Ejemplo de proceso de construcción de la red

Atendiendo a la condición de estabilidad presentada en el apartado anterior (Ec. 6.2), se establece el siguiente algoritmo para generar la red:

1. En t = 0, se crea un grafo con un N osciladores desconectados.4 A cada unidad x_n se le asigna una fase inicial θ_n(0), escogida de una distribución uniforme U(−δθ,δθ). Asimismo, se le proporciona una frecuencia Ωn, dada por:

Ω_n(t) = ω0

k_n(t) +1 (6.3)

donde ω_{0 >} 0 es una cantidad constante y kn(t) es el grado del nodo xn, en el instante de macro-tiempo t. Como k_n = 0 en t = 0, Ω_n(0) = ω₀. Con esta elección de Ωn(t), se modela un escenario simplificado en que cuanto más “sociable” es una persona (esto es, cuantos más nexos tiene con otros agentes), más fácilmente alcanza acuerdos con sus interlocutores.

4_{Se han realizado pruebas en las que incialemente los nodos se enlazaban al azar. Los datos}

muestran ello no afecta a los resultados que se van a presentar. Únicamente se observa un proceso de relajación de corta duración.

2. En cada instante de macro-tiempo t, se selecciona aleatoriamente un nodo de la red y se le añaden m_BA enlaces de forma preferencial a m_BA nodos a los que no estuviera previamente conectado.

3. Introducidos los nuevos enlaces en el sistema, se actualizan las frecuencias

Ωn de los osciladores y se integra numéricamente el sistema de ecuaciones dado por la Ec.2.37, durante un tiempo fijoT_g.

4. Tras la integración, se evalúa la estabilidad de todos los enlaces presentes en el grafo. Un enlace se cataloga comoestablecuando satisface la condición de estabilidad dada por

r_i(t) −r_j(t)

6U (Ec. 6.2). En caso contrario, el enlace se clasifica comoinestable. Si hay enlaces inestables, se eliminan todos a la vez. Esta acción se denomina “proceso de rotura”. Por su parte, cada enlace eliminado se designa como rotura. Como las roturas pueden inducir nuevas inestabilidades, tras cada “proceso de rotura”, iterativamente se evalúa la estabilidad de todos los enlaces presentes y se suprimen los inestables, hasta que todas las conexiones de la red sean estables.

Se denominamicro-tiempoa la escala temporal en la que acontecen los “pro- cesos de rotura”. Nótese que varias roturas pueden ocurrir simultáneamente en el mismo instante de micro-tiempo, a diferencia de lo que sucedía en el modelo del capítulo3.

5. No se añaden nuevos enlaces hasta que todas las conexiones de la red son estables. La adición de un nuevos enlaces marca el inicio del siguiente ins- tante de macro-tiempo (t→t+1).

Dado que el número de osciladoresN permanece constante y la red es sim- ple, la cantidad máxima de roturas que pueden producirse en una unidad de macro-tiempo esN(N−1)/2.

En la Fig. 6.4, se muestra la evolución de una red entre dos instantes de macro-tiempo consecutivos. Tras iniciarse el instante de tiempo t (Fig. 6.4a), se selecciona un nodo al azar,xp,5 y se le añaden preferencialmentemBA=3nuevos enlaces (Fig.6.4b). Después de la integración de la Ec.2.37, aparecen 37 enlaces inestables (Fig. 6.4c). Al finalizar el proceso de relajación, tras 2 unidades de micro-tiempo (o 2 “procesos de rotura”), la red ha sufrido 46 roturas en total (Fig. 6.4d). En color rojo se han marcado los dos nodos que ha perdido la componente gigante, como consecuencia de las roturas acaecidas.

Atendiendo al mecanismo de construcción de la red descrito, es claro que la forma funcional de la frecuenciaΩ_n refuerza la retroalimentación entre la topolo- gía y la dinámica de los nodos. Atendiendo a las Ecs.2.37y6.3, cuando un nodo

5_{En la Fig. 6.4b, se ha seleccionado un nodox}

pque casualmente está aislado. Recuérdese que

(a) (b)

(c) (d)

FIG. 6.4: Evolución de una red conm=274enlaces y 63 nodos en la compo- nente gigante inicialmente, durante una unidad de macro-tiempo, cuando los parámetros del sistema sonN=100,Tg=3,λ=1,ω0=20,δθ=πyU=0.05. Los enlaces estables (inestables) se muestran en color verde (rojo). Los nodos que pertenecen a la componente gigante se han sombreado en color amarillo. Los nodos sin vecinos (kn = 0) no poseen sombreado. (a) Inicio del instante

de tiempo t. (b) Adición de mBA = 3 nuevos enlaces. (c) Resultado, tras la

integración de Ec.2.37. (d) Resultado del proceso de relajación: 46 roturas y 2 escisiones (nodos de color rojo), durante dos unidades de micro-tiempo.

gana enlaces, su frecuencia disminuye, lo cual hace que el oscilador experimente con mayor intensidad su acoplamiento con su vecindario y se vuelva más fácil de sincronizar. Por contra, cuando un nodo pierde enlaces, su valor de Ωn aumenta y el oscilador se torna más difícil de coordinar. En tal tesitura, la frecuencia de los osciladores Ωn actúa como un mecanismo que inyecta una “energía” poten- cialmente inestabilizadora (aunque ésta no sea en forma de conexiones), en los nodos que experimentan pérdidas de enlaces. Conviene destacar, además, que los efectos de esta adición de energía no induce la aparición de nuevas roturas (en los enlaces que continúan incidiendo en un nodo), dentro del mismo instante

de macro-tiempo. El cambio de Ωn sólo se hace patente durante el proceso de integración del siguiente instante de macro-tiempo.

Por su parte, nótese que el valor de la constante ω₀ regula la cantidad de energía (o inestabilidad) que se aporta, durante las roturas de enlace. Por ejemplo, cuando ω₀ = 0, no hay fuentes ni sumideros de fase θn en la red, Ωn = 0 (véase la Ec. 2.37), y, como consecuencia, el sistema evoluciona hacia un estado en el que todos los nodos tienen la misma fase y la red es un grafo completo (incluso en el caso extremo de que U=0). En cambio, como se muestra en la Sec.6.3, los valores muy elevados de ω₀ también tornan prácticamente insensible al sistema frente a los cambios deU, limitando en extremo la cantidad de enlaces que admite el sistema (véanse las Figs.6.11y6.12).

Finalmente, nótese que este proceso de construcción de la red posee los rasgos que ya se mencionaron en el apartado6.1.1:

1. La red es un sistema abierto que se mantiene fuera del equilibrio, a través de un flujo constante de energía (en este caso, mBA enlaces) y un mecanismo de inyección de energía (asociado a la frecuencia de los osciladoresΩ_n).

2. La estabilidad de los nodos (dada por la Ec. 6.2) depende de sus caracte- rísticas locales (kn, θn y Ωn) y también de las de su vecindario (Ec. 2.37). Asimismo, la dinámica de la red y la topología también están acopladas a través deΩn.

3. La estabilidad de los enlaces depende de que las diferencias entre los pará- metros de orden local de sus extremos sean menores que un cierto umbral,U

(según la Ec.6.2). Recuérdese que en el modelo de [APGP16] las diferencias admisibles (en este caso, en el grado) entre un nodo y su vecindario también estaban acotadas (Ec.3.1).