4. Ramificaci´ on y ra´ıces p-´ adicas de la unidad
4.4. Extensiones salvajemente ramificadas
Una extensi´on K de Qp con n = [K : Qp] ramifica salvajemente si se tiene
salvaje y mansamente ramificada al mismo tiempo. Empecemos con un resultado que relaciona k∗ con el grupo µ
p∞.
Proposici´on 4.16. La restricci´on a µ(K) de la proyecci´on m´odulo p tiene n´ucleo
µp∞(K). Esta proyecci´on resulta inyectiva en µ
(p)(K).
Demostraci´on. Consideremos la proyecci´on
ε : µ(K) −→ K∗
ζ 7−→ ζ.
Para ζ ∈ ker(ε) se tiene ε(ζ) = ζ = 1, y por consiguiente ζ ∈ 1 + M. De la Proposici´on 4.7 concluimos que se cumple ζ ∈µp∞(K).
Rec´ıprocamente, con ζ ∈µp∞(K) se tiene ζ = 1 =ε(ζ) y as´ıζ ∈ker(ε).
Por otro lado, si consideramos la restricci´on ε: µ(p)(K) −→ K∗
ζ 7−→ ζ,
´esta s´ı resulta inyectiva. En efectoε(ζ) = 1 =ζ implicaζ ∈1 +M, lo que nos obliga a tenerζ ∈µp∞(K)∩µ(p)(K) por la Proposici´on 4.7. Por lo tanto se tieneζ = 1.
Teorema 4.17. Para toda ra´ız de la unidadζ cuyo orden es exactamentepn0, donde n0 ≥1, se satisface |ζ−1|=p−1/φ(p
n0)
<1; ac´a φ es la funci´on de Euler.
Demostraci´on. Para el caso especial n0 = 1, la ra´ız ζ tiene orden p. Ac´a se cumple
ζp = 1, y ζ = 1 +ξ, con |ξ |<1, es una ra´ız del polinomio (xp−1)/(x−1); es decir,
se satisface 0 = (1 +ξ) p −1 ξ = 1 ξ(pξ+pξ 2t+ξp), con |t|≤1. Debido a ello tenemos
p(1 +ξt) +ξp−1 = 0,
y como se cumple |ξ|<1 y |t |≤1, obtenemos|1 +ξt|= 1 y por lo tanto, tambi´en
|ξp−1 |=| −p(1 +ξt)|=|p|. Gracias a ello obtenemos |ζ−1|=|ξ |=|p|1/(p−1)<1.
En adelante escribiremos rp =|p|
1
p−1. Vemos que se satisface 1
p =|p|≤rp <1.
Por ejemplo tenemos r2 = 12 y se cumple rp > 1p para pprimo impar.
Ahora tratemos el caso general. Supongamos que el orden deζ sea pn0+1. Enton- ces ζpn0
tiene ordenp, y por el caso especial tratado arriba obtenemos
|ζpn0 −1|=rp <1.
Hacemos ahora ζ = 1 +η con |η|<1 para obtener ζpn0
−1 = (1 +η)pn0
−1 =ηpn0
+pηy con | y|≤1. Luego se tiene
|pηy|<|p|≤rp =|ζp
n0
−1|=|ηpn0
+pηy |, lo cual, por el principio de los tri´angulos is´osceles, implica |ηpn0
+pηy|=|ηpn0
|. Por lo tanto tenemos | ζpn0
−1 |=| ηpn0
|= rp, lo que directamente conduce a |η |=rp1/pn0, como esperabamos, ya que paran0 >1 se tieneφ(pn0) = pn0−pn0−1.
Recordemos que el polinomio
φp(x) =
xp−1
x−1
denota el p-´esimo polinomio cicl´otomico (el cual por ser pprimo es de gradop−1). Parai >1 elpi-´esimo polinomio cicl´otomico debe tener gradoφ(pi) =pi−1(p−1).
Pero notemos que φp(xp
i−1
) tiene el grado y las ra´ıces correctas, y por lo tanto es igual a φpi(x). Lo importante ac´a es que al ser la composici´on de un polinomio de Eisenstein con el monomio xpi−1
resulta tambi´en un polinomio de Eisenstein. Si combinamos este an´alisis con el Teorema 4.1 concluimos que la adjunci´on de ra´ıces de la unidad de orden una potencia de p induce exclusivamente ramificaci´on. Corolario 4.18. Si el ´ındice de ramificaci´on e=e(K) es finito, entonces el grupo
µp∞(K) de ra´ıces de la unidad en K posee orden una potencia de p. Es m´as, este
Demostraci´on. En general, si el cuerpo K tiene una ra´ız de orden pt, el Teorema
4.17 muestra que el ´ındice de ramificaci´on es un m´ultiplo de ϕ(pt) =pt−pt−1. Por
lo tanto se tiene
pt(1−1/p)≤e.
As´ı tenemos en pt≤ ep
p−1 una cota para el orden, y por consiguiente se cumple #(µp∞(K))≤
ep p−1,
pues los subgrupos finitos de las ra´ıces de la unidad son c´ıclicos.
Notemos que el resultado de este corolario es v´alido para todos los cuerpos va- luados K de caracter´ıstica 0 provistos de un valor absoluto que extiende el p-´adico. En particular si e = 1, tenemos #(µp∞(K))≤ p/(p−1). En particular para p ≥3
tendremos #(µp∞(K)) = 1; mientras parap = 2 se consigue #(µ2∞(K))≤2. Pero
ambos resultados ya eran conocidos desde el Cap´ıtulo 3. Ejemplo 4.19. Sea el polinomio p(x) = x2n
− 1 ∈ Q2[x] con ra´ız ξ en alguna
extensi´on finita K. Por la definici´on de norma se tiene | ξ |K= 1; esto quiere decir
que sus ra´ıces estan ubicadas sobre la esfera unitaria. Es m´as, como ξ tiene orden una potencia de 2, digamos 2n0, se tiene gracias al Teorema 4.16 la desigualdad dada por |ξ−1|=|2|1/ϕ(pn0)
<1.
Por ejemplo, el cuarteto {−1,1,−i, i} cumple
|1−(−1)|= 2−1 y |1−(−i)|=|1−(i)|= 2−1/2.
Siguiendo de cerca a Robert[1], la siguiente figura muestra en forma esquem´atica la localizaci´on de las 2n-´esimas ra´ıces de la unidad.
-1 1 i
-i
Ejemplo 4.20. Realizando un estudio similar al ejemplo anterior, se puede localizar las 3n-´esimas ra´ıces de la unidad en la esfera unitaria de la clausura algebraica de
Q3. Por ejemplo, si z fuese una ra´ız de la unidad en alguna extensi´on finita K se
tiene |z−1|=|1/z−1|. El esquema muestra la disposici´on de dichas ra´ıces.
z
1/z 1
Ejemplo 4.21. Sea K una extensi´on generada sobre Qp por una ra´ız p-´esima pri-
p2. Ambas extensiones son totalmente ramificadas. Los grados de estas extensiones
ciclot´omicas est´an determinados por la teor´ıa previa. El diagrama K′ =Q p(ζp2) gradop | salvaje K =Qp(ζp) gradop−1 | mansa Qp
resume la situaci´on. El elemento π =ζp−1 tiene valor absoluto |π |=|p |1/(p−1) y
genera el grupo de valores |K∗ |. Del mismo modoπ′ =ζ
p2−1 tiene valor absoluto π′ =|p|1/p(p−1) y genera el grupo de valores K′
∗.
En resumen, si ζ es ra´ız primitiva de la unidad en alguna extensi´on finita K con ζ ∈ µp∞(K), se tiene que Qp(ζ) resulta ser una extensi´on mansa debido a
que se cumple [Qp(ζ) : Qp)] = p−1. Sin embargo si ζ es una ra´ız de orden pk,
con k ≥ 2; ´esta genera una extensi´on salvaje de Qp(ζ); es decir, somos capaces de
generar extensiones salvajes a partir del estudio del grupo µp∞(K), motivo por el
cu´al nos preguntamos si toda extensi´on salvaje es generada por una ra´ız de la unidad de orden pk. La respuesta es no. Ello se puede apreciar en el Ejemplo 3.18 en donde
se obtuvo la extensi´on salvaje Q2(η) con ηra´ız del polinomio f(x) =x2−2x+ 2 sin
Bibliograf´ıa
[1] Atiyah, McDonald. Introducci´on al algebra conmutativa. Addison-Wesley,
1978.
[2] Condori. Factorizaci´on de los polinomios sobre los n´umerosp-´adicos. Tesis de maestr´ıa en Matem´aticas, PUCP, 2001.
[3] Gaita.Introducci´on a los n´umeros p-´adicos y comportamiento din´amico de po- linomios en Qp. Tesis de maestr´ıa en Matem´aticas, PUCP, 1997.
[4] Lang.Teor´ıa de n´umeros algebraicos. Addison-Wesley, 1970. [5] Milne. Cuerpos y teor´ıa de Galois. Notes, 2003
[6] Robert. Un curso en an´alisis p-´adico. Springer-Verlag, New York, 2000.
[7] Stewart and Tall. Teor´ıa algebraica de n´umeros y el ´ultimo teorema de
Fermat. A. K. Peters, 2002.