Enseñanza-aprendizaje de la trigonometría

La Trigonometría surge como medio para satisfacer las necesidades de las investigaciones astronómicas y su historia se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos, que fueron perfeccionado por los los griegos quienes establecieron sus fundamentos. Se considera a Herón de Alejandría y a Hiparco de Nicea (361-127 a.c) como los creadores de la Trigonometría, pero el nombre se cree que se deba a Bortholomeus Petescus (1561-1613).

Basándose en los fundamentos de Hiparco de Nicea, Ptolomeo la generaliza las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos y confecciona una tabla de funciones trigonométricas para ser usados en los cálculos astronómicos, publicado en el primer libro de Almagesto que ha llegado hasta nuestra época. Luego, Isaac Newton (1642-1727) inventor del cálculo diferencial e integral fundamenta su trabajo en la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x, desarrollando las serie para el senx, para el cosx y la tg x, que desempeñan importante papel en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Leonhard EULER siglo XVIII, fue el fundador de la trigonometría moderna. A él se debe el actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Estudio de las funciones circulares tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas trigonométricas” dadas mediante desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Que forman con las funciones exponenciales, logarítmicas, funciones transcendentes elementales. La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de manifiesto por Euler con una audacia y geniales intuiciones. Así, el estudio de las Funciones Trigonométricas se fundamentan en el estudio general de las funciones.

2.4.2. Tendencias y Aplicaciones del Aprendizaje de la Trigonometría en la educación secundaria.

Todo docente que aspira elevar el rendimiento académico de sus alumnos debe llevar con pertinencia el proceso de enseñanza-aprendizaje. Para ello es necesario que conozca la evolución histórica del tema, materia de su enseñanza, sepa deducir resultados encuadrados en conceptos y propiedades de la Matemática superior, innovando conceptos con nuevas tendencias didácticas y con el uso de tecnologías como ayuda para plasmar el aprendizaje.

Según la National Council of Teachers of Mathematics (1992), el currículum de matemáticas básicas debe incluir el estudio de la Trigonometría para que todos los estudiantes sean capaces de aplicarlo en la resolución de problemas donde aparecen triángulos y explorar los fenómenos periódicos del mundo real usando las funciones seno y coseno en general; luego conocer la conexión que existe entre el comportamiento de las funciones trigonométricas y los fenómenos periódicos, aplicar técnicas generales de representación gráfica de funciones trigonométricas, las propiedades de las funciones trigonométricas en el estudio de las coordenadas polares, vectores, números complejos y series.

A partir de las relaciones entre las coordenadas de los puntos del plano y el radio vector correspondiente se originan funciones trigonométricas. Estas funciones, especialmente el seno y el coseno, constituyen modelos matemáticos para muchos fenómenos periódicos del mundo real, tales como el movimiento circular uniforme, los cambios de temperatura, los biorritmos, las ondas de sonido y la variación de las mareas. La exploración de los datos de estos fenómenos deben realizar todos los estudiantes de los distintos niveles educativos, principalmente en el Quinto Grado de Educación Secundaria de nuestro Sistema Educativo, deben identificar y analizar los modelos trigonométricos, y estudiar las identidades que impliquen expresiones y funciones trigonométricas inversas, junto a su aplicación en la resolución de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas.

Actualmente, las calculadoras científicas, los software matemático como el MatLab, Derive y Calcula facilitan el aprendizaje de la Trigonometría, al proporcionar más potencia en los cálculos, que permiten la adquisición de estructuras conceptuales y su puesta en práctica con aplicaciones reales. Las gráficas proporcionan herramientas dinámicas que permiten al alumno realizar el modelo de muchas situaciones reales por medio de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Siendo coherente con los otros estándares, las utilidades gráficas deben jugar también un papel importante en la

adquisición de las estructuras conceptuales, así como de las propiedades de las funciones trigonométricas y las inversas.

Los alumnos que concluyen los estudios secundarios deben estar en condiciones para resolver ecuaciones e inecuaciones trigonométricas por medios informáticos. Además, deben aplicar métodos trigonométricos en situaciones prácticas de resolución de triángulos.

Como ejemplo, hallar el ángulo θ que se forma entre la transversal AB y posición final P de una lancha que al cruzar un río de 200 m de ancho es arrastrada por la corriente a una distancia de 150 m con respecto a la orilla opuesta del río.

200m 150m Figura 1 B A

Aquí, el estudiante primero bosqueja un gráfico que ilustre el problema geométrico basado en la información dada, luego identifica la razón trigonométrica que relaciona los datos y escribiendo la ecuación correspondiente, para obtener con la calculadora una respuesta numérica e interpretar este valor con un grado de exactitud adecuado con las unidades de medidas que se manejen. A partir de aquí los estudiantes están expeditos para descubrir las otras razones trigonométricas.

Los estudiantes usan las funciones seno y coseno para elaborar modelos de fenómenos periódicos del mundo real, cuyos procesos de planteamiento y solución pueden verse por niveles. Por ejemplo, consideremos una rueda de forma circular con un radio de 25 cm que tarda 12 segundos en dar una vuelta completa. Así, obtendremos el modelo matemático que describa la relación entre la altura h y el tiempo t. 25cm Figura 2 h 4 cm

Por niveles, se tiene:

θ

P

Nivel 1: En este nivel los alumnos construyen una tabla para valores de t y h. Asumiendo que el cochecito está en la posición más baja para t = 0, los estudiantes pueden determinar con facilidad los valores de h para t = 0, 3, 6, 9, 12. Para valores intermedios de t, los valores correspondientes de h se pueden estimar a partir de un dibujo a escala como muestra (fig. 3), y dándose cuenta de la periodicidad de la función, los alumnos pueden conjeturar que la gráfica tiene forma sinusoidal y podrán predecir su forma para valores mayores de

t.

Tiempo Altura .t(segundos) h(centímetros) 0 0 1,5 7 3 5 4,5 43 6 50 7,5 43 9 25 10,5 7 12 0 Figura 3

Nivel 2:En este nivel los estudiantes están en condiciones de hallar la relación entre t y h, dado por: h(t) = −25cos(π/6)t + 25 y se les pide que representen su gráfica y la analicen. La interpretación de la gráfica debe centrar la atención en: el significado, el contexto de máximos y mínimos relativos, la obtención de valores de h para valores dados de t y viceversa; la obtención de número de vueltas para valores (grandes) de t, y el tiempo t que tarda en dar un número determinado de vueltas. Finalmente, los estudiantes investigarían los cambios que se producen en la gráfica en el caso de ruedas que tengan diferente radio y velocidad angular. Nivel 3: Una vez que se sepa que la gráfica obtenida mediante experiencias como las que se

llevaron a cabo en el Nivel 1, pertenecientes a una función de tipo h(t) = a.cos(bt) + c, los estudiantes procederían a calcular a, b y c comparando la gráfica f(t) = cos(t) con la suya. Este análisis hará pensar en la necesidad de reflejar la gráfica f a través del eje t y ajustar entonces la amplitud, el período y el desplazamiento vertical.

Nivel 4: En este nivel los alumnos usarían la Trigonometría del triángulo rectángulo y la proporcionalidad simple para poder obtener las expresiones paramétricas de un punto P = (x(t),y(t)) de la rueda en función del tiempo, verificando con ella que la altura es una función sinusoidal de t. A continuación podrían utilizar un programa de representación en paramétricas para simular la trayectoria de un punto en movimiento de la rueda circular.

.

sen(θ) = x(t)/25 → x(t) = 25.sen(θ) y(t)

θ

25 cos(θ) = (25 − y(t))/25 → y(t) = −25cos(θ) + 25 2π/12 = θ/t →θ = (π/6).t Figura 4

Los conceptos relacionados con las funciones trigonométricas, tales como amplitud, período y ángulo inicial de fase, deben ser presentados ante los estudiantes del nivel secundario por medio de aplicaciones a fenómenos a interpretar los fenómenos periódicos. Por ejemplo la ecuación de un movimiento ondulatorio. Siendo requisito la experiencia en trazar el gráfico de funciones del tipo y = af (bx+ c) + d, incluyendo la investigación de los efectos que se producen al cambiar los parámetros a, b, c, d en la gráfica y = f (x). Por consiguiente, después de las experiencias adecuadas con utilidades gráficas por ordenador, serán capaces de esbozar sin ayuda del ordenador la gráfica de una función como y = 3sen(x+2) aplicando dos transformaciones: traslación de dos unidades a izquierda y multiplica por tres, a la función y = sen(x).

Los estudiantes deben tener también la oportunidad de comprobar identidades trigonométricas básicas, como por ejemplo sec2(A) = 1 + tan2(A), ya que esta actividad fortalece la comprensión de las propiedades trigonométricas, y proporciona un nuevo contexto para demostraciones deductivas.

La Trigonometría no sólo es una herramienta poderosa e importante para la ciencia y la tecnología, sino también tiene un gran atractivo estético para muchos estudiantes debido a sus regularidades y simetrías. La disponibilidad de calculadoras y ordenadores hacen que ambos aspectos de este tema sean accesibles a un mayor número de estudiantes secundarios de grados inferiores. Esto facilita a su vez una mayor integración de la Trigonometría con la Geometría y el Álgebra.