5. Descripci´ on y desarrollo del proyecto
5.2. Resultados de la estimaci´ on de par´ ametros
5.2.2. Estudio de errores para eventos reales
En primer lugar, es fundamental realizar un buen ajuste de los par´ametros de muestreo para que la estimaci´on de par´ametros sea la m´as adecuada posible. Para ello se calculan los errores de implementaci´on y de boostrap para diferentes configuraciones y poder evaluar as´ı cual de los ajustes es el m´as efectivo.
5.2.2.1 Evento GW150914
En el caso del primer evento, como se puede apreciar en la Figura 15, los errores cometidos en la implementaci´on son mucho mayores a los de boostrap. Esto ocurre debido a que para el an´alisis, se usaron un gran n´umero de pasos de MCMC que redujeron este ´ultimo dr´asticamente. Los errores de implementaci´on, debidos a un mal ajuste de la configuraci´on del muestreo, se ven aminorados con el aumento del n´umero de puntos usados, aunque podr´ıan reducirse a´un m´as.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h)
Figura 15: An´alisis de la variaci´on de los errores de implementaci´on y boostrap con el n´umero de puntos vivos del evento GW150914 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional para el primer cuerpo (e) el esp´ın adimensional para el segundo cuerpo (f) el ´angulo de inclinaci´on (g) el ´angulo de declinaci´on y (h) el ´angulo de ascensi´on.
error debido a la aleatoriedad del m´etodo, se ve tambi´en reducido con el n´umero de puntos usados en la estimaci´on de par´ametros, convirtiendo en la configuraci´on m´as eficiente la de 2000 puntos vivos.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h)
Figura 16: An´alisis de la variaci´on de los errores de boostrap con el n´umero de puntos vivos del evento GW150914 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional para el primer cuerpo (e) el esp´ın adimensional para el segundo cuerpo (f) el ´angulo de inclinaci´on (g) el ´angulo de declinaci´on y (h) el ´angulo de ascensi´on.
En el Cuadro 4 aparecen los resultados de la estimaci´on de par´ametros de este evento usando la mejor configuraci´on. Al comparar los intervalos de confianza con los errores tanto de implementaci´on como de boostrap, se puede deducir que la estimaci´on es precisa a causa de que los intervalos de confianza son mayores a los errores cometidos, englob´andolos en su interior. No obstante, para obtener mejores resultados, los errores de implementaci´on deber´ıan ser reducidos aumentando m´as el n´umero de puntos usados en el muestreo.
Finalmente, estos resultados pueden compararse con los obtenidos usando otro m´etodo de muestreo, CPNest. En la Figura 17 se observa como las distribuciones a posteriori, en el caso de este m´etodo, son m´as anchas provocando que el resultado de cada uno de los par´ametros sea menos preciso y el error cometido sea mayor. En el Cuadro 5 se observa como los intervalos de confianza para las distribuciones de ambos m´etodos se superponen confirmando que aunque se cometa un error mayor,
Par´ametro q M(M) χ1 χ2 dL(M P c) δ (rad) α (rad) θJ N (rad)
Dynesty 0.93+0−0..0405 30.17−+00..5150 0.03−+00..1818 -0.19+0−0..2317 416.64+86−94..4610 -1.23+0−0..0410 1.67+0−0..4770 2.60+0−0..2529
σimp 0.0664 0.3990 0.0939 0.0283 53.3074 0.0851 0.3741 0.3691
σbs 0.0006 0.0043 0.0013 0.0014 0.6898 0.0010 0.0034 0.0074
Cuadro 4: Tabla con los resultados de la estimaci´on de par´ametros y sus errores del evento GW150914 usando 2000 puntos vivos y 1000 pasos de MCMC.
se converge a la misma soluci´on. No obstante, para el caso del ´angulo de inclinaci´on, la bimodalidad se hace mucho m´as notable indicando que se converge a dos soluciones diferentes en este caso.
Par´ametro q M(M) χ1 χ2 dL(M P c) δ (rad) α (rad) θJ N (rad)
Dynesty 0.92+0−0..0506 30.69−+00..5456 -0.10−+00..1111 0.02+0−0..0808 539.71+80−103.42.06 -1.19+0−0..0714 2.34+0−0..8124 2.65+0−0..2330 CPNest 0.88+0−0..0811 30.68−+00..6079 -0.03−+00..0912 -0.03+0−0..1409 542.00+76−97..8008 -1.15+0−0..1017 2.43+0−0..3918 2.55+0−1..2985
σimp 0.0578 0.1513 0.0892 0.1175 28.8438 0.0219 0.2213 0.0432
σbs 0.0006 0.0070 0.0016 0.0017 1.0378 0.0014 0.0057 0.0052
Cuadro 5: Tabla comparativa de los resultados de la estimaci´on de par´ametros con Dynesty y CPNest, y sus errores del evento GW150914 usando 1024 puntos vivos y 1000 pasos de MCMC.
5.2.2.2 Evento GW170729
Para el segundo evento, en el estudio de los errores cometidos se obtiene la misma conclusi´on. En la Figura 18 se observa como los errores de implementaci´on son mucho m´as importantes que los de boostrap, debido al gran n´umero de pasos de MCMC usados en el an´alisis. Los errores de implementaci´on, aunque se ven reducidos con el aumento del n´umero de puntos usados en la estimaci´on, siguen siendo importantes en algunos par´ametros. Por otro lado, en la Figura 19 se aprecia una disminuci´on del error de boostrap con el aumento del n´umero de puntos usados m´as acentuada, haciendo que el error debido a la aleatoriedad del procedimiento se reduzca. Este hecho convierte, otra vez, la configuraci´on de 2000 puntos vivos en la m´as eficiente.
En el Cuadro 6 se plasman los resultados de la estimaci´on de par´ametros para esta configuraci´on. Al igual que en el evento anterior, los errores cometidos son mucho menores a los intervalos de confianza, demostrando una vez m´as que los resultados son precisos aunque los errores de imple- mentaci´on se ver´ıan reducidos con un aumento del n´umero de puntos usados en el muestreo durante la estimaci´on.
Par´ametro q M(M) χ1 χ2 dL(M P c) δ (rad) α (rad) θJ N (rad)
Dynesty 0.85+0−0..0875 52.17−+45..4067 0.47−+00..2030 0.07+0−0..0828 3095.14+749−914..3767 0.06+0−0..2515 2.07+2−0..0973 2.36+0−0..3258
σimp 0.1052 3.4974 0.1331 0.0889 173.7863 0.3187 0.2053 0.5654
σbs 0.0017 0.0412 0.0018 0.0018 10.8229 0.0097 0.0097 0.0069 Cuadro 6: Tabla con los resultados de la estimaci´on de par´ametros y sus errores del evento
GW170729 usando 2000 puntos vivos y 1000 pasos de MCMC.
Finalmente, al comparar el m´etodo de muestreo de Dynesty con CPNest en la Figura 20, se observa como las distribuciones a posteriori de este ´ultimo m´etodo son m´as anchas, aunque para este evento las calculadas gracias a Dynesty no son tan unimodales como en el anterior. No obstante, en el Cuadro 7 se observa como los intervalos de confianza de los dos m´etodos se superponen verificando que ambas estimaciones son equivalentes teniendo en cuenta un cierto error.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
Figura 17: Comparativa de las distribuciones a posteriori usando Dynesty y CPNest con 1024 puntos vivos en el evento GW150914 para (a) el coeficiente de masas (b) la masa de chirp (c) la distancia luminosa (d) el esp´ın adimensional efectivo (e) el ´angulo de inclinaci´on (f) el ´angulo de declinaci´on y (g) el ´angulo de ascensi´on.