La preferencia por los métodos analíticos, característica del siglo XVIII, se acentúa en Lagrange, creador de la "mecánica analítica" concebida como una rama de la matemática.
Joseph-Louis Lagrange, de origen francés pero nacido en Italia, residió desde los 30 años en Berlín y en París. Con sus escritos contribuyó a dotar a las ramas analíticas de la matemática de esa generalidad que las caracteriza, mientras las aplica a los más variados problemas de mecánica, de astronomía, de probabilidades. Los primeros trabajos de Lagrange aparecieron en la Miscellanea Turinensia, publicación periódica de una sociedad científica de Turín, que Lagrange contribuyó a fundar en 1757 y que luego se convirtió en la Academia Real de esa ciudad. En esos trabajos Lagrange reorganiza el "cálculo de las variaciones", independizándolo de las consideraciones geométricas que le habían dado nacimiento (el problema de los isoperímetros), y confiriéndole mayor generalidad.
En teoría de números Lagrange se ocupó de numerosos problemas: análisis indeterminado de primero y segundo grado, demostración del teorema de Wilson y de que todo número es siempre suma de cuatro cuadrados, etcétera.
Los estudios de Lagrange sobre la teoría de las ecuaciones algebraicas son precursores de la futura teoría de grupos. Utilizó
tanto en álgebra como en análisis el algoritmo de las fracciones continuas infinitas. Mediante la hoy llamada "fórmula de Lagrange" dio un método para desarrollar en serie la raíz de una ecuación algebraica o trascendente. (1)
En cuanto a la conocida "fórmula de interpolación de Lagrange" apareció en una memoria de astronomía de 1792, pero volvió a publicarse en trabajos posteriores.
En análisis se ocupó en especial de funciones de varias variables y de ecuaciones con derivadas parciales; le pertenece el método de integración de ecuaciones diferenciales lineales llamado de la "variación de las constantes".
La aplicación de las fracciones continuas a la integración de ecuaciones diferenciales le permitió expresar, mediante una fracción continua infinita, gran parte de las funciones elementales. Lagrange introdujo el cálculo simbólico en el cálculo infinitesimal, llegando de manera puramente simbólica a la fórmula sumatoria de Euler.
En 1797, estando Lagrange en París, se fundó en esa ciudad la Êcole Polytechnique, de la cual fue profesor durante algunos años. Como resultado de sus cursos publicó la Théorie des fonctions analytique, de 1797, aunque la idea fundamental que la informa pertenece a una memoria de 1772, y Leçons sur le calcul des fonctions (1801), tratados en los que expone los principios del cálculo infinitesimal de manera original, aunque no rigurosa.
Con el propósito de evitar los infinitamente pequeños o los incrementos evanescentes, y, al mismo tiempo, independizarlo de toda consideración geométrica o mecánica, funda ese cálculo de manera algebraica tomando como fórmula fundamental la serie de Taylor. Fundado sobre tal desarrollo algebraico denomina "derivadas" (este nombre proviene de Lagrange, así como la notación mediante ápices) a los coeficientes de aquél y con esas "derivadas" desarrolla el cálculo en forma finita. En cuanto al cálculo integral, lo considera inverso del cálculo de derivadas. (2) Aunque tal "método de derivadas" no es riguroso (el fundamento está sin fundamentar) fue mérito de Lagrange haber asignado al teorema de Taylor la importancia que tiene en el análisis. Por lo demás, se le deben dos formas del resto de la fórmula de Taylor, mediante las derivadas y mediante las integrales.
Un intento semejante al de Lagrange, de eliminar los infinitésimos y los límites, se debe al inglés John Landen quien, mediante un "análisis de restos", trató de definir las derivadas dividiendo los incrementos y anulando en el cociente el incremento variable. Este método, tan poco riguroso como el de Lagrange, era en cambio más engorroso. Más importantes son algunas investigaciones de Landen sobre las integrales elípticas.
El "método de derivadas" de Lagrange no dejo de encontrar objeciones entre sus contemporáneos, aunque pasaran inadvertidas hasta la época de Cauchy. Entre los opositores cabe citar al polaco Hoëné Wronski, que se ocupó de numerosas cuestiones de análisis. Hoy se designan con el nombre de "wronskianos" ciertos determinantes funcionales. Pero en verdad la matemática técnica no tenía para Wronski mayor importancia frente a las ideas y el sistema filosófico subyacente, que expuso en numerosas obras, una de las cuales es una refutación a la teoría de las funciones analíticas de Lagrange. Del mismo modo, criticará más tarde las funciones generatrices de Laplace. Es menos en nombre del rigor que en nombre de ese sistema general y metafísico que Wronski, que no deja de ser un buen algorítmico, refuta las pretensiones de Lagrange, quien en su Théorie había sostenido que ella "contiene los principios del cálculo diferencial desprovista de consideración de infinitamente pequeños, de evanescentes, de límites y de fluxiones, y reducida al análisis algebraico de cantidades finitas".
La Mécanique Analytique de Lagrange, de 1788, es una obra que hizo época. En ella la mecánica se considera, más que una ciencia natural, una geometría de cuatro dimensiones (la cuarta dimensión es el tiempo). Partiendo del principio de las velocidades virtuales y utilizando el cálculo de variaciones, se erige el sistema íntegro de la mecánica, donde aparecen el concepto de potencial y el principio de acción mínima, se introducen las coordenadas generalizadas, etcétera. En 1810 Lagrange inició una prolija revisión de su Mécanique, pero la muerte impidió completarla.
Obra semejante a la cumplida por Lagrange en mecánica, desarrolló Pierre Simon Laplace en astronomía. Su Mécanique celeste (cinco volúmenes aparecidos entre 1799 y 1825) comprenden todos los descubrimientos realizados por Newton,
Clairaut, D'Alembert, Euler y Laplace mismo, sobre la mecánica del sistema solar expuestos en forma totalmente analítica, sin más datos de observación que los indispensables. Aún antes de la publicación de la Mécanique, Laplace había abordado el problema del origen del sistema solar, que expuso en un tratado de divulgación con un apéndice sobre la historia de la astronomía: Exposition du système du monde, de 1796, donde aparece la concepción conocida con el nombre de “hipótesis de la nebulosa” o "hipótesis de Kant y Laplace", para aludir a una hipótesis cosmogónica, semejante a la de Laplace, que Kant habla expuesto en 1755.
Una contribución importante de Laplace a la matemática es el conjunto de investigaciones sobre el cálculo de probabilidades. En 1812 reunió todos sus estudios sobre el tema en su Théorie analytique des probabilités, cuya tercera edición de 1820 fue precedida por una introducción (que también se publicó separadamente) con el título Essai philosophique sur des probabilités, en el que se expone la teoría sin fórmulas matemáticas escritas. En Théorie Laplace expone la teoría de las funciones generatrices: son las funciones que desarrolladas en serie de potencias tienen por coeficientes las familias de números o defunciones, de los que es generatriz la función desarrollada. En el tratado teórico se utilizan los recursos del cálculo infinitesimal, se introduce el principio de los cuadrados mínimos y se analizan todos los problemas y las contribuciones de los autores anteriores. Así se estudia, entre otros, el teorema de Bayes sobre la “probabilidad de las causas”, enunciado en una memoria póstuma de Thomas Bayes, y el problema "de la aguja", propuesto y resuelto por Buffon en 1777.
Laplace es un matemático profundo, difícil de leer, pues da los resultados sin exponer las etapas para llegar a ellos, acompañadas a veces con un atormentador "il est facile de voir". Entre sus contribuciones originales pueden citarse la generalización de las funciones esféricas, introducidas por Legendre, y la generalización de la integral euleriana de segunda especie. En sus estudios astronómicos utilizó el potencial (el nombre es de Green) introducido por Lagrange, dando la ecuación de segundo orden con derivadas parciales, hoy llamada de Laplace o Laplaciana, a que
satisface la función potencial, y que para dos variables ya era conocida por D'Alembert. Se le deben además métodos de resolución de ecuaciones, de desarrollo de determinantes, de aproximación de integrales definidas, etcétera.
De méritos ponderables, aunque inferiores a los de Lagrange y Laplace, es el contemporáneo de ambos Aldrien Marie Legendre, último de los grandes analistas del tipo de Euler o Lagrange, que alcanzó a conocer y reconocer los méritos del nuevo grupo de analistas del siglo XIX del tipo de Abel y Jacobi.
Las contribuciones más importantes de Legendre se refieren a la teoría de números y al cálculo integral. Sus investigaciones en el primer campo aparecen, en su forma más desarrollada, en Théorie des nombres de 1830, donde estudia la teoría de los números primos, las ecuaciones indeterminadas, los restos potenciales. En ella aparece demostrada, por primera vez (Euler la había enunciado sin demostración), la ley de reciprocidad de los restos cuadráticos, esa "joya de la aritmética", como la calificó Gauss. En los Exercices de Calcul Integral, cuya primera edición es de 1812, Legendre se ocupa de las integrales eulerianas y de las integrales elípticas (3), expresiones que hacen así su aparición en matemática y que, por inversión, dieron lugar a las llamadas funciones elípticas, de manera que Legendre publicó una nueva edición de su obra, con el título de Traité des Fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes (1827-1832), dando cabida en ella a las investigaciones de Abel y Jacobi.
En sus estudios sobre la atracción de un elipsoide de rotación aparecen los polinomios , hoy llamados de Legendre, que Laplace generalizó (son las llamadas funciones esféricas) y de los que Legendre dio algunas propiedades, por ejempló que constituyen una familia de funciones ortogonales.
Mucho éxito tuvieron sus Éléments de géométrie de 1794, que se editaron repetidas veces y fueron adoptados como texto en el continente y en los Estados Unidos. Con Legendre aparece en la geometría el tratamiento de los teoremas previo al de los problemas, mientras que en Euclides ocurre lo contrario, así como la geometría adquiere esa fisonomía entre algebraica y geométrica que caracterizó a la geometría elemental desde entonces. En un Apéndice trae notas con algunas novedades: la trigonometría, la
distancia mínima entre dos rectas no coplanares, la demostración de la irracionalidad de π y de e, con la observación profética de que "es probable que el número π no esté comprendido entre los irracionales algebraicos, es decir que no sea raíz de una ecuación algebraica de un número finito de términos y de coeficiente racionales". Agreguemos que en conexión con las cuestiones de geometría elemental, Legendre se ocupó también del postulado de las paralelas.
Otro matemático de este período que, además de ocuparse de análisis (ya mencionamos la constante que lleva su nombre unido al de Euler) se ocupó también de geometría elemental es Lorenzo Mascheroni, quien en 1797 publicó una Geometría del Compasso, donde prueba que todas las construcciones con regla y compás pueden realizarse con compás únicamente (sin radio fijo). En general supone dado el centro, aunque expone una construcción con compás únicamente para determinar el centro de una circunferencia dada. Las construcciones de Mascheroni son ingeniosas (4) y el autor sostiene que esas construcciones son más exactas que las hechas con regla y compás. En realidad no fue Mascheroni el primero que se ocupó de este tema en forma detallada, pues el danés Georg Mohr (=Mohrendal) había publicado en 1672 un Euclides danicus, donde figuran los mismos resultados, pero este escrito no se difundió hasta 1928.
El estado del cálculo infinitesimal a fines del siglo XVIII se pone de manifiesto en el gran tratado de otro francés, Sylvestre François Lacroix, el Traité de Calcul Différentiel et lntégral en tres gruesos volúmenes aparecidos entre 1797 y 1800. El primer volumen se refiere al cálculo diferencial y a sus aplicaciones geométricas. Aunque utiliza el método de Lagrange no excluye el uso de límites. En las aplicaciones geométricas hace su aparición la expresión "geometría analítica". "… He deseado mostrar a los lectores que existe una manera de enseñar la geometría analítica, que consiste en deducir las propiedades de la extensión del menor número de principios y por procedimientos puramente analíticos como lo hizo Lagrange…". También aparece el estudio de las curvas mediante las coordenadas intrínsecas, "… cantidades absolutamente inherentes a la curva propuesta".
El segundo volumen, dedicado al cálculo Integral con cálculo de variaciones, trae la distinción entre integral definida e indefinida y las definiciones respectivas. El tercer volumen se ocupa exclusivamente de diferencias y de series.
Se debe también a Lacroix una colección de obras didácticas de matemática que incluye todas las ramas de esta ciencia y hasta un tratado de didáctica matemática. Entre estos tratados didácticos figura un Traité élémentaire de Calcul différentiel et intégral, que se tradujo al inglés en 1816, agregándosele en 1820 dos volúmenes de ejercicios.
Esta traducción significó el fin del ostracismo de los analistas ingleses y el abandono de la notación fluxional, adoptándose la notación y los métodos de los matemáticos continentales. Los traductores del Lacroix y promotores del movimiento fueron los tres jóvenes ya mencionados que en 1813 fundaron en Cambridge la "Analytical Society": John F. W. Herschel, hijo del célebre astrónomo y astrónomo él mismo, aunque se ocupó también de matemática; Charles Babbage, conocido por sus inventos de máquinas analíticas, y George Peacock, probablemente el más matemático del grupo. (5)
Notas complementarias
(1) La fórmula de Lagrange. Con su fórmula Lagrange se propone desarrollar en serie, en función de a y de h, el valor de x que satisface a la ecuación ( ). Suponiendo variables todas las letras, por diferenciación obtiene ( ) e introduciendo una función cualquiera ( ); ( ) ( ), donde con ápices indicamos las derivadas. Mediante la fórmula de la diferencial total de se llega a , válida por supuesto también para ( ).
La relación anterior entre derivadas parciales es el caso de la expresión (
) cuya validez general demuestra
( ) ( ) ( ) ( )
De manera que si la expresión general es válida para n, al derivarla respecto de h y tener en cuenta el resultado anterior
( ) ( ) Y la expresión es válida para .
Para ese factor será el coeficiente del desarrollo en serie de ( ) en las proximidades de , donde , tal valor es
[
]
( ( ) ( ))
donde D significa derivación ordinaria respecto de a, de manera que en definitiva
( ) ( ) ∑
( ( ) ( ))
que es la fórmula de Lagrange, que éste aplica a distintos ejemplos, entre ellos la ecuación de Kepler , dando el valor de la incógnita en la serie
dando además un límite superior de e que asegure la convergencia. (2) Las "derivadas" de Lagrange. Puede tenerse una idea del "método de las derivadas" de Lagrange, reseñando algunas de sus demostraciones de ese método.
a) Derivada de función de función. Si ( ( )), se tendrá, llamando como Lagrange i al incremento de la variable,
( )
Como por otra parte
( ( ))
( )
( ) ( ) ( )
por tanto, comparando el primero y último miembro, se obtiene el resultado .
b) Regla de l’Hȏpital. Para calcular el valor de la función ( ) ( ) para cuando ( ) ( ) , Lagrange deriva el producto ( ) ( ) y de ( ) ( ) obtiene, para , .
c) Problema inverso de la tangente. Si ( ) representa una curva que encierra el área ( ), el valor de ( ) ( ) estará comprendido entre ( ) e ( ) ( ) ( ), utilizando el teorema del valor medio que vuelve a utilizar en ( ) ( ) ( ) por tanto, dividiendo por i,
( ) ( ) debe estar comprendido entre ( ) y
(3) Las integrales elípticas de Legendre. Después de haber conocido los trabajos de Fagnano, Euler y Landen, Legendre demuestra que toda integral en la que aparece un irracional cuadrático de un polinomio de cuarto grado, se puede llevar a la forma
∫
( ) ( ) √ ( ) Que a su vez puede reducirse a una combinación de una o más de estas formas típicas, las formas canónicas de Legendre;
Integral elíptica de primera especie ∫
( ) Integral elíptica de segunda especie
∫ ( ) Integral elíptica de tercera especie
∫
( ) ( )
Integrando entre 0 u θ, y haciendo , Legendre calculó, para α y θ de grado en grado, los valores de las integrales de primera y segunda especie con 9 y 10 decimales. Entre las propiedades estudiadas por Legendre figuran las relativas a la suma de las integrales elípticas para dos valores distintos de la amplitud θ.
(4) Una construcción de Mascheroni. Sea bisecar, con compás únicamente, el arco AB de la circunferencia de centro O. Con centros en A y en B se trazan los arcos OC y OD, tomando sobre ellos puntos C y D tales que OC = OD = AB. Con centros en C y en D y radio AC = DB se trazan los arcos AE y BE, que determinan el punto E. Nuevamente con centros en C y en D, pero ahora con radio OE, se trazan dos arcos que determinan sobre la circunferencia el punto M que será el punto medio del arco AB. En efecto, sean 2c y f la cuerda de AB y su distancia al centro. El segmento AC será
hipotenusa de un triángulo de catetos f y 3c (OC + ½ OD), por tanto AC² = 9c² + f ² = CE² = 4 c² + OE² ; OE² = 5c² +f ² = CM² = 4c² + OM²; OM² = c² + f ² = r², siendo r el radio, por tanto el punto M está sobre la circunferencia y por la simetría de la figura será el punto medio de AB.
(5) El "Álgebra" de Peacock. A treatise on Álgebra (1830, segunda edición en dos volúmenes, 1841-1842) es una obra importante, en la que se estudian los fundamentos del álgebra y se acentúa su carácter simbólico. Con el nombre de "principio de permanencia de las formas equivalentes" enuncia un principio que anticipa el futuro "principio de permanencia de las leyes formales" de Hankel, de 1867, que constituyó el principio director del análisis algebraico. El tratado de Peacock incluye, además, todos los progresos realizados hasta entonces en el campo del álgebra, agregando "aplicaciones a la geometría de posición", es decir, la trigonometría. Comprende aritmética, combinatoria, teoría de números, algoritmo algebraico, expresiones imaginarias, teorema del binomio, raíces de la unidad, aplicaciones de la fórmula de De Moivre, series exponencial y logarítmica y de las funciones circulares, logaritmos, descomposición en fracciones parciales, eliminación, ecuaciones de tercero y de cuarto grado. En el apéndice menciona el trabajo de Abel sobre la imposibilidad de resolver las ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto, y lo comenta con algún escepticismo.