Por¨fair¨ se entiende, en la literatura, una curva cuyo ploteo de curvatura es conti-nuo y posee muy pocas oscilaciones, esto es, que apenas tenga valores de curvaturas extremas y situados adem´as donde las desea el dise˜nador y en ning´un otro lugar [Far97].
Tal definici´on, tambi´en sugerida por [Bir33], [Dill81], [SuL89], puede parecer subje-tiva; sin embargo, es muy pr´actica pues una curva fair es, est´eticamente, lo que m´as desea un dise˜nador. De hecho, el ploteo de curvatura ser´a usado por un dise˜nador de experiencia como una herramienta cotidiana e imprescindible pues, en general, de todas las posibles curvas que puedan utilizarse para ajustar un conjunto de datos, suele ser una curva fair quien mejor lo hace.
Tras revisar un conjunto de art´ıculos que estudian c´omo determinar si una curva es o no ¨fair¨, se encontr´o finalmente, en [Lev09], una serie de propiedades claves que debe satisfacer un A-spline para garantizar que sea ¨fair¨.
Tales propiedades significativas para el estudio del ¨fairness¨ de una curva son, en orden decreciente de importancia, las siguientes:
1. extensionalidad, entendida a partir de que si se adicionan datos al spline, su forma original no var´ıa significativamente, esto es, que la curva que interpola los datos original es ¨´optima¨ en tal sentido,
2. redondez, entendida como reproducci´on de arcos de c´ırculo, 3. curvatura mon´otona,
4. alto orden de continuidad.
El A-spline empleado en este trabajo cumple, por construcci´on, con la primera y la
´
ultima condici´on.
La validez de la segunda propiedad se demuestra en la siguiente proposici´on:
Proposici´on 2.2
El esquema A-spline cuya secci´on i-´esima secci´on viene dada por la ecuaci´on
Ai(u, v, w) := −v3+ uw(u + w) − (κi2w + κi0u)v2
2 δ3i + (κi2+ κi0)uvw 2 δi4
siendo δi > −12 y κi0, κi2 valores asociados a las curvaturas en los extremos P0i, P2i de la secci´on Ai, reproduce arcos de c´ırculos.
Demostraci´on:
La resultante de la ecuaci´on de la c´ubica de la i-´esima secci´on y la ecuaci´on del c´ırculo del cual se obtuvieron los datos, es un polinomio univariado de grado seis.
Al imponerle siete condiciones de interpolaci´on a la i-´esima secci´on del A-spline ( la interpolaci´on de dos puntos con sus respectivas rectas tangentes y valores de curvatura asociados as´ı como la de un punto adicional) y ser este polinomio de grado seis, el c´ırculo y la c´ubica tienen una componente en com´un. De este modo, el c´ırculo resulta ser componente de la ecuaci´on de la c´ubica que factoriza entonces como el producto de la ecuaci´on del c´ırculo y la ecuaci´on de una recta.
Puesto que en la regi´on de inter´es la c´ubica es conexa y no singular se tiene que la rama de la c´ubica coincide con la restricci´on del c´ırculo en la regi´on, lo cual hace que, en ella, coincidan la representaci´on gr´afica de la curva y la del c´ırculo. La tercera propiedad no est´a garantizada en general, de hecho sabemos que no se cumple. Sin embargo, se puede estudiar c´omo usar el par´ametro libre δ para minimi-zar las oscilaciones en las curvaturas, es decir, para minimiminimi-zar las discrepancias de lo que le falta al esquema A-spline aqu´ı desarrollado, para aproximarse a ser ¨fair¨.
En este sentido el esquema A-spline que se propone en este trabajo logra que el mismo algoritmo que hace la generaci´on jer´arquica de los puntos y lo reutiliza para el c´alculo de curvaturas permita, sin mucho costo adicional, calcular buenas aproxi-maciones de la energ´ıa el´astica [Baj98] (en idioma Ingl´es bending energy)
Z
k2(s)ds,
(donde k(s) es una parametrizaci´on de la curvatura y ds es la longitud de arco), de la c´ubica de cada arco del A-spline por una aproximaci´on de la f´ormula exacta, a medida que se van generando puntos, sin necesidad de calcular una parametrizaci´on de la curva
donde kj representa la curvatura en el j-´esimo punto de la secci´on Ai y (lj+1− lj) la longitud de arco entre los puntos j + 1-´esimo y j-´esimo de la secci´on Ai, estudiando c´omo ajustar el par´ametro δ para minimizar esta energ´ıa en futuros trabajos.
En este trabajo se presenta un nuevo algoritmo para graficar curvas A-spline c´ubicas con ventajas sobre el algoritmo empleado en [Beh09]. Se argumenta rigurosamente que la soluci´on te´orica dada a tales problemas es correcta.
Las soluciones obtenidas para los tres subproblemas en que se subdividi´o este algo-ritmo permiten, sin mucho costo computacional, obtener aproximaciones del gr´afico de la curva A–spline, del ploteo de curvaturas y del de la curva d-offset del A-spline.
Los resultados de este trabajo encuentran aplicaci´on en el dise˜no libre de curvas generatrices de superficies de revoluci´on, la obtenci´on de datos para el c´alculo es-tructural de tales superficies, el suavizamiento de poligonales, el ajuste de contornos de im´agenes digitalizadas y el dise˜no de trayectorias con restricciones.
En particular para el ajuste de contornos de im´agenes digitalizadas se logr´o una versi´on m´as actual y poderosa que la brindada en trabajos previos.
Tanto la salida como algunos c´alculos intermedios del subproblema b´asico (genera-ci´on jer´arquica de puntos sobre el A-spline) pueden ser reutilizados en los otros dos subproblemas, por lo que se tiene la opci´on de resolver simult´aneamente y de una forma muy eficiente los tres subproblemas que conforman el algoritmo desarrollado en este trabajo. Obs´ervese que la generaci´on jer´arquica y adaptativa de la poligonal que aproxima a la curva A-spline se extiende autom´aticamente a la generaci´on de las poligonales que aproximan al ploteo de curvatura y al d-offset.
Estudiar c´omo garantizar el cumplimiento de las condiciones que permiten que el A-spline aqu´ı construido sea ¨fair¨.
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