Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES
1. Elipse, excentricidad
2, directriz xm 4 2. Parábola, directriz xm3
3. Hipérbola, excentricidad 1.5, directriz ym 2
4. Hipérbola, excentricidad 3, directriz xm 3
5. Parábola, vértice (4, 3)Y2)
6. Elipse, excentricidad 0.8, vértice (1, )Y2)
7. Elipse, excentricidad 1
2, directriz rm 4 sec . 8. Hipérbola, excentricidad 3, directriz rm6 csc .
9-16 a) Encuentre la excentricidad, b) identifique la cónica, c) dé una ecuación de la directriz y d) bosqueje la cónica.
. 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 13. 14. . 6 1 . 5 1 r 4 5 4 sen u r 12 3 10 cos u r 2 3 3 sen u r 3 2 2 cos u r 9 6 2 cos u r 8 4 5 sen u r 3 4 8 cos u r 10 5 6 sen u
17. a) Encuentre la excentricidad y la directriz de la cónica
rm 1Y(1 2 sen .) y grafique la cónica y su directriz. b) Si esta cónica se hace girar en sentido contrario a las
manecillas del reloj en torno al origen con un ángulo 3)Y4, escriba la ecuación resultante y grafique su curva.
18. Grafique la cónica rm 4Y(5 6 cos .) y su directriz. También grafique la cónica obtenida al girar esta curva en torno al origen con un ángulo )Y3.
19. Grafique las cónicas rmeY(1 e cos .) con em 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0 en una pantalla común. ¿Cómo afecta el valor de e la forma de la curva?
20. a) Grafique las cónicas rmedY(1 e sen .) para em 1 y varios valores de d. ¿Cómo afecta el valor de d la forma de la cónica?
b) Grafique estas cónicas para dm 1 y varios valores de e. ¿Cómo afecta el valor de e la forma de la cónica?
21. Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad
e y directriz xmd tiene la ecuación polar
r ed
1 ecos u
22. Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad
e y directriz ymd tiene la ecuación polar
r ed
1 esen u
23. Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad
e y directriz ymd tiene la ecuación polar
r ed
1 esen u
24. Demuestre que las parábolas rmcY(1 cos .) y
rmdY(1 cos .) se cortan en ángulos rectos.
25. La órbita de Marte alrededor del Sol es una elipse con excentricidad 0.093 y semieje mayor de 2.28 108 km. Encuentre una ecuación polar para la órbita.
26. La órbita de Júpiter tiene excentricidad de 0.048 y la longitud del eje mayor es 1.56 109 km. Encuentre una ecuación polar para la órbita.
27. La órbita del cometa Halley, visto por última vez en 1986 y que debe volver en 2062, es una elipse con excentricidad 0.97 y un foco en el Sol. La longitud de su eje principal es 36.18 UA. FUna unidad astronómica (UA) es la distancia media entre la Tierra y el Sol, cerca de 93 millones de millas.G Encuentre una ecuación polar para la órbita del cometa Halley. ¿Cuál es la distancia máxima desde el cometa al Sol?
28. El cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, tiene una órbita elíptica con excentricidad 0.9951 y la longitud del eje mayor es 356.5 UA. Encuentre una ecuación polar para la órbita de este cometa. ¿Qué tan cerca del Sol llega?
29. El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica con excentricidad 0.206. Su distancia mínima del Sol es 4.6 107 km. Determine su distancia máxima del Sol.
30. La distancia desde el planeta Plutón al Sol es de
4.43 109 km en el perihelio y 7.37 109 km en el afelio. Halle la excentricidad de la órbita de Plutón.
31. Con los datos del ejercicio 29, calcule la distancia que recorre el planeta Mercurio durante una órbita completa alrededor del Sol. (Si su calculadora o sistema algebraico computarizado evalúa integrales definidas, utilícelo. De lo contrario, use la regla de Simpson.)
Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
10.6
Ejercicios
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CAPÍTULO 10 REPASO 685
1. a) ¿Qué es una curva paramétrica?
b) ¿Cómo se bosqueja una curva paramétrica?
2. a) ¿Cómo se encuentra la pendiente de una recta tangente a una curva paramétrica?
b) Determine el área debajo de una curva paramétrica.
3. Escriba una expresión para cada una de las siguientes descripciones:
a) La longitud de una curva paramétrica.
b) El área de la superficie obtenida al hacer girar una curva paramétrica en torno al eje x.
4. a) Use un diagrama para explicar el significado de las coordenadas polares (r, .) de un punto.
b) Escriba ecuaciones que expresen las coordenadas cartesianas (x, y) de un punto en términos de las coordenadas polares.
c) ¿Que ecuaciones usaría para obtener las coordenadas polares de un punto si conociera las coordenadas cartesianas?
5. a) ¿Cómo determina la pendiente de una recta tangente a una curva polar?
b) ¿Cómo calcula el área de una región acotada por una curva polar?
c) ¿Cómo halla la longitud de una curva polar?
6. a) Dé una definición geométrica de una parábola. b) Escriba una ecuación de una parábola con foco (0, p)
y directriz ymp. ¿Qué pasa si el foco es ( p, 0) y la directriz es xmp?
7. a) Dé una definición de una elipse en términos de los focos.
b) Escriba una ecuación para la elipse con focos (c, 0) y vértices (a, 0).
8. a) Dé una definición de una hipérbola en términos de los focos.
b) Escriba una ecuación para la hipérbola con focos (c, 0) y vértices (a, 0).
c) Escriba ecuaciones para las asíntotas de la hipérbola del inciso b).
9. a) ¿Cuál es la excentricidad de una sección cónica? b) ¿Qué se puede decir acerca de la excentricidad si la
sección cónica es una elipse? ¿Una hipérbola? ¿Una parábola?
c) Escriba una ecuación polar para una sección cónica con excentricidad e y directriz xmd. ¿Qué pasa si la directriz es
xmd? ¿ymd? ¿ymd? Verificación de conceptos
Exámen rápido Verdadero-Falso
Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute el enunciado.
1. Si la curva paramétrica xmf (t), ymJ(t) satisface J(1) m 0, entonces tiene una recta tangente horizontal cuando tm 1.
2. Si xmf (t) y ymJ(t) son derivables dos veces, entonces
d2y dx2 d2y dt2 d2x dt2 3. La longitud de la curva xmf (t), ymJ(t), at b, es
x
b as f t 2 t t 2dt.4. Si un punto se representa por (x, y) en coordenadas cartesianas (donde x o0) y (r, .) en coordenadas polares, entonces .m tan1( yYx).
5. Las curvas polares rm 1 sen 2. y rm sen 2. 1 tienen la misma gráfica.
6. Las ecuaciones rm 2, x2y2m 4 y xm 2 sen 3t,
ym 2 cos 3t (0 t 2)) tienen la misma gráfica.
7. Las ecuaciones paramétricas xmt2, ymt 4 tienen la misma gráfica que xmt 3, ymt 6.
8. La gráfica de y2m 2y 3x es una parábola.
9. Una recta tangente a una parábola corta la parábola sólo una vez.
10. Una hipérbola nunca corta su directriz.
Ejercicios
1-4 Bosqueje la curva paramétrica y elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva.
1. , , 2. , 3. , , 4. , 4 t 1 y 2 t x t2 4t y et x 1 e2t 0 2 y sec x cos y 1 sen x 2 cos u u u u u p
5. Escriba tres diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas para la curva y sx.
6. Use las gráficas de xmf (t) y ymJ(t) para bosquejar la curva