Los espacios L p de medida finita y las funciones de distribuci´on

Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Se dice que X es de medida finita si

µ(X) < ∞ y σ-finito si existe (Xn)n≥1 tal que X = ∪nXn y µ(Xn) < ∞

para todo n ≥ 1 [Ce, p.52]. Un ejemplo de espacio de medida finita es [−π, π] y de medida σ-finita R, ambos con la medida de Lebesgue.

Proposici´on 2.12 Sean (X, A, µ) un espacio de medida finita y 1 ≤ p ≤ q ≤

∞. Entonces

L∞(X) ,→ Lq(X) ,→ Lp(X) ,→ L1(X).

Demostraci´on. La primera inclusi´on L∞_{(X) ⊂ L}q_{(X) es directa ya que si}

f ∈ L∞_{(X) entonces |f (x)| ≤ kf k} ∞µ-a.e., y Z X |f (x)|q_{dµ(x) ≤ kf k}q ∞ Z X dµ(x) = kf kq ∞µ(X), es decir, kf kq ≤ µ(X) 1 qkf k_∞ y f ∈ Lq(X).

46 Los espacios L

Si f ∈ Lq_{(X) con q < ∞ y 1 ≤ p < q entonces, aplicando H¨older con el}

par (_pq,_q−pq ), se tiene que Z X |f (x)|pdµ(x) ≤ µZ X |f (x)|qdµ(x) ¶p q µZ X 1dµ(x) ¶q−p q ≤ kf kpqµ(X) q−p q . Por tanto kf kp≤ µ(X) 1 p−1qkf k_q y f ∈ Lp(X). ut

Nota. En la proposici´on anterior hemos probado que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces

kf kp≤ µ(X)

1

p−1qkf k_q.

entendiendo por 1

∞ = 0. En general la Proposici´on 2.12 es falsa si µ(X) = ∞,

como se muestra en el siguiente ejemplo (2).

Ejemplos. (1) Sea X = (0, 1) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = _x1s

con s > 0. Se cumple que fs ∈ Lp((0, 1)) si y s´olo si 1_p > s. Este ejemplo

muestra que los contenidos de la Proposici´on 2.12 son estrictos.

(2) Sea X = (1, ∞) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = _x1s con s > 0.

Se cumple que fs∈ Lp((1, ∞)) si y s´olo si 1_p < s. Si p < q basta tomar s con

1

p > s >

1

q

para que fs∈ Lq((1, ∞) y fs6∈ Lp((1, ∞).

Sin embargo se cumple el siguiente resultado. Proposici´on 2.13 Si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces

`1<sub>,→ `</sub>p_{,→ `</sub>q <sub>,→ `}∞_.

Demostraci´on. Sea x ≡ (xn) ∈ `p con 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces se cumple que

|xn| ≤ kxkp, para todo n ≥ 1.

Por tanto si q ≥ p, se tiene que

kxkq q= X n≥1 |xn|q = X n≥1 |xn|p|xn|q−p≤ kxkq−pp X n≥1 |xn|p= kxkqp y por tanto kxkq ≤ kxkp. ut

Para terminar esta secci´on introducimos las funciones de distribuci´on de funciones medibles. Sean (X, A, µ) un espacio de medida y f : X → C una funci´on medible. Entonces el conjunto

{x ∈ X ; |f (x)| > t} ∈ A,

Los espacios Lp _{de medida finita y las funciones de distribuci´on 47} Definici´on 2.14 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y f : X → C una funci´on medible. Se llama funci´on de distribuci´on de f , λf : [0, ∞) → [0, ∞)

a la funci´on definida mediante

λf(t) = µ({x ∈ X ; |f (x)| > t}), t ∈ [0, ∞).

Nota. La funci´on de distribuci´on es una funci´on real de variable real para toda funci´on medible.

Para funciones que pertenecen a Lp_{(X) se cumplen las siguientes propie-}

dades.

Teorema 2.15 Sea (X, A, µ) un espacio de medida σ-finito. Sean 1 ≤ p < ∞,

f : X → C medible con f ∈ Lp_{(X) y λ}

f su funci´on de distribuci´on. Se cumple

que (i) λf(t) ≤ 1 tpkf k p p para todo t > 0; (ii) lim t→∞t p_λ f(t) = 0; (iii)kf kpp= Z _∞ 0 ptp−1λf(t)dt.

Demostraci´on. Para probar (i) consideramos el conjunto Et_{= {x ∈ X ; |f (x)| > t},}

para t ≥ 0. Se tiene que

λf(t) = µ(Et) = Z Et dµ(x) = Z {x∈X ; |f (x)|>t} dµ(x) = Z {x∈X ; 1<|f (x)| t } dµ(x) ≤ Z X |f (x)|p tp dµ(x) = kf kp p tp ,

para todo t ≥ 0. Por otra parte se cumple que

tp_χ

Et(x) ≤ |f (x)|pχ_Et(x), x ∈ X,

y por tanto se obtiene que

tpλf(t) = Z X χEt(x)tpdµ(x) ≤ Z X |f (x)|pχEt(x)dµ(x).

Fijado x ∈ X, se tiene que

|f (x)|pχEt(x) = |f (x)|pχ_{{(x,t) ; |f (x)|>t}}(x, t) → 0

si t → ∞. Como |f (x)|p_χ

Et(x) ≤ |f (x)|p, por el teorema de la convergencia

48 Los espacios L lim t→∞ Z X |f (x)|pχEt(x)dµ(x) = 0,

y por lo tanto limttpλf(t) = 0, es decir la parte (ii).

Por ´ultimo para probar (iii), sea E el conjunto definido por

E := {(x, t) ∈ X × [0, ∞) ; |f (x)| > t}.

El conjunto E es A ⊗ B([0, ∞))-medible, y la funci´on t → µ(Et_{) = λ} f(t) es

medible. Por el teorema de Fubini y por la igualdad χE(x, t) = χ[0,|f (x)|)(t)

se tiene que Z [0,∞) p tp−1_λ f(t)dt = Z [0,∞) ptp−1 Z X χE(x, t)dµ(x)dt = Z X Z [0,∞) ptp−1_χ [0,|f (x)|)(x, t)dtdµ(x) = Z X |f (x)|p_{dµ(x) = kf k}p p,

con lo que se concluye la prueba. ut

2.4 Densidad en L

p

En esta secci´on demostramos los dos resultados siguientes. Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Las siguientes afirmaciones se cumplen.

(i) El conjunto de las funciones simples que pertenecen a Lp_{(X) es denso en}

Lp_{(X) con 1 ≤ p ≤ ∞, (Teorema 2.16 y Teorema 2.17).}

(ii) El conjunto de las funciones continuas de soporte compacto es denso en

Lp_{(X) con 1 ≤ p < ∞, (Teorema 2.19).}

Recordemos que una funci´on simple, s : X → C, es una combinaci´on lineal de funciones caracter´ısticas de conjuntos medibles, ([Ce, p. 50]). Toda funci´on simple s se puede escribir de la forma

s =

n

X

j=1

αjχEj,

donde Ej∩ Ek= ∅ si j 6= k, αj 6= 0, Ej ∈ A, para todo 1 ≤ j ≤ n. Debido a

la anterior igualdad es f´acil probar que

|s|p=

n

X

j=1

|αj|pχEj,

y por tanto s ∈ Lp_{(X) con 1 ≤ p < ∞ si y s´olo si µ(E}

j) < ∞ para todo

1 ≤ j ≤ ∞, esto es, la funci´on s es integrable, s ∈ L1_{(X). Por otra parte toda}

Densidad en Lp ₄₉ Teorema 2.16 El conjunto de las funciones simples y medibles es denso en

L∞_(X).

Demostraci´on. Sea f ∈ L∞_{(X). Tenemos que probar que existe (s}

n)n una

sucesi´on de funciones simples y medibles tal que kf − snk∞→ 0 si n → ∞.

Para toda funci´on positiva y medible, f : X → [0, ∞], existe una sucesi´on de funciones simples y medibles (sn)n≥1tal que

(i) 0 ≤ s1≤ s2≤ . . . sn≤ . . . ≤ f ;

(ii) se cumple que f (x) = limnsn(x) para todo x ∈ X;

(iii) el l´ımite anterior es uniforme en {x ∈ X ; f (x) 6= ∞}. V´ease por ejemplo [Ce, Teorema II.2.1].

En el caso en que f ∈ L∞_{(X) y f ≥ 0 la sucesi´on (s}

n)ndada en el resultado

anterior cumple que kf − snk∞ → 0. Si f ∈ L∞(X) y f : X → C, entonces

f se puede escribir de la forma f = f1− f2+ i(f3− f4) con fj : X → [0, ∞),

fj ∈ L∞(X), 1 ≤ j ≤ 4. Aplicando el caso anterior, existen cuatro sucesiones

de funciones simples (s(j)n )n, 1 ≤ j ≤ 4, tales que

kf −

³

s(1)n − s(2)n − i(s(3)n − s(4)n )

´

k∞→ 0

si n → ∞, terminando as´ı la demostraci´on. ut

Usando ideas similares se demuestra el siguiente resultado

Teorema 2.17 El conjunto de las funciones simples, medibles e integrables

es denso en Lp_{(X) con 1 ≤ p < ∞.}

Demostraci´on. Sea f ∈ Lp_{(X) con 1 ≤ p < ∞ y f ≥ 0. Por la demostraci´on del}

Teorema 2.16, existe una sucesi´on de funciones simples (sn)n((sn)n⊂ Lp(X)

con 1 ≤ p) tal que sn(x) ≤ f (x) para todo n ≥ 1 y

lim

n sn(x) = f (x),

para todo x ∈ X. Como |f (x) − sn(x)|p ≤ 2|f (x)|p, por el teorema de la

convergencia dominada se tiene que

kf − snkpp≤

Z

X

|f (x) − sn(x)|pdµ(x) → 0,

si n → ∞. En el caso f : X → C procedemos de igual forma que en la demostraci´on del Teorema 2.16. ut

Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico de Hausdorff y localmente compacto, (v´ease definiciones en la secci´on 1.1). Denotamos por B(X) a la σ-´algebra engendrada por los abiertos de X y los elementos de B(X) se llaman borelianos de X ([Ce, p.49]). Una medida µ : B(X) → [0, ∞] se dice regular si

50 Los espacios L

(ii) para todo E ∈ B(X) con µ(E) < ∞ y ε > 0, existe V un abierto y K un compacto tales que K ⊂ E ⊂ V , y µ(V \K) < ε.

Si f : X → C es una funci´on definida en el espacio topol´ogico X, se llama

soporte de f , sop(f), al conjunto definido mediante

sop(f ) := {x ∈ X ; f (x) 6= 0}. Por el ´ultimo se denota por Cc(X) el conjunto

Cc(X) := {f : X → C ; f continua y de soporte compacto}.

El siguiente resultado topol´ogico se enuncia sin demostraci´on, v´ease [R2, Teorema 2.12].

Lema 2.18 (Lema de Urysohn) Sean (X, τ ) un espacio de Hausdorff topol´ogico

localmente compacto, V un abierto y K un compacto con K ⊂ V . Entonces existe f ∈ Cc(X) tal que

χK≤ f ≤ χV.

Teorema 2.19 Sean X un espacio topol´ogico de Hausdorff localmente com-

pacto y (X, B(X), µ) un espacio de medida con µ una medida regular. Entonces se cumple que Cc(X) es denso en Lp(X) si 1 ≤ p < ∞.

Demostraci´on. Supongamos primero que f = χE ∈ Lp(X) con 1 ≤ p < ∞ y

E ∈ B(X). Sea ε > 0. Como µ(E) < ∞ y µ es regular existen un K compacto

y un V abierto tales que K ⊂ E ⊂ V y

µ(V \K) <³ ε

2 ´p

.

Por el lema de Urysohn, existe φ ∈ Cc(X) tal que χK ≤ φ ≤ χV. Por tanto

kf − φkp≤ kf − χKkp+ kχK− φkp= ÃZ E\K dµ !1 p + ÃZ V \K |φ|p_dµ !1 p ≤ µ(E\K)1p+ µ(V \K)1p ≤ 2µ(V \K)1p < ε.

Sea ahora f una funci´on simple e integrable,

f =

n

X

i=1

αiχEi

con Ei∈ B(X), µ(Ei) < ∞, 0 6= αi ∈ C para 1 ≤ i ≤ n. Tomemos ε > 0. Por

el p´arrafo anterior para cada i = 1, . . . n, existen φi ∈ Cc(X) tales que

kχEi− φikp<

ε n|αi|.

Densidad en Lp ₅₁ kf − φkp= k n X i=1 αi(χEi− φi)kp≤ n X i=1 |αi|kχEi− φikp< ε.

Por ´ultimo sea f ∈ Lp_{(X) y ε > 0. Por el Teorema 2.17 existe s, funci´on}

simple e integrable, tal que

kf − skp< ε

2.

Por el p´arrafo anterior, existe φ ∈ Cc(X) tal que ks − φkp < ε₂. Por la desi-

gualdad triangular se tiene que kf − φkp< ε. ut

Para terminar esta secci´on, nos interesamos sobre la clausura de Cc(X) en

L∞_{(X), donde X es un espacio topol´ogico de Hausdorff localmente compacto.}

Recordemos que un espacio topol´ogico de Hausdorff localmente compacto ad- mite una compactificaci´on al a˜nadir un punto (que a menudo se denota ∞) denominada compactificaci´on de Alexandroff, [ADQ, Corolario 13.10]. Se de- fine el espacio vectorial C0(X) mediante

C0(X) := {f ∈ C(X); ∀ε > 0 ∃ K ⊂ X compacto tal que |f (x)| < ε si x 6∈ K}.

A menudo la condici´on de la definici´on se escribe como limx→∞f (x) = 0. Es

claro que C0(X) ⊂ L∞(X) y adem´as

kf k∞= max

x∈X|f (x)|, f ∈ C0(X).

Teorema 2.20 El espacio (C0(X), k · k∞) es un espacio de Banach.

Demostraci´on. Ya hemos comentado que C0(X) es un subespacio vectorial de

L∞_{(X) y por tanto es un espacio normado. Basta ver que es completo.}

Sea (fn)n ⊂ C0(X) una sucesi´on de Cauchy. Entonces (fn)n es uniforme-

mente de Cauchy en X y, por ser C completo, la sucesi´on es uniformemente convergente a f ∈ C(X). Falta comprobar que f ∈ C0(X). Sea ε > 0. Como

fn → f uniformemente en X, existe n ∈ N tal que

|fn(x) − f (x)| < ε

2, para todo x ∈ X.

Fijado n, existe K ⊂ X tal que |fn(x)| < ε₂ para todo x 6∈ K. Por lo tanto

|f (x)| < ε para todo x 6∈ K. ut

Nota. Al ser L∞_{(X) un espacio de Banach, C}

0(X) ⊂ L∞(X) y por el Teorema

2.20 el espacio C0(X) es completo entonces C0(X) es cerrado.

Teorema 2.21 La clausura de Cc(X) en k · k∞ es igual a C0(X).

Demostraci´on. Es claro que Cc(X)

k·k∞

52 Los espacios L

Sean ahora f ∈ C0(X) y ε > 0. Entonces existe K ⊂ X compacto tal que

|f (x)| < ε si x 6∈ K. Por el lema de Urysohn existe φ ∈ Cc(X) tal que

χK ≤ φ ≤ χV con V un abierto cualquiera tal que K ⊂ V . Definimos h := φf ,

h ∈ Cc(X) y cumple

|f (x) − h(x)| = |f (x) − f (x)φ(x)| = |f (x)||1 − φ(x)| =

½

0 si x ∈ K,

ε si x 6∈ K.

Por tanto kf − hk∞< ε. N´otese adem´as que sop(h) ⊂ sop(φ). ut

In document Pedro J. Miana. Curso de. Análisis Funcional. Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza (página 41-48)