1.5
Estructura del texto
La divisi´on del texto en cap´ıtulos y anexos es como sigue.
El Cap´ıtulo 2 “Nociones de Teor´ıa de Grafos” se ha incorporado con la intenci´on de situar al lector en el contexto del trabajo. En ´el se expone un material b´asico pero seleccionado sobre Teor´ıa de Grafos con el ´animo de facilitar una lectura del resto sin interrupciones. No se ha querido hacer un tratado exhaustivo dado que ocupar´ıa demasiadas p´aginas, pero otra raz´on de m´as peso para no hacerlo es que estar´ıa fuera de lugar. Es evidente que si se tiene un buen dominio sobre el tema este cap´ıtulo puede ser ignorado pero se aconseja no hacerlo dado que est´a enfocado para una r´apida asimilaci´on posterior del resto de la tesis.
El Cap´ıtulo 3 “Estado del arte del emparejamiento de grafos” complementa al anterior cap´ıtulo. Lo ideal hubiera sido elaborar un texto exhaustivo sobre los m´etodos y t´ecnicas que abordan el emparejamiento (exacto e inexacto) de grafos pero despu´es de cuatro d´ecadas de investigaci´on sobre el tema el material que existe es enorme. Por lo tanto, se ha optado por seleccionar las aportaciones producidas de forma muy compartimentada y destacando aquellas que han generado un gran impacto.
El Cap´ıtulo 4 “Aspectos de inter´es de Teor´ıa de Circuitos” es de obligada incorporaci´on ya que toda la teor´ıa que sustenta el modelo es la Teor´ıa de Circuitos. El cap´ıtulo se ha elaborado de forma que s´olo se abordan aquellos aspectos que son necesarios para la comprensi´on del funcionamiento del CEM, as´ı como la aplicaci´on del SM, gracias a ello no ser´a necesario discutir estos aspectos cuando sea presentado el CEM y el SM. Ni que decir tiene que el lector con conocimientos en la materia puede ignorar este cap´ıtulo, pero se recomienda no hacerlo ya que de esta manera no ser´a necesario volver atr´as cuando se presente el n´ucleo de la tesis.
En el Cap´ıtulo 5 “Modelo El´ectrico de Conductancias de un grafo” reside parte del n´ucleo de la tesis. En ´el se presenta a fondo el CEM.
En el Cap´ıtulo 6 “Aplicaci´on del CEM al isomorfismo de grafos: M´etodo de la Estrella” reside la otra parte del n´ucleo de la tesis. En ´el se presenta a fondo el SM.
En el Cap´ıtulo 7 “Caracter´ısticas del SM” se realiza exclusivamente una discusi´on y an´alisis en profundidad de dos caracter´ısticas del CEM y del SM: los falsos positivos y la complejidad compu- tacional.
En el Cap´ıtulo 8 “Resultados experimentales” se dan los resultados experimentales de la aplicaci´on pr´actica del SM sobre diversas bases de datos de grafos.
Por ´ultimo, en el Cap´ıtulo 9 “Conclusiones y futuros trabajos” se sintetizan unas conclusiones junto con recomendaciones para futuros trabajos.
Los anexos aparecen exclusivamente en el mismo orden en que son referidos a lo largo del texto y tratan de los siguientes asuntos.
En el Anexo A “Grafos ponderados y no ponderados” se deja bien claro que los grafos ponderados y no ponderados son objetos diferentes. Los algoritmos aqu´ı presentados no distinguen un tipo del otro y ello puede producir confusi´on.
En el Anexo B “Estrella y matriz de adyacencia” se realiza un estudio de la relaci´on entre el iso- morfismo de estrellas y sus respectivas matrices de adyacencia.
En el Anexo C “Forma compacta de la pseudoinversa deK” se demuestra una f´ormula que evita el c´alculo de una pseudoinversa cuando se presentan unas caracter´ısticas muy determinadas. En el Anexo D “Compatibilidad del CEM y del SM con el isomorfismo” se demuestra que, al apli- car el CEM y el SM, las estrellas obtenidas “arrastran” el isomorfismo de los grafos originales y, adem´as, lo hacen con el mismo mapeado.
En el Anexo E “Inversi´on parcial del SM” se discute la obtenci´on de un grafo a partir de su modelo. En el Anexo F “Desglose por grados de la base de datos “Web”” se da el listado de grafos de la base de datos “Web” por n´umero de nodos. Dada su alta dispersi´on ha sido imposible compactarlo en una tabla.
En el Anexo G “Inversi´on total del SM” se demuestra que el SM no es ivertible por lo que cualquier estudio que se pretenda realizar utilizando tal inversi´on no ser´a viable.
Nociones de Teor´ıa de Grafos
2.1
Introducci´on
En este cap´ıtulo no se encontrar´a un tratado sobre Teor´ıa de Grafos, esto requerir´ıa bastantes m´as p´aginas que las que hay en esta tesis, pero quiz´as una raz´on m´as importante para no hacerlo es que ello estar´ıa fuera de lugar dada la excelente y abundante literatura existente al respecto. Aqu´ı s´olo se expone una selecci´on b´asica del material relativo a la Teor´ıa de Grafos imprescindible para la comprensi´on del resto con la finalidad de disponer de un documento autocontenido. Es muy dif´ıcil recomendar lecturas adicionales sobre el tema debido a la ingente literatura que existe pero pueden ser consultados [Bol98], [Die12], [Har69], [GR01], [Gou12], [Wil12] y/o [BM08] entre otros muchos. El lector que sea un experto en el tema puede omitir la lectura de este cap´ıtulo pero se aconseja no hacerlo dado que se hacen comentarios y se dan enfoques que ser´an muy ´utiles para la r´apida asimilaci´on del resto del trabajo. Por ´ultimo, se advierte que el vocabulario utilizado por la comunidad cient´ıfica sobre grafos no esta unificado, llegando a darse casos en los que diferentes autores utilizan el mismo t´ermino con significados diferentes, o bien, para un mismo concepto diferentes autores utilizan diferentes t´erminos.
Sirva la presente introducci´on para rendir tributo de admiraci´on a Leonard Euler (1707-1783) padre de la Teor´ıa de Grafos [Eul41] y a James Joseph Sylvester (1814-1897) que en [Syl78] acu˜no el termino “graph”.