( y — -=---) y' = O despejando h tenemos: ' V5 - 2 . ( V 5 - 2 ) ( x + yy' ) h = ---= --- reem plazando en (4) v 5 — 2 ■+■ y1 (V5-2<X-r + > y ' ) 2 ( y / 5 - 2 ) ( x + y y ' ) ( J s- 2 ) ( x + yy') lA V ? - 2 + y j LV ( V 5 - 2 ) ( V ? - 2 + .v') V 5 - 2 + / }

Simplificando se tiene: (.r - (\¡5 - 2)y ) 2 (1 + y '2 ) = [(\¡5 - 2)(x + y y ’)]2 1.7.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PROBLEM AS FISICOS.-

Las ecuaciones diferenciales de problemas físicos provienen de diferentes fuentes, tales como la mecánica, eléctrica, química, etc.

Ejemplos:

¿líi /nfps ztjtnaKs ■! A

© Se sabe que los objetos en caída libre cercanos a la superficie de la tierra tiene una aceleración constante g. Ahora bien, la aceleración es la derivada de la velocidad y esta a su vez, es la derivada de la distancia S. Luego, si se tom a como dirección positiva la

cl2s .,

dirección vertical hacia arriba, tenemos que la fórmula. — — = - g es la ecuación dt

diferencial de la distancia vertical recorrida j r el cuerpo que cae. Se usa el signo menos puesto que el peso del cuerpo es una fuerza . le dirección opuesta a la dirección positiva. ( 2 ^ Una masa m de peso w se suspende del extremo de una varilla de longitud constante L.

Suponiendo que el movim iento se realiza en un plano vertical, se trata de determ inar el ángulo de desplazam iento 0, medido con respecto a la vertical, en función del tiem po t, (se considera 0 > 0o a la derecha de op y 0 < 0° a la izquierda de op). Recuérdese que el arco s de un círculo de radio L se relaciona con el ángulo del centro 0 por la fórmula s = L 0.

n , , , , d 2s T d 2e

Por lo tanto, la aceleración angular es: a = — — = L— —

18 Eduardo Espinoza Ram os

por la segunda ley de Newton: F = ma = mL d t 2

En la figura vemos que la com ponente tangencial de la fuerza debida al peso w es mg sen 9, si no se tiene en cuenta la m asa de la varilla y se igualan las dos expresiones de la fuerza tangencial se obtiene:

d 2Q mL :z- ~ = - m g sen 0 d t ' se „ 6 = 0 *2 L dt

( 5 ) Una lancha que pesa 500kg. se desliza por un plano inclinado a 5o. Si la fuerza de rozamiento que se opone al movim iento es 20kg. y la resistencia de aire expresado en kilogramos equivale a 0.05 veces la velocidad en centímetros por segundo, hallar la ecuación del movimiento.

Solución

En la figura mostramos a la lancha sobre un plano inclinado; tom em os los siguientes datos:

F = Com ponente de peso en la dirección del movimiento.

Fr = Fuerza de rozamiento Fa = Resistencia del aire De acuerdo a la segunda ley de Newton se tiene:

Suma de fuerzas en la dirección de! movimiento = (masa) x (aceleración)

Luego se tiene: F - FR - Fa= m .a ... (1)

Conceptos Básicos 19

Fa = 0.05v, m = siendo v = la velocidad, a = aceleración, m = la masa. 981

ahora reem plazam os en la ecuación (1)

4 3 .6 - 2 0 - 0 .0 5 v = ^ ^ - a entonces 2 3 .6 -0 .0 5 v =

981 981 ... (2)

como a = — que al reem plazar en (2) dt

se tiene: + 0.05v = 23.6 que es la ecuación diferencial del movimiento. 981 dt

( T ) Considere el circuito simple conectado en serie que se muestra en la figura y que consta de un inductor, un resistor y un capacitor. La segunda Ley de K irchoff dice que la suma de las caídas de voltaje a través de cada uno de los componentes del circuito es igual a la tensión E(t) aplicada. Si llamamos q(t) a la carga del capacitor en un instante cualquiera,

dq dt entonces la corriente i(t) está dada por i ■ voltaje son:

ahora bien, se sabe que las caídas del

En un inductor = Ldi dt ,n un capacitor = — q c En un resistor = iR = R d ' q d t 2 dq dt

en donde L, C y R son constantes llamadas inductancia, capacitancia y resistencia respectivamente.

Para determinar q(t) debemos por lo tanto, resolver la ecuación diferencial de segundo orden que se obtiene mediante la Ley de Kirchoff, es decir:

20 Eduardo Espinoza Ram os (5) Según la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfría una sustancia al

aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Obtener la ecuación diferencial respectiva.

Solución Consideremos los siguientes datos:

T = Temperatura de la sustancia en el instante t Ta = Temperatura del aire

ciT

— = La velocidad a la que se enfría una sustancia dt

d T

de la condición del problema se tiene: - j - - —k ( T — Ta), k > 0

que es la ecuación diferencial pedida donde k es la constante de proporcionalidad.

El signo negativo se debe a que la temperatura de la sustancia dism inuye al transcurrir el tiempo.

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