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Ecuaciones de valor

In document La empresa, su operación y su entorno (página 100-108)

Gráfica 1. Valor futuro

1.5.4. Interés compuesto

1.5.4.6 Ecuaciones de valor

Otra forma de obtener la tasa efectiva en el periodo de 9 meses es mediante el cálculo de la tasa de interés necesaria para que un capital de $85,000 se convierta en $97,188.15 en el periodo de 9 meses, esto es,

i = 1 = 97,188.15 – 85,000 = 14.33% en el periodo (P)(1 periodo) 85,000

Ejemplo...

La tasa de interés que cobra un banco en los prestamos personales es de 21% capitalizable cada mes. Calcule la tasa efectiva y la tasa efectiva por periodo semestral.

Solución...

La tasa efectiva es la tasa efectiva anual, que se obtiene de la siguiente manera:

i

e = 1 + 0.21 12 – 1 = 23.1439% anual 12

Solución…

En primer lugar se establece la fecha local, ya que esta es básica para la solución del problema. Si el deudor desea saldar su deuda el día de hoy, no deberá pagar $22,800(9,000 + 13,800), pues $13,800 son un valor futuro, mientras que $9,000 vencen hoy. Recuerde dos o mas cantidades no se pueden sumar mientras no coinciden en el tiempo sus valores de vencimiento. Lo que se puede hacer es calcular el valor presente de

$13,800 y, entonces si, sumar esta cantidad a los $9,000. Por tanto, el día de hoy parece una fecha focal natural en este problema, aunque puede elegirse cualquier otro momento como fecha focal.

El diagrama de tiempo seria el siguiente:

Deuda original

9,000 13,800

0 1 2 Deuda propuesta

El 0 representa el momento actual o presente y x representa la cantidad total a pagar el día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. Observe como el conjunto original de obligaciones se coloca en la parte superior y la obligación propuesta, en la inferior. Esto es con el fin de tener un orden y poder identificar fácilmente las obligaciones originales de las propuestas. La flecha indica que el valor futuro ($13,800) se traslada al momento actual, debido a que este momento se ha tomado como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor presente de él, dos meses antes de su vencimiento.

Esto es:

P = 13,800 = $13,264.13 1 + 0.24 2

12

Una vez trasladados los $13,800 todas las cantidades (9,000, 13,264313 y x) se encuentran ya, en una fecha común en la que es posible su comparación y, por tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente:

Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas Esto es:

9,000 + 13264.13 = x x = $22,264.13

El deudor tendrá que pagar $22,264.13 el día de hoy y saldar así su deuda.

$22,264.13 es una cantidad equivalente a la deuda original, ya que al recibir esta cantidad, el acreedor puede tomar los $9,000 pesos que vencen en ese momento y el resto, $13,264.13, al invertirlo a la tasa de 24%

capitalizable cada mes, por 2 meses, proporcionara la cantidad que hubiera recibido originalmente si no se hubiese cambiado la forma de saldar la deuda original:

F = 13,264.13 1 + 0.24 2 = $13,800 12

Ejemplo...

Con el fin de mostrar que la elección de la fecha focal no influye en el resultado, resuelva el ejemplo anterior utilizando el mes dos como fecha focal.

Solución...

El diagrama de tiempo es:

Deuda original

9,000 13,800

0 1 2 X

Deuda propuesta

Las flechas muestran que las cantidades $9,000 y $x se trasladan a la nueva fecha focal. $13,800 se encuentra en la fecha focal.

Cuando la fecha focal se encuentra en el futuro con respecto a las cantidades que se están trasladando se calcula el monto (F1) de $9,000 y el monto (F2) de $x, a 2 meses de plazo.

F1 = 9,000 1 + 0.24 2 = $ 9,363.60 12

F2 = x 1 + 0.24 2 = $1.0404x 12

Al realizar el cambio de las cantidades a la fecha focal, las tres cantidades se encuentran en un punto común del tiempo, siendo posible plantear la ecuación de valor:

Valor de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas Esto es:

F1 + 13,800 = F2 Por tanto:

9,363.60 + 13,800 = 1.0404x x = 9,363.60 + 13,800 = $22,264.13 1.0404

Ejemplo...

Una deuda de $25,000, con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $8,000 a los 4 meses y otro de $10,000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento, si se acuerda un interés de 2.5% mensual capitalizable cada mes.

Solución...

El diagrama de tiempo es el siguiente:

Deuda original

25,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8,000 10,000 meses

x

Deuda propuesta

x representa la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento. El diagrama muestra que la fecha focal se ubico en el mes 9.

La fecha se encuentra en el pasado con respecto a los $25,000, por tanto será necesario calcular el valor presente de $25,000 a 3 meses de plazo, así que:

P1 = 25,000 = $23,214.99 (1 + 0.025)3

La fecha focal se encuentra en el futuro con respecto a los $8,000, por tanto, es necesario calcular el monto de

$8,000 a 5 meses de plazo.

F = 8,000(1 + 0.025)5 = $9,051.27

La fecha focal se encuentra en el pasado con respecto a $x, por tanto, será necesario calcular el valor presente de $x a 3 meses de plazo.

P2 = x = x . (1 + 0.025)3 1.076890625

Los $10,000 se encuentran en la fecha focal, por tanto, no se trasladan. Al encontrarse todas las cantidades en la fecha focal, se plantea la ecuación de valor.

Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas Esto es:

P1 = 10,000 + F + P2 Por tanto:

23,214.99 = 10,000 + 9,051.27 + x . 1.076890625

En la fecha de vencimiento se deberá pagar $4,483.87.

Ejemplo...

Rigoberto debe pagar $15,700 dentro de 4 meses y $27,440 dentro de 8 meses. Rigoberto propone a su acreedor pagar mediante dos pagos iguales; el primero dentro de 3 meses y el otro al cabo de 9 meses.

Obtenga el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés de 21% capitalizable cada quincena.

Solución...

El diagrama de tiempo es el siguiente:

Deuda original

15,700

27,440

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses x x

Deuda propuesta

x representa el valor de los nuevos pagos. Si la fecha focal se ubica en el mes 9, al trasladar las cantidades a la fecha focal, se tiene la siguiente ecuación de valor:

15,700 1 + 0.21 10 + 27,440 1 + 0.21 2 = x 1 + 0.21 12 + x 24 24 24

17,129.12307 + 27,922.30087 = 1.11020345 x + x 45,051.42394 = 2.11020345x

Por tanto:

x = $21,349.33

La deuda original queda sustituida por dos pagos iguales de $21,349.33 cada uno; el dinero con vencimiento a 3 meses y el segundo con vencimiento a 9.

Ejemplo...

Gabriela contrajo una deuda hace 5 meses por $13,500 a 28% de interés simple con fecha de vencimiento dentro de 3 meses. Además, debe pagar otra deuda contraída hace un mes por $12,350 a 23% capitalizable cada mes y que vence dentro de 2 meses. Gabriela desea modificar las condiciones originales de sus deudas y llega con su acreedor al siguiente acuerdo: pagar $10,000 en este momento y para saldar el resto de la deuda, hacer un pago final dentro de 6 meses. Si la tasa de interés para la reestructuración de la deuda se fija en 26%

capitalizable cada mes, determine el valor del pago final convenido.

Solución...

Las ecuaciones de valor se deben plantear considerando los valores de vencimiento de las deudas originales;

por tanto, es necesario obtener los montos de las deudas originales como primer paso. Para la deuda de

$13,500 se tiene

M = 13,500 1 + 0.28 (8) = $16,020 12

Para la deuda de $12,350 se tiene

F = 12,350 1 + 0.23 3 = $16,073.82 12

El diagrama de tiempo es el siguiente:

16,020

13,500 12,350 13,073.82

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 meses Una vez conocidos los valores de vencimiento de las deudas originales, se elabora el diagrama de tiempo para la reestructuración de la deuda. Si la fecha se ubica en el mes seis:

Deuda original

13,073.82

16,020

0 1 2 3 4 5 6 meses 10,000 x

x es el valor del pago que se deberá realizar al cabo de 6 meses. La ecuación de valor es:

13,073.82 1 + 0.26 4 + 13,020 1 + 0.26 3 = 10,000 1 + 0.26 6 + x 12 12 12

Por tanto:

Ejemplo...

Tomas tiene las siguientes deudas con el señor De la Vega: $36,110 que pagara dentro de 6 meses y $52,430 que debe pagar dentro de 10 meses. El señor De la Vega acepto recibir un abono, el día de hoy; de $25,000 que Tomás tenia disponibles. Si Tomás desea liquidar su adeudo mediante un segundo pago de $55,000, ¿en que fecha deberá realizarlo? La tasa de interés acordada es de 24% capitalizable cada quincena.

Solución...

Deuda original

54,230 36,110

0 1 2 3 4 5 6 7 n 8 9 10 meses 55,000

Observe que el pago de $55,000 se ha fijado en un momento indeterminado, n, que en este caso es la incógnita. Si la fecha focal se determina que sea el momento actual, se plantea así la ecuación de valor:

36,110 + 52,430 = 25,000 + 55,000 . 1 + 0.24 12 1 + 0.24 20 1 + 0.24 n 24 24 24 32,045.79152 + 42.968.71658 = 25,000 + 55,000

(1.01)n

Por tanto:

55,000 = 50,014.5081 (1.01)n

Es decir:

(1.01)n = 55,000 = 1.099680914 50,014.5081

Aplicando logaritmos:

n log 1.01 = log 1.099680914 por tanto:

n = log 1.099680914 = 9.54943719 quincenas = 9 quincenas y 8 días.

log 1.01

El pago se debe de realizar dentro de 9 quincenas y 8 días a partir de la fecha focal; es decir, a partir de hoy.

La fecha en la cual un conjunto de deudas, con fechas de vencimiento diferentes, se liquida mediante un pago igual a la suma de las deudas, se llama fecha equivalente. El tiempo que debe transcurrir desde el momento actual hasta la fecha equivalente se conoce como tiempo equivalente.

Ejemplo...

Calcule el tiempo equivalente para el siguiente conjunto de obligaciones:

95,000 dólares a pagar en 2 años 146,000 dólares a pagar en 3 años.

311,000 dólares a pagar en 5 años.

La tasa de interés es de 7.7% anual capitalizable cada semestre.

Solución...

Cuando se pide calcular el tiempo equivalente no se da como dato el valor del pago único que se desea hacer, se entiende que este es igual a la suma del conjunto original de obligaciones. En este caso es de 552,000 dólares.

95,000 + 146,000 + 311,000 = 552,000 . 1 + 0.077 4 1 + 0.077 6 1 + 0.077 10 1 + 0.077 2 2 2 2

Deuda original

311,000

146,000

95,000

0 1 2 3 n 4 5

552,000 Deuda propuesta Por tanto,

(1.0385)n = 552,000 = 1.34234379 411,221.033

Aplicando logaritmos,

n log = 1.0385 = log 1.34234379 Por tanto,

n = 7.793481 semestres = 46.760888 meses.

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