Estrategia para la solución de un problema de

La mayoría de los problemas reales tienen muchas soluciones y en algunos casos puede que sea un número infinito de soluciones. El propósito de la optimización es encontrar la mejor de estas basándose en algún criterio de efectividad o comportamiento. Un problema que solo admite una solución no necesita ser optimizado. La optimización puede llevarse a cabo siguiendo diferentes estrategias que abarcan desde procedimientos analíticos o numéricos avanzados hasta la aplicación inteligente de principios aritméticos simples. Si se asume que el problema esta definido de cierta forma la optimización puede llevarse a cabo de diferentes maneras, mediante:

 Métodos analíticos que utilizan técnicas del cálculo diferencial y del cálculo de variaciones, los cuales buscan un valor extremo de una función f(x) al hallar los valores de x que hacen que las derivadas de f(x) con respecto a x sean cero. En presencia de restricciones se usan los métodos

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de Lagrange y de las variaciones restringidas. Para la aplicación de los métodos analíticos el problema debe ser formulado en términos matemáticos. Estos métodos, en general, no son satisfactorios en los casos de problemas que presentan una gran no linealidad.

 Métodos numéricos que utilizan información determinada anteriormente de forma iterativa para generar una mejor solución. Pueden usarse para resolver los problemas que no pueden ser resueltos de forma analítica, lo cual es bastante común en la práctica real.

 Métodos gráficos que, mediante la elaboración de gráficas de la función, permiten determinar directamente el valor extremo por simple inspección.

Tienen la ventaja de ser elementales y que muestran el carácter del comportamiento de la función. Por razones obvias están limitados a problemas con una o dos variables.

 Métodos experimentales que se utilizan sin la necesidad de tener un modelo matemático, mediante la obtención de valores del criterio de efectividad a partir de la experimentación con el proceso real. A partir de un conjunto de experimentos es posible definir hacia donde se encuentra el valor extremo y proseguir la experimentación de manera tal que se mejoren los resultados.

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 Casos de estudio, lo que consiste en la elaboración de varias alternativas de solución del problema y dentro de ellas obtener la mejor. No hay garantía, por lo tanto, de que se llegue a una solución óptima. Esto es solo recomendable cuando la complejidad del problema sea muy alta, la disponibilidad de medios de cómputo sea baja o nula y se requiera tomar una decisión rápida.

Para la solución de una tarea de optimización no existe una estrategia universal que pueda ser aplicada a todo tipo de problemas. La que se propone a continuación parece ser la más acertada y consta de los siguientes pasos:

1. Analizar el proceso de manera tal que se puedan definir las variables del mismo y que características del proceso son de interés desde el punto de vista técnico-económico.

En este sentido se deben seguir los pasos siguientes:

 Examine las restricciones externas, tales como: el nivel de automatización existente o requerido por el proceso, el carácter del mercado para los productos (local, nacional o internacional), la disponibilidad y calidad de las materias primas y otros recursos, las condiciones geográficas y otros aspectos que sean independientes de la tecnología que se determine utilizar.

 Escoja el sistema o subsistema a optimizar, o sea, determine el esquema tecnológico y realice un análisis de las alternativas posibles.

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 Examine la estructura del sistema (interrelación entre sus elementos y corrientes). Con ella es posible definir las variables más importantes del sistema y las relaciones entre estas, las cuales tienen su origen en límites físicos (valores inferiores y superiores permisibles), balances de masa y energía y relaciones tecnológicas. Estas relaciones se conocen como restricciones internas.

2. Definir el criterio de optimización a utilizar y expresarlo como una función matemática de las variables del proceso.

Por ejemplo: MAX (Producción) o MIN (Costo)

Esta se conoce como la función objetivo del problema. En este paso se debe, además, desarrollar un modelo matemático que relacione las variables de entrada/salida, incluyendo todas las restricciones, las cuales pueden ser de dos tipos, de acuerdo con su representación matemática.

Restricciones de igualdad gj = gj(x1, x2, …, xn) = 0 Restricciones de desigualdad gj = gj(x1, x2, …, xn) < 0 Utilice el conocimiento del proceso y los principios físicos (balances de materiales y energía), relaciones empíricas, conceptos tecnológicos implícitos y restricciones que sean imprescindibles.

Existen en general, tres tipos de modelos de acuerdo con las fuentes de información a partir de las cuales se desarrollan:

 Modelos determinísticos o fenomenológicos (se desarrollan a partir de leyes físicas).

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 Modelos estocásticos o estadísticos (parten del diseño y correlación de datos experimentales).

 Modelos mixtos (combinación de los dos anteriores).

Siempre es conveniente simular el sistema, o sea obtener resultados del modelo y validarlo con datos reales del proceso. Esto puede realizarse mediante lenguajes de simulación de propósito general o especifico, ya sean profesionales o desarrollados por el equipo encargado de la tarea.

Si la formulación del problema es muy grande, es posible en algunos casos:

 Simplificar el modelo cuidando de no desvirtuar los resultados que de él se obtienen.

 Fraccionarlo en partes más pequeñas.

3. Determinar la solución óptima del problema mediante la aplicación de un método de optimización adecuado, de acuerdo con las características de este y analizar la racionalidad de la respuesta obtenida. Si los resultados no son satisfactorios se deberá revisar el planteamiento del problema, incluyendo variables y/o restricciones no consideradas anteriormente.

4. De ser satisfactorios los resultados, entonces examine la sensibilidad de estos. Esto permite conocer como se verán afectados los resultados ante cambios de la función objetivo o de las restricciones.

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Figura 1.1 Estrategia de solución de un problema de optimización.