4.11 Representación gráfica de funciones
4.11.2 Extremos locales de una función
Son los valores máximos o mínimos locales de una función dentro de su dominio.
SiIes un intervalo abierto (generalmente muy pequeño)que contine al valorx0. Se dice que:
1. f(x0)es un máximo local o relativo def(x), si y sólo si f(x0)≥f(x)oara todaxdel intervalo.
2. f(x0)es un mínimo local o relativo de f(x), si y sólo sif(x0)≤f(x)oara todaxdel intervalo.
Definición 4.9
Haciendo referencia a la gráfica 1, f(2) =3es máximo relativo, f(4) =1es mínimo relativo y f(6) =3no es ni máximo, ni mínimo relativo.
uts
Cálculo DiferencialSea f(x)es continua en un intervalo abierto que contenga al valor críticoxo.
1. Si la función tiene extremos relativos, necesariamente ocurren en los valores críticos.Ha- ciendo referencia a la gráfica 1, existen extremos relativos enx=2y enx=4, que son valores críticos de la función.
2. Si la derivada de la función cambia de signo al pasar por un valor crítico, necesariamente ahí existe un extremo relativo; si no lo hace, no tiene extremo relativo en ese valor crítico. Haciendo referencia a la gráfica 1, no existe extremo relativo enx=6. Por tanto, no necesari- amente en todos los valores críticos de la función existen extremos relativos.
3. Si por la izquierda de un valor críticoxo, la derivada es positiva (es decir, la función es
creciente) y por la derecha la derivada es negativa (es decir, la función es decreciente), entonces f(xo)es un máximo relativo de la función.
Si por la izquierda de un valor crítico xo, la derivada es negativa (es decir, la fun-
ción es decreciente) y por la derecha la derivada es positiva (es decir, la función es creciente), entonces f(xo)es un mínimo relativo de la función.Haciendo referencia a la
gráfica 1, esto se puede constatar. Con esta información que nos proporciona la primera derivada de una función, se puede hacer un esbozo de la gráfica de la función.
Definición 4.10Criterio de la primera derivada
Hacer un análisis mediante la primera derivada, para bosquejar las gráficas de las siguientes funciones:y=2x3−3x2−36x+5.
Solución:
Primero calculamos los valores críticos de la función, por lo cual la derivamos y la factor- izamos:y0=6x2−6x−36=6(x2−x−6) =6(x−3)(x+2)
Se observa que la derivada es cero en x=−2 y en x =3, por lo tanto son valores críti- cos.
Ahora los analizaremos por la izquierda y por la derecha, para ver si la derivada es posi- tiva o negativa y así concluir si la función es creciente o decreciente:
Si x<−2, entoncesf0(x) =6(−)(−)>0,por lo tanto la funci´onf(x)es creciente.
Si −2<x<3,entonces f0(x) =6(−)(+)<0, por lo tanto la funci´on f(x)es decreciente.
Six>3, entoncesf0(x) =6(+)(+)>0,por lo tanto la funci´onf(x)es nuevamente creciente.
Esto se puede visualizar mejor si construimos la siguiente tabla:
Si sustituimos estos valores dexen la función original obtenemos respectivamente los valores máximo y mínimo relativos de la función, que son: y=49 y y=−76. Por lo tanto podemos expresar ahora los puntos máximo y mínimo relativos o locales de la función:
Punto máximoP(−2,49). Punto mínimoP(3,−76)
Situando estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones, se puede construir la gráfica de la función. Esta se muestra en la (gráfica No. 3), donde se comprueban los resultados del análisis de la función a través de su primera derivada.
Ejemplo 4.43
uts
Cálculo DiferencialAplique el criterio de la primera derivada para analizar el comportamiento de f(x) =
−2 3x
3−6x2+54x+120
Solución:
Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:
f0(x) =−2x2−12x+54=−2(x2+6x−27) =−2(x+9)(x−3)La derivada es cero enx=−9y en x=3, por lo tanto son valores críticos.
Ahora construiremos una tabla similar a la anterior:
−2(−)(−) =− −2(−)(+) = + −2(+)(+) =−
Los valores mínimo y máximo relativos de la función, que son:y=−366yy=210. Por lo tanto los puntos mínimo y máximo relativos o locales de la función son:
Punto mínimoPm(−9,−366).
Punto máximoPM(3,210)
La gráfica de la función se muestra en la (gráfica No. 4), donde se comprueban los resulta- dos de este análisis
Ejemplo 4.44
Aplique el criterio de la primera derivada para analizarf(x) = (x+2)3−3.
Solución:
f0(x) =3(x+2)2.
Existe un solo valor crítico:x=−2.
3(−)2= + 3(+)2= +
Intervalo(−∞,−2) (2,∞)
La gráfica 5 muestra estos resultados. Ejemplo 4.45
uts
Cálculo DiferencialPara el producto de un fabricante la función ingreso en pesos, está dada porI(x) =240x+57x2−x3, para0≤x≤60, dondexson las unidades que se venden. Calcular el nivel de ventas para obtener un ingreso máximo.
Solución:
I0(x) =240+114x−3x2=−3(x2−38x−80) =−3(x−40) (x+2).
Valores críticosx=−2yx=40.
El valor negativo no tiene sentido en el problema, ya que el dominio de la función es0≤x≤60.
−3(−)(+) = + −3(+)(+) =−
Por lo tanto para que el ingreso sea máximo, el nivel de producción debe ser de 40 unidades. El ingreso máximo es de 36,800, que está representado en la gráfica 6, a continuación, por el punto PM(40unidades,$36800).
Ejemplo 4.46
Si f(x) es una función que tiene un valor crítico en x=a , tal que f0(a) =0y f00(a)existe , Entonces: Si
f00(a)<0 → f(x)tiene un m´aximo local o relativo enx=a f00(a)>0 → f(x)tiene un m´inimo local o relativo enx=a
f00(a) =0 → no se puede concluir si f(x)tiene m´aximo o m´inimo local enx=a Definición 4.11Criterio de la segunda derivada
uts
Cálculo DiferencialAplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f(x) =2x3−3x2−36x+7
tiene valores máximos o mínimos relativos.
SoluciónPrimero localizamos sus valores críticos, es decir los valores dexdonde la derivada es cero o donde la derivada no existe:
f0(x) =6x2−6x−36=6(x2−x−6) =6(x−3) (x+2).
Vemos que la derivada existe para todo valor de x, y que existen dos valores de x donde la derivada se hace cero. Por tanto sus valores críticos son:x=−2 y x=3
Como f0(−2) = 0y f0(3) =0, probamos ahora el signo de la segunda derivada para estos
valores:
f00(x) =12x−6
f00(−2) =12(−2)−6=−30.Como es negativa existe un máximo relativo o local enx=−2
f00(3) =12(3)−6=30.Como es positiva existe un mínimo relativo o local enx=3
El valor máximo local de la función es f(−2) =2(−2)3−3(−2)2−36(−2) +7=51
El valor mínimo local de la función es f(3) =2(3)3−3(3)2−36(3) +7=−74
Los puntos máximo y mínimo relativos son:Pmax´ (−2,51); Pmin´(3,−74)
Su representación gráfica se puede ver en la siguiente página: Ejemplo 4.47
Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f(x) =x4−4tiene valores máximos o mínimos relativos.
Solución:
f0(x) =4x3.
Como se puede observar, la derivada existe para todo valor dex, y es cero cuandoxtoma el valor de cero. Por lo tanto tiene un sólo valor críticox=0.
Veamos ahora cómo es el signo de la segunda derivada en este valor crítico.f00(x) =12x2.
Como f00(0) =12(0)2 =0, entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimo
relativo enx=0Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar el criterio de la primera derivada:
El punto mínimo esP(0,−4). Su representación gráfica se puede ver en la siguiente gráfica: Ejemplo 4.48
uts
Cálculo DiferencialAplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f(x) =2−x3
tiene valores máximos o mínimos relativos. Solución
f0(x) =−3x2
Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x toma el valor de cero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico enx=0.
Veamos ahora cómo es el signo de la segunda derivada en este valor crítico. f00(x) =−6x.
Como f00(0) =−6(0) =0, entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimo relativo
enx=0. Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar el criterio de la primera derivada:
Su representación gráfica se puede ver a continuación. Ejemplo 4.49
Extremos absolutos:Son los valores más grande y más pequeño de una función en un intervalo dado, si es que existen.
Sea I un intervalo cualesquiera que contenga ax0. Se dice que:
1. f(x0)es máximo absoluto de f(x)en el intervalo I si y s´olo si f(x0)≥ f(x)para todaxdel
intervalo.
2. f(x0)es mínimo absoluto de f(x)en el intervalo I si y s´olo si f(x0)≤ f(x)para toda x del
intervalo.
Definición 4.12Extremos absolutos de una función
1. En lagráfica 1, f(a)es mínimo absoluto de f(x)en el intervalo(−∞,∞). No tiene máximo absoluto
porque la función viene del infinito y se va al infinito.
2. En lagráfica 2,f(b)es máximo absoluto de f(x)en el intervalo(a,c). No tiene mínimo absoluto porque no está definida la función en a y en c. Es decir cada vez que x está más cerca de a por su derecha, la función está más cerca de f(a), pero nunca llega a tomar ese valor. Lo mismo sucede cuando x está cada vez más cerca c por su izquierda.
3. En lagráfica 3,f(b)es mínimo absoluto y f(c)es máximo absoluto de f(x)en[a,c].
4. En lagráfica 4, la función no tiene ni máximo ni mínimo absolutos porque viene del menos infinito, se va al infinito, regresa del menos infinito y finalmente se va al infinito.
Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene necesariamente un valor máximo y un valor mínimo absolutos en ese intervalo.
Teorema 4.2Teorema del Valor Extremo
uts
Cálculo Diferencial1. En la gráfica 1f(c)es mínimo absoluto yf(d)es máximo absoluto de f(x)en el intervalo[a,d].
2. En la gráfica 2f(b)es mínimo absoluto yf(c)es máximo absoluto de f(x)en el intervalo[a,d].
3. En la gráfica 3f(a)es mínimo absoluto yf(d)es máximo absoluto de f(x)en el intervalo[a,d].
Se puede observar que los extremos absolutos en un intervalo cerrado ocurren o en los valores críticos de la función en ese intervalo o en los extremos de dicho intervalo.