Todos los seres humanos tenemos caracter´ısticas num´ericas que nos identifican y nos distinguen de otras personas, por ejemplo, la edad, estatura, talla, peso, etc. Si pudi´eramos considerar la totalidad de todos estos n´umeros para una persona en particular, la identificar´ıamos de manera ´unica. Algo similar sucede con las variables aleatorias. En esta secci´on estudiaremos algunas caracter´ısticas num´ericas asociadas a las variables aleatorias.
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1.7. Esperanza, varianza, momentosEsperanza.La esperanza de una variable aleatoriaX es un n´umero denotado por
E(X) y que se calcula como sigue: SiX es discreta, entonces E(X) =X
x
xP(X=x),
en donde la suma se efect´ua sobre todos los posibles valores que pueda tomar la variable aleatoria, y se define cuando esta suma sea absolutamente convergente. El n´umero de sumandos puede ser finito o infinito dependiendo del conjunto de valores de la variable aleatoria. Si X es continua con funci´on de densidadf(x), entonces la esperanza es
E(X) =
Z ∞ −∞
xf(x)dx,
suponiendo que esta integral es absolutamente convergente. Si la suma o integral anteriores no cumplen esta condici´on de convergencia absoluta, entonces se dice que la esperanza no existe. La esperanza de una variable aleatoria es entonces un n´umero que indica el promedio ponderado de los diferentes valores que puede tomar la variable. A la esperanza se le conoce tambi´en con los nombre de: media,
valor esperado o valor promedio. En general se usa la letra griega µ (mu) para denotarla. La integral o suma arriba mencionados pueden no ser convergentes y en ese caso se dice que la variable aleatoria no tiene esperanza finita. La situaci´on anterior se ilustra en los ejercicios 126 y 127. La esperanza es uno de los conceptos m´as importantes en probabilidad y tiene un amplio uso en las aplicaciones y otras ramas de la ciencia. Ilustraremos a continuaci´on la forma de calcular la esperanza. Ejemplo. SeaX una variable aleatoria discreta con funci´on de densidad dada por la siguiente tabla. x -1 0 1 2 f(x) 1/8 4/8 1/8 2/8 La esperanza deX es el n´umero E(X) = X x x f(x) = −1×1/8 + 0×4/8 + 1×1/8 + 2×2/8 = 1/2.
Observe que la suma su efect´ua para todos los valores dexindicados en la tabla, es decir:−1,0,1 y 2. Tambi´en es instructivo observar que la esperanza no es nece- sariamente uno de los valores tomados por la variable aleatoria. En este ejemplo el
valor 1/2 nunca es tomado por la variable aleatoria, pero es su valor esperado.
Ejemplo. Considere la variable aleatoria continuaXcon funci´on de densidadf(x) = 2x, parax∈(0,1), siendo cero fuera de este intervalo. La esperanza de X es
E(X) = Z ∞ −∞ x f(x)dx= Z 1 0 x2x dx= 2 3x 3 1 0 = 2 3.
Observe que la integral s´olo es relevante en el intervalo (0,1), pues fuera de dicho
intervalo la funci´on de densidad se anula.
Ejercicio. Considere una variable aleatoria continua X con funci´on de densidad
f(x) =|x|, para−1< x <1. Compruebe que la esperanza de esta variable aleato-
ria es cero.
Ejercicio. SeaX una variable aleatoria discreta con posibles valores en el conjunto
{1,2, . . . , n}, y tal que la probabilidad de que tome cualquiera de estos valores es 1/n. Compruebe que la esperanza deX es (n+ 1)/2.
Esperanza de una funci´on de una variable aleatoria.En algunos casos es necesario saber calcular la esperanza de una funci´on de una variable aleatoria. Por ejemplo, siXes una variable aleatoria, entonces es claro queY =X2es una funci´on deX y es tambi´en una variable aleatoria. Si quisi´eramos calcular la esperanza de
Y seg´un la definici´on tendr´ıamos que calcularR y fY(y)dy, para lo cual se necesita encontrar primero la funci´on de densidad de Y, y ello en general no es f´acil. El siguiente resultado es muy ´util y nos dice c´omo calcular esta esperanza conociendo ´
unicamente la funci´on de densidad deX. A veces se le refiere como elteorema del estad´ıstico inconsciente.
Proposici´on. SeaXuna variable aleatoria continua y seag:R→Runa funci´on tal queg(X) es una variable con esperanza finita. Entonces
E[g(X)] =
Z ∞ −∞
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1.7. Esperanza, varianza, momentosEn general, la demostraci´on de este resultado es complicada, asi es que la omitire- mos y nos concentraremos en su uso y aplicaci´on. El resultado esta enunciado en el caso continuo pero tambi´en es v´alido en el caso discreto, en lugar de la integral aparece una suma.
Ejemplo. Calcularemos E(Y) en donde Y = X2, y X es la variable aleatoria continua del ejemplo anterior, es decir, con funci´on de densidad f(x) = 2x pa- ra x∈(0,1). Por la proposici´on anterior tenemos que
E(Y) = E(X2) = Z ∞ −∞ x2f(x)dx = Z 1 0 x22x dx = 1 2x 4 1 0 = 1 2.
Ahora, como un ejercicio, encuentre la funci´on de densidad de Y y calculeE(Y) usando la definici´on de esperanza. El resultado debe ser nuevamente 1/2.
Ejercicio. Sea X una variable aleatoria con funci´on de probabilidad dada por la tabla que aparece abajo. Encuentre la funci´on de probabilidad de X2 y mediante la definici´on calculeE(X2). Ahora calcule la misma esperanza pero usando (1.3). Ambos resultados deben coincidir.
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2/8 1/8 2/8 1/8 2/8
Proposici´on. SeanX yY con esperanza finita y seacuna constante. Entonces a) E(c) =c.
b) E(c X) =c E(X).
c) SiX ≥0, entoncesE(X)≥0. d) E(X+Y) =E(X) +E(Y).
La primera propiedad es evidente de demostrar pues siX es la variable aleatoria constante c, entonces por definici´on, E(X) = c P(X = c) = c1 =c. El segundo inciso se sigue directamente de la definici´on de esperanza pues tanto en el caso de la suma como en el caso de la integral, la constantec puede siempre colocarse fuera. El tercer inciso tambi´en es evidente pues cuando se cumple la hip´otesis, en la integral o suma correspondiente solo aparecer´an t´erminos que son no negativos. La ´
ultima propiedad, en cambio, no es sencilla de demostrar y a´un en el caso discreto requiere de detalles t´ecnicos que preferimos omitir. Observe que la segunda y cuarta propiedad establecen que la esperanza eslineal, es decir, separa sumas y tambi´en separa multiplicaciones por constantes.
Varianza. Vamos ahora a definir otra caracter´ıstica num´erica asociada a las va- riables aleatorias llamadavarianza. Se denota por Var(X) y se define como sigue.
Var(X) = X x (x−E(X))2f(x) siX es discreta. Z ∞ −∞ (x−E(X))2f(x)dx siX es continua.
Observe que en una sola expresi´on la varianza se puede escribir como sigue: Var(X) =
E(X−E(X))2. La varianza es una medida del grado de dispersi´on de los dife- rentes valores tomados por la variable. Se le denota regularmente por la letra σ2 (sigma cuadrada). A la ra´ız cuadrada positiva de la varianza, esto esσ, se le llama
desviaci´on est´andar. Nuevamente la anterior suma o integral puede no existir y en ese caso decimos que la variable aleatoria no tiene varianza finita. Observemos que para calcular Var(X) necesitamos conocer primeroE(X). Veamos algunos ejemplos sencillos.
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1.7. Esperanza, varianza, momentosde densidad dada por la siguiente tabla.
x -1 0 1 2
f(x) 1/8 4/8 1/8 2/8
Recordemos primeramente que por c´alculos previos, E(X) = 1/2. Aplicando la definici´on de varianza tenemos que
Var(X) = X x (x−E(X))2f(x) = (−1−1/2)2×1/8 + (0−1/2)2×4/8 +(1−1/2)2×1/8 + (2−1/2)2×2/8 = 1.
Ejemplo. Calcularemos la varianza de la variable aleatoria continuaX con funci´on de densidad f(x) = 2xparax∈(0,1). En un c´alculo previo hab´ıamos encontrado queE(X) = 2/3. Por lo tanto,
Var(X) = Z ∞ −∞ (x−E(X))2f(x)dx = Z 1 0 (x−2/3)22x dx = Z 1 0 (2x3−8x2/3 + 8x/9)dx = (x4/2−8x3/9 + 4x2/9)1 0 = 1/18.
Proposici´on. Sean X yY dos variables aleatorias, y seac una constante. En- tonces a) Var(X)≥0. b) Var(c) = 0. c) Var(c X) =c2Var(X). d) Var(X+c) = Var(X). e) Var(X) =E(X2)−E2(X).
f) En general, Var(X+Y)6= Var(X) + Var(Y).
Demostraci´on. El inciso (a) es evidente a partir de la definici´on de varianza pues en ella aparece una suma o integral de t´erminos no negativos. Para el inciso (b) la constantec es una v.a. con un ´unico valor, de modo que E(c) = c y entonces Var(X) =E(c−c)2= 0. Para el inciso (c) tenemos que
Var(cX) = E[cX−E(cX)]2 = E[cX−cE(X)]2 = c2E[X−E(X)]2 = c2Var(X). El inciso (d) se sigue del siguiente an´alisis:
Var(X+c) = E[(X+c)−E(X+c)]2 = E[X−E(X)]2
= Var(X).
Para demostrar la propiedad (e) se desarrolla el cuadrado en la definici´on de va- rianza, y se usa la propiedad de linealidad de la esperanza:
Var(X) = E[X−E(X)]2
= E[X2−2XE(X) +E2(X)] = E(X2)
−2E(X)E(X) +E2(X)