Estamos interesados en conocer qué tipos particulares de espacios topológicos satisfacen las condiciones equivalentes dadas en el Teorema 1.6.3. En esta sección vamos a demostrar que los espacios métricos com- pletos así como los espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos las satisfacen. En general, veremos que todo espacio ˇCech-completo así como todo espacio Oxtoby-completo (más generales que los
ˇ
Cech-completos, véase la Sección 1.11) son también espacios de Baire.
Estamos ahora en posición de formular y probar el Teorema de Categoría de Baire para los espacios métricos completos y los espacios de Hausdorff localmente compactos. En 1897, William Fogg Osgood prueba que la intersección de una sucesión de subconjuntos abiertos densos de R es densa en R. Dos años después, R. Baire observa que el mismo resultado sigue siendo verdadero enRny lo aprovecha en su estudio de las funciones que se obtienen como límites puntuales de sucesiones de funciones continuas (llamadas funciones de la primera clase de Baire). En 1914, F. Hausdorff extendió el resultado a los espacios comple- tamente metrizables. Un poco más tarde, Stefan Banach observó que el mencionado resultado de Osgood y Baire no sólo es cierto enRnsino también, con la misma demostración de Baire, en cualquier espacio métri- co completo y en cualquier espacio topológico localmente compacto, dando así forma definitiva a lo que hoy día conocemos como El Teorema de Categoría de Baire para Espacios Métricos Completos y Espacios Topológicos Localmente Compactos.
Teorema 1.7.1 (Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos). Si (X , d) es un es-
Sec. 1.7 El Teorema de Categoría de Baire 39
Prueba. Sea{Gn}∞n=1una sucesión de subconjuntos abiertos y densos de X y sea U un subconjunto abierto
no vacío de X . Nuestra tarea es demostrar que U∩T∞n=1Gn6= ∅. Como G1es denso en X , entonces U∩G16=
∅. Sea x ∈ U ∩ G1 y determinemos una bola abierta U1 con centro en x y radio < 1 contenida en U ∩ G1
tal que U1⊆ U ∩ G1. Como U1 es un abierto no vacío de X y G2 es denso en X , entonces U1∩ G26= ∅.
De nuevo, existe una bola abierta U2 de radio< 1/2 contenida en U1∩ G2tal que U2⊆ U1∩ G2. Notemos
una vez más que U2∩ G36= ∅ por la densidad de G3. Podemos, sin duda alguna, continuar con esta receta
indefinidamente para obtener una sucesión de bolas abiertas(Un)∞n=1satisfaciendo:
1. U1⊇ U2⊇ ··· ⊇ Un⊇ ··· y
2. l´ım
n→∞diam(Un) = 0.
Todo está preparado para invocar el Teorema de Encaje de Cantor y concluir queT∞n=1Un6= ∅. Observemos
ahora que si definimos U0= U , obtenemos
∅ 6= ∞ \ n=1 Un⊆ ∞ \ n=1 Un−1∩ Gn ⊆ U ∩ ∞ \ n=1 Gn
que era lo que queríamos demostrar.
Otras variantes del Teorema de Categoría de Baire se pueden obtener modificando el concepto de com- pletitud. Algunas de ellas las discutiremos en la Sección 1.11, donde se estudian conceptos de completitud más complicados tales como: completitud de ˇCech, pseudo-completitud o completitud de Oxtoby, etc.
Comentario Adicional 1.7.2 Habíamos afirmado un poco más arriba que todo espacio métrico completo
es de segunda categoría en sí mismo. Esto, por supuesto, es consecuencia inmediata del Teorema de Categoría de Baire más el hecho de que todo espacio de Baire es de segunda categoría en sí mismo. También es claro que cualquier conjunto residual viviendo en un espacio métrico completo es de segunda categoría.
El Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos posee, en principio, dos limita- ciones importantes que debemos destacar.
(1) La primera tiene que ver con la completitud del espacio métrico (X , d). No existe ninguna garan- tía de un Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos no completos, es decir, la inter- sección de una familia numerable de subconjuntos abiertos y densos en un espacio métrico no completo puede ser vacía. Veamos un ejemplo.
Ejemplo. Sea X =R[t] el espacio vectorial de dimensión infinita de todos los polinomios con coeficientes reales. Para cada p∈ X, donde p(t) = antn+ ··· + a1t+ a0, definimos su norma por
k pk = |an| + ··· + |a1| + |a0|.
Es fácil ver quek·k define una norma sobre X la que a su vez genera la métrica d(x,y) = kx − yk bajo la cual(X , d) no es un espacio completo. En efecto, la sucesión (pn)∞n=1definida por
pn(t) = 1 + t 1!+ t2 2!+ ··· + tn n!
es de Cauchy en X , pues si n< m, entonces
d(pm, pn) = k pm− pnk = m
∑
k=n+1 1 k!el cual se puede hacer tan pequeña como se quiera si n se escoge lo suficientemente grande. Por otro lado, la sucesión(pn)∞n=1no converge a ningún polinomio p(x) = a0+ a1x+ ··· + anxn con
n∈ N fijo, pero arbitrario, ya que si m > n, entonces d(pm, p) = k pm− pk = |a0− 1| + |a1− 1| + a2− 1 2 + ··· + an− 1 n! + m
∑
k=n+1 1 k! ≥ m∑
k=n+1 1 k!,de donde se deduce que
l´ım m→∞d(pm, p) ≥ e − n
∑
k=0 1 k!,para cualquier n∈ N que se prefije. Pero como, e −∑nk=0 1
k!> 0 para cualquier entero positivo n, resulta que la sucesión(pm)∞m=1 no converge a ningún polinomio en X .
Veamos ahora que X es de primera categoría. En primer lugar observemos que X =S∞n=1Fn,
donde, para cada n∈ N, Fnes el subespacio vectorial de X formado por todos los polinomios de
grado menor o igual a n. Puesto que la dimensión de cada Fn es finita, entonces Fn es cerrado
en X y, en consecuencia, tiene interior vacío (véase el Ejemplo (B-2), página 212). Esto prueba que X es de primera categoría en sí mismo. Finalmente, por el Teorema 1.6.2, cada uno de los conjuntos Gn= XrFnes abierto y denso en X , pero claramente su intersección no es densa, pues T∞
n=1Gn=∅.
(2) La segunda observación es la exigencia de la numerabilidad en la colección de los conjuntos abiertos que son densos en el espacio X . Si se elige una colección no numerable de tales abiertos densos en dicho espacio es posible que la conclusión del Teorema de Categoría de Baire no se cumpla. Por ejemplo, trabajando con X =R y si, para cada x ∈ R, definimos Gx =R r {x},
resulta que cada Gxes abierto y denso en X , pero sin embargo, su intersección es vacía: \
x∈R
Gx=∅.
(3) Ya hemos observado que las nociones de categoría son relativas, es decir, dependen del espacio
ambiente. Considere, por ejemplo, aZ dotado de la métrica inducida por la métrica estándar de
R. Entonces (Z,| · |) es un espacio métrico completo y, por el Teorema de Categoría de Baire, es de segunda categoría en sí mismo lo que, en principio, pudiera ser contradictorio al hecho de que Z es la unión de una colección numerable de puntos. Sin embargo, en este espacio, cada punto es un conjunto abierto y, por consiguiente, no es nunca-denso, es decir,Z no es de primera categoría. Por otro lado, si Z es visto como un subconjunto de R y no como un espacio en sí mismo, entoncesZ, efectivamente, es un conjunto de primera categoría en R.
(4) La demostración de Cantor de la no numerabilidad deR es consecuencia inmediata del Teorema
de Categoría de Baire dado anteriormente. En efecto, siR fuese numerable, entonces existiría una
sucesión(xn)∞n=1tal queR =
S∞
n=1{xn}. Definiendo, para cada n ∈ N, el conjunto Gn=Rr{xn},
resulta que ellos son abiertos y densos enR, por lo que el Teorema de Categoría de Baire nos garantiza queT∞n=1Gnes denso enR, lo cual es imposible ya queT∞n=1Gn=RrS∞n=1{xn} = ∅.
(5) Ser un espacio de Baire es una propiedad topológica; es decir, se preserva bajo homeomorfismos, por lo tanto, todo espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo es un espacio
Sec. 1.7 El Teorema de Categoría de Baire 41
Otra clase importante de espacios topológicos que pertenecen a la familia de los espacios de Baire son los espacios de Hausdorff localmente compactos. Recordemos que un espacio topológico de Hausdorff(X ,τ) es
localmente compacto si cada x∈ X posee un entorno abierto Uxcuya clausura es compacta.
La demostración del próximo resultado, el cual es la versión del Teorema de Categoría de Baire para espacios localmente compactos, es muy similar a la del Teorema 1.7.1.
Teorema 1.7.2 (Teorema de Categoría de Baire para espacios localmente compactos). Si(X ,τ) es un es-
pacio de Hausdorff localmente compacto, entonces X es un espacio de Baire.
Prueba. Sea (Gn)∞n=1 es una sucesión de subconjuntos abiertos densos de X . Para demostrar que
T∞ n=1Gn
es denso en X , sea G un subconjunto abierto no vacío de X y veamos que G intersecta aT∞n=1Gn. Puesto
que G1 es denso en X , tenemos que G∩ G16= ∅. Sea x ∈ G ∩ G1. Como K= {x} es compacto y G ∩ G1es
abierto conteniendo a K, existe, por el Teorema 1.4.16, un abierto no vacío O1⊆ X tal que O1es compacto y
O1⊆ O1⊆ G∩G1. De nuevo, como G2es denso en X , el conjunto abierto O1∩G2es no vacío, y por lo tanto,
usando de nuevo el Teorema 1.4.16, podemos obtener un abierto no vacío O2 en X tal que O2es compacto
y O2⊆ O2⊆ O1∩ G2. Continuando inductivamente con este proceso podemos encontrar una sucesión de
conjuntos abiertos no vacíos(On)∞n=1en X tal que, para cada n∈ N, Ones compacto y On⊆ On⊆ On−1∩Gn.
Puesto que, para cada n∈ N,
n \ k=1
Ok= On
resulta que la sucesión(On)∞n=1tiene la propiedad de intersección finita y así, por el Teorema 1.4.11 aplicado
al compacto O1, se tiene que
∅ 6= ∞ \ n=1 On⊆ G ∩ ∞ \ n=1 Gn.
Esto termina la prueba.
En particular, cualquier espacio de Hausdorff compacto, por ser un espacio localmente compacto, es un espacio de Baire. Ya hemos visto, échele una miradita al Teorema 1.6.3, que cualquier conjunto abierto viviendo en un espacio de Baire es de segunda categoría. El siguiente resultado dice algo más: los subcon- juntos abiertos no vacíos de un espacio de Baire retienen esa propiedad.
Teorema 1.7.3. Todo subconjunto abierto no vacío de un espacio de Baire es, en su topología relativa, un
espacio de Baire.
Prueba. Sea O un subconjunto abierto no vacío de un espacio de Baire (X ,τ) y sea (Gn)∞n=1 una sucesión
de conjuntos abiertos densos en O. Entonces cada Gn es abierto en X y, en consecuencia, los conjuntos
Hn= Gn∪(X rO), n = 1,2,... son abiertos y densos en X. En efecto, cada Hnes abierto por ser unión de dos
conjuntos abiertos, mientras que la densidad es consecuencia de las siguientes dos observaciones: primero, siendo Gnes denso en O, resulta entonces que O⊆ Gn, y segundo, Hn= Gn∪
Xr O⊇ O ∪(X rO) = X.
Puesto que X es un espacio de Baire, el conjuntoT∞n=1Hnes denso en X , en particular, no vacío. Finalmente,
como ∅ 6= ∞ \ n=1 Hn = ∞ \ n=1 Gn∪ (X r O) = ∞ \ n=1 Gn ∪ (X r O),
se sigue queT∞n=1Gnes denso en O.
El resultado anterior nos garantiza que todo subconjunto abierto no vacío de un espacio de Baire es, en su topología relativa, un espacio de Baire. ¿Qué ocurre con los subconjuntos cerrados? Sabemos que si X
es un espacio métrico completo o un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto, entonces todo subconjunto cerrado de X preserva esa propiedad y, por consiguiente, resulta ser, en su topología relativa, un espacio de Baire; sin embargo, si X es un espacio de Baire arbitrario y F es un subconjunto cerrado de X , entonces no siempre es cierto que F, en su topología relativa, sea un espacio de Baire. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.7.1. Un subconjunto cerrado de un espacio de Baire que no es un espacio de Baire. Consi-
deremos el espacio
X0 = R2r
(x, 0) : x ∈ R r Q .
Veamos que X0es un espacio de Baire. Para probar esto, considere el conjunto Y= {(x,y) ∈ X0: y6= 0}.
Entonces Y es claramente abierto y denso en X0y, además, es un espacio de Baire por ser localmente
compacto. Sea ahora (Gn)∞n=1 una sucesión de subconjuntos abiertos y densos en X0 y observe que
Gn∩Y es, para cada n ∈ N, un abierto denso en Y y, gracias al hecho de que Y es un espacio de Baire,
se tiene queT∞n=1(Gn∩Y ) = (T∞n=1Gn) ∩Y es denso en Y , de donde se sigue queT∞n=1Gnes denso en
X0. Esto prueba que X0es un espacio de Baire. Finalmente, el subconjunto F= {(x,0) ∈ R2: x∈ Q}
es claramente cerrado en X0pero, obviamente, de primera categoría.
El ejemplo anterior permite la justificación de la siguiente definición:
Definición 1.7.1. Un espacio topológico de Hausdorff (X ,τ) se dice que es hereditariamente de Baire si
cada subconjunto cerrado de X es un espacio de Baire con respecto a la topología relativa.
Observe que todo espacio hereditariamente de Baire es un espacio de Baire. En virtud de lo expresado anteriormente se puede afirmar, con toda propiedad, que los espacios completamente metrizables y los es- pacios localmente compactos son hereditariamente de Baire. Nótese que nuestro espacio X0, en el ejemplo
anterior, no es ni localmente compacto ni completamente metrizable.
Una manera sencilla de caracterizar los espacios hereditariamente de Baire es por medio del siguien- te teorema, el cual es muy similar a las equivalencias (a) y (c) del Teorema 1.6.3 cambiando Baire por hereditariamente de Baire y abierto por cerrado.
Teorema 1.7.4. Sea(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) X es hereditariamente de Baire.
(2) Todo subconjunto cerrado de X es de segunda categoría en sí mismo.
Prueba.(1) ⇒ (2) es inmediata por el hecho de que todo espacio de Baire es de segunda categoría en sí
mismo. Para demostrar la otra implicación suponga, para llegar a una contradicción, que(2) se cumple pero no(1). Entonces existe un subconjunto cerrado F de X que no es de Baire. Esto implica la existencia de un abierto relativo V de F que es de primera categoría. Escribamos a V en la forma V =S∞n=1Fn, donde cada Fn
es un cerrado de F que es nunca-denso en V . Como cada Fnsigue siendo nunca-denso en V y ya que
V = V \V∪
∞
[ n=1
Fn,
tenemos que el conjunto cerrado V es de primera categoría en sí mismo. Esta contradicción da por terminada
la prueba.
Comentario Adicional 1.7.3 (1) No todo espacio de segunda categoría es un espacio de Baire. Aunque ya hemos visto que todo espacio métrico completo es de segunda categoría en sí mismo, existen
Sec. 1.7 El Teorema de Categoría de Baire 43
espacios métricos de segunda categoría en sí mismo que no son espacios de Baire. Por ejemplo, si
A=(x, 0) ∈ R2: x∈ R y B=(0, y) ∈ R2: y∈ Q,y 6= 0 ,
entonces el espacio X = A ∪ B, con la topología inducida por R2, es de segunda categoría en sí mismo. En efecto, sea (Gn)∞n=1 una sucesión de subconjuntos abiertos y densos en X . Para ver
queT∞n=1Gn6= ∅, podemos proceder del modo siguiente: teniendo en cuenta que Gn∩ (0,∞) es
abierto y denso en(0,∞) por ser (0,∞) abierto en X , resulta que (T∞n=1Gn) ∩ (0,∞) es denso en
(0,∞) pues (0,∞) es un espacio de Baire (él es localmente compacto), de donde se concluye que
T∞
n=1Gn6= ∅. Esto prueba que X es de segunda categoría en sí mismo. Por otro lado, X no es
un espacio de Baire ya que B es un conjunto abierto de X que es unión numerable de conjuntos nunca-densos.
Es fácil ver que la patología anterior desaparece si X es un espacio vectorial topológico: Un
espacio vectorial topológico es de Baire si, y sólo si, es de segunda categoría en sí mismo.
En efecto, si X es un espacio vectorial topológico de segunda categoría en sí mismo, entonces todo entorno abierto V de 0 es de segunda categoría en X , pues X =S∞n=1nV . Por la invariancia
de las traslaciones, cualquier entorno de cualquier punto es de segunda categoría en X y, en consecuencia, todo abierto es de segunda categoría en X . Se sigue ahora del Teorema 1.6.3(c) que X es un espacio de Baire.
(2) No todo espacio normado es un espacio de Baire. La observación (1) del Comentario Adicional 1.7.2 es un ejemplo de un espacio normado que es de primera categoría en sí mismo. Otro ejemplo es el siguiente: sea X = C([0, 1]) el espacio normado formado por todas las funciones continuas
f :[0, 1] → R provisto de la norma k·k1definida por k f k =
Z 1 0 f(x) dx
para toda f ∈ C([0,1]). Es un hecho ya establecido que (X,k·k1) es un espacio normado no com- pleto. Consideremos el conjunto B= { f ∈ X : k f k∞≤ 1}, donde la norma k·k∞viene dada por k f k∞= sup{| f (x)| : x ∈ [0,1]}, para cada f ∈ X. Como B es equilibrado, convexo y absorbente,
resulta que X= ∞ [ n=1 nB.
Nos proponemos demostrar que B es un conjuntok·k1-cerrado en X con interior vacío. Veamos esto. Si B tuviera interior no vacío, entonces B− B = B + B = 2B sería un entorno del cero en
X y, en consecuencia, las normask·k1yk·k∞serían equivalentes, lo cual es imposible. Para ver que B esk·k1-cerrado en X , tomemos una sucesión ( fn)∞n=1 en B tal que k fn− f k1→ 0 para
alguna f ∈ X. Veamos que f ∈ B. Supongamos que ello no es cierto. Entonces k f k∞> 1 y, por consiguiente, existen un intervalo J ⊆ [0,1] y unδ> 0 tal que | f (x)| > 1 +δpara todo x∈ J. Pero entonces k fn− f k1= Z 1 0 | fn(x) − f (x)|dx ≥ Z J| fn(x) − f (x)|dx >δ long(J)
para todo n∈ N, contradiciendo de esta forma el hecho de que k fn− f k1 → 0. Esto prueba
entonces que B es nunca-denso en(X , k·k1) y, por lo tanto, que X es de primera categoría en sí mismo.
(3) La recta de Sorgenfrey es un espacio de Baire. Recordemos que la recta de Sorgenfrey,S, no es otra cosa queR pero con la topologíaτs, la cual es generada por la base B=
[a, b) : a, b ∈ R, a < b . Observe queτses más fina que la topología usual deR.
Prueba de queS es de Baire. Sea (Gn)∞n=1 una sucesión de subconjuntos abiertos y densos en
S. Vamos a demostrar que G =Tn≥1Gnes denso enS. Para ello será suficiente tomar cualquier
elemento en B, digamos[a, b) ∈ B, y demostrar que [a,b) ∩ G 6= ∅. Puesto que B es una base para τs, cada Gn es unión de elementos de B, es decir, para cada n∈ N, existe un conjunto de
índices Jntal que
Gn = [ α∈Jn anα, bn α.
La topología estándar deR (generada por los intervalos abiertos) la denotaremos porτ. Conside- remos ahora, para cada n∈ N, elτ-abierto UndeR definido por
Un = [
α∈Jn anα, bn
α.
Afirmamos que cada Unesτ-denso en R. En efecto, sea (u,v) un intervalo τ-abierto enR con
u< v. Puesto que Gnesτs-denso enS, tenemos que [u,v) ∩ Gn6= ∅. Por consiguiente, existe un
α∈ Jnpara el cual[u, v) ∩ [anα, bnα) 6= ∅. De esto se sigue que (u,v) ∩ (anα, bnα) 6= ∅ y, por lo tanto,
(u, v) ∩Un6= ∅. Así, Unes un abierto denso en(R,τ) para cada n ∈ N. Como R, con la topología
usual, es un espacio espacio métrico completo, el Teorema de Categoría de Baire nos dice que
T∞
n=1Unesτ-denso enR. Ahora bien, ya queT∞n=1Un⊆T∞n=1Gn, resulta queT∞n=1Gntambién
esτ-denso enR, de donde obtenemos que
(a, b) ∩ ∞ \ n=1 Gn 6= ∅ cualesquiera sean a, b ∈ R con a < b. Finalmente, en virtud de que
(a, b) ∩ ∞ \ n=1 Gn ⊆ [a,b) ∩ ∞ \ n=1 Gn se concluye que [a, b) ∩ ∞ \ n=1 Gn 6= ∅.
Esto termina la prueba de queS es un espacio de Baire.
(4) Otra forma de demostrar que un espacio topológico es un espacio de Baire, debido a G. Choquet, y similar en espíritu al Teorema de Encaje de Cantor, depende de la capacidad que poseen ciertos espacios en admitir una cierta relación de orden entre sus subconjuntos abiertos no vacíos de modo que se mantenga un fuerte lazo de contención entre ellos, y que además, las sucesiones “decrecientes”, en el “orden” establecido, aún produzcan intersecciones no vacías. En el siguiente resultado usaremosτ∗=τr {∅}, donde (X,τ) es un espacio topológico de Hausdorff.
Sec. 1.7 El Teorema de Categoría de Baire 45
Teorema de Choquet. Un espacio topológico de Hausdorff (X ,τ) es un espacio de Baire si
existe una relación< entre los elementos deτ∗tal que,
(a) si A< B, entonces A ⊆ B, cualesquiera sean A,B ∈τ∗,
(b) para cualquier subconjunto abierto no vacío B, existe un A∈τ∗tal que A< B, (c) si A⊆ B < C ⊆ D, entonces A < D, donde A,B,C,D ∈τ∗y
(d) si An> An+1para cada n∈ N, entoncesT∞n=1An6= ∅, donde An∈τ∗para todo n∈ N.
Prueba. Vale la pena añadir que, por (a) y (c), la relación < es transitiva, es decir, un orden parcial. Supongamos que X no es un espacio de Baire. Por el Teorema 1.6.3, existe un conjunto abierto no vacío G que es de primera categoría en X . Escojamos ahora una sucesión (Fn)∞n=1
de conjuntos cerrados nunca-densos en X tal que G=S∞n=1Fn. Vamos ahora a construir una
sucesión(On)∞n=1de conjuntos abiertos no vacíos en X con On⊆ G para todo n ∈ N tales que
On> On+1 y On∩ n [ k=1
Fk=∅
para cada n∈ N. Puesto que int(Fn) =∅, entonces G * F1, y así, G∩(X rF1) es un subconjunto
abierto no vacío de G que no intersecta a F1. Por(b), existe un subconjunto abierto no vacío O1
tal que O1< G ∩ (X r F1). Por (a), O1⊆ G ∩ (X r F1), es decir, O1⊆ G y O1∩ F1=∅. Por (c),
O1< G, lo cual finaliza la construcción de O1.
Para construir O2, notemos de nuevo que la condición int(F1∪ F2) =∅, garantiza que O1*
(F1∪F2) y, como antes, esto determina que el conjunto O1∩(X r(F1∪F2)) es un abierto no vacío
que no intersecta a F1∪ F2. La condición (b) nos provee de la existencia de un conjunto abierto
no vacío O2tal que O2< O1∩ (X r (F1∪ F2)). Un llamado a (c) nos dice que O2< O1, mientras
que de (a) se sigue que O2 ⊆ O1∩ (X r (F1∪ F2)) y, en consecuencia, O2∩ (F1∪ F2) =∅.
Continuando de este modo obtenemos la sucesión buscada(On)∞n=1. Una vez en posesión de la
sucesión(On)∞n=1, tenemos que
\∞ n=1 On ∩ ∞ [ n=1 Fn =∅ y, así, ∅ = ∞ \ n=1 On ∩ ∞ [ n=1 Fn = ∞ \ n=1 On ∩ G = ∞ \ n=1 On,
mientras que por(d),
∞
\ n=1
On6= ∅.
Esta contradicción establece que X es un espacio de Baire.
Por ejemplo, si (X ,τ) es un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces uno define la relación < sobreτ∗, la familia de todos los subconjuntos abiertos no vacíos de X , del modo siguiente:
A< B si A es relativamente compacto y A ⊆ B
para todo A, B ∈τ∗. No es difícil ver que ésta relación cumple con las condiciones impuestas en el teorema anterior y, por consiguiente, X es un espacio de Baire.
Similarmente, si(X , d) es un espacio métrico completo, entonces podemos definir la relación <, entre los subconjuntos abiertos no vacíos de X , como sigue:
A< B si A⊆ B y d(A) ≤ d(B)
2 ,
donde d(E) = m´ın{1,diam(E)}, para cualquier E ⊆ X, y diam(E) es el d-diámetro de E. Es- ta relación satisface las condiciones impuestas en el teorema anterior y, entonces, (X , d) es un espacio de Baire (véase, por ejemplo, [336], p. 263-265).
(5) Sea (X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff. Diremos que X tiene la propiedad de Moore si
ningún conjunto cerrado F⊆ X es la unión de una sucesión de conjuntos cerrados (Fn)∞n=1 tal
que, para todo n∈ N, cualquier punto de Fnes un punto límite de X\ Fn.
No es difícil ver que cualquier espacio métrico completo, así como cualquier espacio compacto posee la propiedad de Moore. La primera aparición de este resultado, demostrado para el caso en que X =R, proviene de [318], Theorem 53, p. 21. El hecho interesante es el siguiente debido a J. T. Astin [22]:
Teorema de Astin. Si(X ,τ) es un espacio topológico de Hausdorff con la propiedad de Moore,
entonces X es un espacio de Baire.