Espacios γ-Completamente Regulares

La γ-regularidad permite separar un punto de un conjunto γ-cerrado por con- juntos γ-abiertos disjuntos. Pero, lograr esta separaci´on haciendo uso de una funci´on γ-continua es, ciertamente, una condici´on m´as fuerte. En esta secci´on, se introduce la noci´on de espacio γ-completamente regular, la cual proporciona esta condici´on, y se muestra c´omo esta noci´on esta relacionada con la γ-regularidad.

Se comienza esta secci´on, introduciendo la noci´on de espacio γ-completamente regular.

Definici´on 3.12. Un espacio topol´ogico (X, τ ) con γ : P (X)→ P (X) una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), se dice γ-completamente regular si para cada conjunto γ-cerrado A de X y para cada x0 ∈ A, existe una funci´on/

γ-continua f : X _{→ [0, 1] tal que f(x}0) = 1 y f (A) = {0} (o bien para cada x ∈ A,

f (x) = 0).

Es de notar que cuando γ = int, la noci´on de espacio γ-completamente regular, recupera la noci´on cl´asica de espacio completamente regular.

V´ease, ahora, que la noci´on de espacio γ-completamente regular esta relacio- nada de forma directa con γ-regularidad.

Teorema 3.17. Si X es γ-completamente regular, entonces X es γ-regular.

Prueba: Sean x _{∈ X y A un conjunto γ-cerrado de X tal que x}0 ∈ A. Entonces,/

por hip´otesis, existe una funci´on γ-continua f : X → [0, 1] tal que f(x0) = 1 y

f (A) =_{{0}. Ahora bien, como los conjuntos [0, 1/2) y (1/2, 1] son abiertos en [0, 1]} y f es γ-continua, se tiene que f−1([0, 1/2)) y f−1((1/2, 1]) son γ-abiertos en X. De modo que, al tomar U = f−1_{([0, 1/2)) y V = f}−1_{((1/2, 1]), se obtiene que U∩V = ∅.}

Luego, como A ⊆ f−1_{([0, 1/2)) y x}

0 ∈ f−1((1/2, 1], se sigue que A ⊆ U y x0 ∈ V .

En consecuencia, X es γ-regular. 

Se finaliza esta secci´on relacionando, ahora, la γ-regularidad con la noci´on de espacio γ-completamente regular. Pero, para tal fin se necesita de la siguiente noci´on y resultado, que si bien guardan cierta relaci´on con este trabajo escapan de los objetivos del mismo y adem´as constituyen los principales aportes del Trabajo de Tesis de Maestr´ıa [31] de Yhonnatan Salazar, titulado “Sobre Generalizaciones y Formas D´ebiles de Normalidad mediante Operadores Asociados”.

Definici´on 3.13. Sean (X, τ ) un espacio topol´ogico y γ : P (X)→ P (X) una apli- caci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3). Se dice queX es un espacio γ-normal si para cada par de subconjuntos γ-cerrados y disjuntos A y B de X, exis- ten conjuntosγ-abiertos y disjuntos U y V de X tal que A _{⊆ U y B ⊆ V .}

Teorema 3.18. Sean (X, τ ) un espacio topol´ogico y γ : P (X) _{→ P (X) una apli-} caci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3). Entonces, X es un espacio γ-normal si y s´olo si para cada par de subconjuntos γ-cerrados y disjuntos A, B de X, existe una funci´on γ-continua f : X → [0, 1] tal que f(A) = {0} y f(B) = {1}.

Ahora, se esta en posici´on de obtener la siguiente relaci´on entre espacio γ-regular y γ-completamente regular.

Teorema 3.19. Sea X un espacio γ-normal. Entonces, X es γ-regular s´ı y, s´olo si X es γ-completamente regular.

Prueba:

(1) ⇒ (2) Sea x0 ∈ F y suponga que F es un conjunto γ-cerrado de X. Entonces,/

como X es γ-regular, existen γ-abiertos disjuntos U y V tales que x0 ∈ U y F ⊆ V .

Luego, como x0 ∈ U y U es un conjunto γ-abierto que contiene x0, se obtiene,

haciendo uso nuevamente de la γ-regularidad de X y del Teorema 3.12, que existe un conjunto γ-abierto W de X tal que x0 ∈ W ⊆ clγ(W ) ⊆ U. As´ı, al tomar

H = clγ_{(W ), se obtiene que H es un conjunto γ-cerrado. Entonces, se han encontrado}

dos conjuntos γ-cerrados F y H, tales que F ∩ H ⊆ U ∩ V = ∅. Ahora bien, como X es γ-normal, se sigue, por el Teorema 3.18, que existe una funci´on γ-continua f : X → [0, 1] tal que f(H) = {1} y f(F ) = {0} y como x0 ∈ H, resulta que

f (x0) = 1. En consecuencia, para cada conjunto γ-cerrado F de X y para cada

x0 ∈ F , se ha probado que existe una funci´on γ-continua f : X → [0, 1] tal que/

f (x0) = 1 y f (F ) = {0}. Por lo tanto, se concluye que X es γ-completamente

regular.

(2)⇒ (1) Es consecuencia inmediata del Teorema 3.17.

En este trabajo, tomando como motivaci´on la noci´on de γ-compacidad da- da por A. Cs´asz´ar, a partir de la noci´on de conjunto γ-abierto, dada por el mis- mo, se proporcion´o la noci´on de γ-regularidad, haciendo uso tambi´en de la noci´on de conjunto γ-abierto, y se mostr´o, que de manera similar a la forma en que la γ-compacidad recupera algunas de las formas generalizadas de compacidad, tambi´en la γ-regularidad recupera algunas de las nociones generalizadas de regularidad, ya existentes en la literatura, en particular la semi-regularidad, la strongly- regularidad, la β-regularidad, la b-regularidad y la Bg-regularidad. Se dieron diversas caracteriza- ciones para esta nueva noci´on de regularidad y se mostr´o que las formas existentes de caracterizar, las formas generalizadas de regularidad antes mencionadas, para ciertas aplicaciones γ : P (X)_{→ P (X), se pueden recuperar mediante esta nueva noci´on.}

Tambi´en, en base a la noci´on de conjunto γ-abierto, se proporcionaron las nociones de funci´on γ-continua, funci´on γ-contra-abierta, funci´on γ-contra-cerrada, funci´on γ0-abierta, funci´on γ0-g cerrada y funci´on γ0-contra continua y se mostr´o, a trav´es de ´estas, que existen formas de relacionar la γ-regularidad con la regulari- dad cl´asica. Finalmente, haciendo uso de la definici´on cl´asica de espacio completa- mente regular, se formul´o una noci´on generalizada de esta definici´on, denominada espacio γ-completamente-regular y se mostr´o que al igual que en la topolog´ıa gene- ral los espacios regulares est´an relacionados con los espacios completamente regula- res y viceversa, tambi´en los espacios γ-regulares est´an relacionados con los espacios γ-completamente-regulares y viceversa.

21 (2012), No. 2, 143 - 150 Print Edition: ISSN 1584 - 286X Online Edition: ISSN 1843 - 441X

γ-regularity and γ-normality via extended notions of

γ-open sets due to Cs´asz´ar

C. CARPINTEROa_{, S. HUSSAIN}b_{, E. ROSAS}a_{, Y. SALAZAR}a_{and N. RAM}´I_REZa

ABSTRACT. We extended the notions of γ-open sets given by Cs´asz´ar [6], in order to introduce the notions of γ-regularity and γ-normality. Also we give several characterizations of γ-regularity and γ normality, and show that several forms of regularity and normality studied in previous papers ( [1], [5] and [13]) are particular cases of our results.

1. INTRODUCTION

N. Levine ([11]), introduced the notions of semi open sets as a class that contain the open sets of a space. After Levine work, several mathematicians have been worked the forms of generalized topological concepts and several forms of continuity using the semi open sets. S. Kasahara, ([8]), gave the concept of operator associated with a topology and found new abstract classes of sets and introduced generalized properties of separations, continuity, compactness and other derived topological notions; In this context, recently many topologist have been doing research in generalized topological notions via oper- ators. In this direction, we can find that B. Ahmad and S. Hussain introduce ([1]) the

γs_{-regular spaces and the γ}s_{-normal spaces. Also, Basu et al. introduced and character-}

ize in [5] the γ-β-normal spaces, as a generalization of the β-normal spaces introduced by Thailiani in [13]. In a similar form, ´A. Cs´asz´ar also introduce, for certain classes of applications γ : P (X) → P (X), the notion of γ-open set and γ-compact space ([6 - 7]). In this article, Using the notions of γ-open sets given by Cs´asz´ar, [6], we extend this classes of sets in order to introduce the notions of γ-regularity and γ-normality. Also, we give several characterizations of γ-regularity and γ normality, and showed that many forms of regularity and normality studied recently by [1], [5] and [13] are particular cases of this notions.

2. PRELIMINARIES

An application γ : P (X) → P (X) is said to be an operator associated with the topology

τ on a set X ([8],[12]), if U ⊆ γ(U) for all U ∈ τ. For an operator γ associated with a

topology τ, H. Ogata ([12]) defined the notion of γ-open set as follows. A ⊆ X is γ-open

if for each x ∈ A there exists an open set Uxsuch that x ∈ Ux⊆ γ(Ux)⊆ A. The collection

of all γ-open sets in X is denoted by τγ. Observe that τγ ⊆ τ and τγ is not necessarily

a topology on X, In the case when the operator γ is regular ([12]), τγ is a topology or if

(X, τ )is a γ-regular space, then τ = τγ([12]).

Received: 14.09.2011. In revised form: 06.07.2012. Accepted: 31.07.2012

2010 Mathematics Subject Classification. Primary 54A05, 54A20. Secondary 54C08, 54D10. Key words and phrases. γ-open set, γ-regular space, γ-normal space.

Corresponding author: S. Hussain; [email protected]

A. Cs´asz´ar, in ([6 - 7]) consider applications γ : P (X) → P (X) that satisfies the following conditions:

A⊆ B ⇒ γ(A) ⊆ γ(B) (2.1)

γ(∅) = ∅ , γ(X) = X (2.2)

U∩ γ(A) ⊆ γ(U ∩ A) (2.3)

for any A, B ⊆ X and U ∈ τ, and introduce the notion of γ-open set for this class of applications as follows. A ⊆ X is said to be γ-open, if A ⊆ γ(A). Observe that all application γ that satisfies the above three conditions, is an operator associated with τ. Because, for all open set U,

U = U∩ X = U ∩ γ(X) ⊆ γ(U ∩ X) = γ(U).

Follows that every open set is a γ-open in the sense of Cs´asz´ar, in consequence, every γ-open set in the sense of Ogata, is γ-open in the sense of Cs´asz´ar. H. Ogata ([12]) defined

the notion of τγ-interior of A ⊆ X, denoted by τγ-int(A), as the union of all γ-open subsets

of X contained in A. In a similar form, defined the τγ-closure of A, denoted by τγ-cl(A),

as the intersection of all γ-closed subsets of X containing A. Since the γ-closed sets are the complement of the γ-open sets. Using this notions, Basu et al ([5]) introduce the γ-β-

open sets, as follows. A ⊆ X is γ-β-open if A ⊆ τγ-cl(τγ-int(τγ-cl(A)). The γ-β-closed

sets are the complement of the γ-β-open. Also Basu et al ([5]) defined the γ-β-interior of

A ⊆ X, denoted by γ-βint(A), as the union of all γ-β-open subsets of X contained in A

([5, Definition 3.7]). In a similar form the γ-β-closure of A, denoted by γ-βcl(A), as the intersection of all γ-β-closed subsets of X containing A ([5, Definition 3.8]). The basic properties of the γ-β-interior and the γ-β-closure, are given in ([5, Theorem 3.10]). Basu et al ([5]), also introduced and studied the properties of the γ-β-generalized closed sets or γ-βg closed.

3. γ-OPEN SETS AND ASSOCIATED NOTIONS

Cs´asz´ar ([6 - 7]) introduced the concept of γ-open set considering applications

γ : P (X) → P (X) that satisfies the conditions (2.1), (2.2) and (2.3). Observe that such

applications are monotone operators associated but are less than the closure operator in the sense that γ(A) ⊆ cl(A), for all A ⊆ X. That is,

(X− cl(A)) ∩ γ(A) ⊆ γ((X − cl(A)) ∩ A) = γ(∅) = ∅

The following definition is an extension of the definition given by Cs´asz´ar ([6 - 7]) of γ-open sets.

Definition 3.1. Let (X, τ) be a topological space and γ : P (X) → P (X) be an operator