Funciones polinómicas Funciones lineales Funciones parabólicas Asíntotas Funciones exponenciales, logarítmicas y su relación Funciones trigonométricas Funciones complejas a partir de otras simples Horizontales Verticales Oblicuas ex, e-–x y 10x Logaritmo neperiano Funciones de proporcionalidad inversa Funciones racionales Seno y coseno Tangente
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Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
■ Contribución de la unidad a la adquisición de las competencias básicas
Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias de comunicación escrita y oral en diferentes contextos.
Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores.
En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de razonamiento
y argumentación.
Competencia para la interacción con el mundo físicoEs una competencia que se trabaja ampliamente en la unidad. Se tratan las subcompetencias de
conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y de medio natural y desarrollo sostenible.
Competencia social y ciudadanaSe pueden trabajar las subcompetencias de desarrollo personal y social y de compromiso democrático y
solidario con la realidad personal y social.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se tratan las subcompetencias de obtención,
transformación y comunicación de la información y de uso de herramientas tecnológicas, a través del
uso del programa GeoGebra.
Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de
conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la
subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar
conocimiento.
Competencia de autonomía e iniciativa personalLa puesta en común de trabajos permite trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo
de proyectos y de liderazgo.
■ Otras competencias de carácter transversal
Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta actividades que exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico.
En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad Aprende a pensar sobre la
discriminación sufrida por el trabajo de las mujeres en los ámbitos científicos y culturales, analizando
la concesión de premios Nobel, en la que, además de la competencia social y ciudadana, citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan:
COMPETENCIA SUBCOMPETENCIA
Lingüística Comunicación escrita
Tratamiento de la información y competencia digital
Uso de las herramientas tecnológicas
Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas
Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar
conocimiento
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En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.
■ Tratamiento específico de las competencias básicas en la unidad
A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA 1.er nivel de concreción SUBCOMPETENCIA 2.º nivel de concreción DESCRIPTOR 3.er nivel de concreción DESEMPEÑO 4.º nivel de concreción Lingüística Comunicación oral en diferentes contextos
Dialogar y argumentar con espíritu crítico y constructivo, así como saber aceptar las críticas de los demás.
– Participa en puestas en común y debates en clase.
Pon a prueba tus competencias: Investiga y deduce, 3c
Comunicación escrita en diferentes contextos
Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar información de un texto, y contribuir al pensamiento crítico.
– Aumenta el vocabulario buscando el significado de palabras no conocidas. Desarrolla tus competencias, II Expresar por escrito pensamientos,
emociones, vivencias y opiniones de forma coherente y adecuada en diferentes contextos.
– Expresa opiniones en informes escritos. Desarrolla tus competencias, III Pon a prueba tus competencias: Investiga y deduce, 3
Matemática Razonamiento y argumentación
Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de información.
– Relaciona situaciones de la vida real con funciones matemáticas. Ejemplo 13
Actividades 13 y 86 a 90 Pon a prueba tus competencias
Interacción con el mundo
físico
Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.
– Conoce el origen de las mareas y la utilidad de su previsión para la vida humana y la economía.
Desarrolla tus competencias Investiga y deduce
– Aprecia la utilidad de los modelos científicos en diferentes contextos.
Sabías que… (epígrafes 1, 2, 5 y 6) Actividad 13
Aprende a pensar, 1 a 3 Medio natural y
desarrollo sostenible
Comprender la influencia de las personas en el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas y valorar los paisajes resultantes.
– Reconoce la energía mareomotriz como una energía limpia con sus ventajas y limitaciones.
Desarrolla tus competencias, III
Social y ciudadana
Desarrollo personal y social
Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.
– Conoce hechos y personajes clave de la historia y de la historia de la ciencia. Desarrolla tus competencias Sabías que… (epígrafe 7) Aprende a pensar, 5 Compromiso
democrático y solidario con la realidad personal y social
Mostrarse solidario ante las injusticias.
– Reconoce la discriminación femenina en la valoración justa de su trabajo. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 6 Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
– Visita la página librosvivos.net.
Actividades 5, 14 y 24. Investiga. Organiza tus ideas. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades
en internet. En la red
Pon a prueba tus competencias Organizar y analizar la información,
transformándola en esquemas de fácil comprensión.
– Analiza información de tipo gráfico y extrae de ella los datos necesarios. Actividades con funciones en forma de gráfica
Uso de las herramientas tecnológicas
Conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes.
– Utiliza GeoGebra para resolver gráficamente sistemas de ecuaciones. En la red (epígrafes 1, 2, 6, 7 y 8)
Autonomía e iniciativa personal
Liderazgo
Tener confianza en uno mismo. – Participa en puestas en común y debates en clase.
– Valora las opiniones ajenas. Pon a prueba tus competencias: Investiga y deduce, 3c
Desarrollar la empatía y valorar las ideas de los demás.
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■ Educación en valores
Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:
Educación medioambiental: actividades II y III
Educación para la salud: actividades 13 y 90
Educación para la igualdad: Aprende a pensar, 6
■ Atención a la diversidad
Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.
De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.
Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los del libro del alumno: Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.
Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo
tratado en cada unidad del libro.
Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para
comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos
que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.
■
Materiales didácticos Bib liog ráfico s SMRepaso de contenidos de cursos anteriores
Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 5: Proporcionalidad, progresiones y funciones
– Unidad IV. Funciones lineales
Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidad 12. Funciones lineales
Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso
Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 4.º de ESO – Unidad 9. Estudio de funciones elementales
Cuadernos de matemáticas. 4.º de ESO: N.º 6: Estudio básico de funciones, y N.º 7: Operaciones con funciones. Límites
– Unidades II, III y IV (N.º 6). Funciones polinómicas. Funciones racionales. Funciones exponenciales
– Unidad IV (N.º 7). Tipos de funciones Cuaderno de matemáticas para la vida. 4.º de ESO Cuadernos de resolución de problemas II
Int er n et www.juansanmartin.net www.smconectados.com www.librosvivos.net Otros
Páginas del Ministerio de Educación correspondientes a 4.º de ESO:
www.e-sm.net/4besomatpr27; www.e-sm.net/4besomatpr28; www.e-sm.net/4besomatpr29 O tr o s m a ter ia
les Las hojas de cálculo, como Excel, nos permitirán representar funciones en el ordenador, tanto a partir de la gráfica como de valores dados.
Programas informáticos como GeoGebra y WIRIS.
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Unidad 12 Iniciación a la derivada
En este tema se va a presentar a los alumnos uno de los conceptos más importantes de la matemática aplicada, la derivada, que nos sirve para explicar, por ejemplo, cuál es la velocidad con que varía una función a lo largo de su dominio. Dicho concepto, alrededor del cual gira una parte tan importante de las matemáticas como es el cálculo diferencial, se estudiará en profundidad en Bachillerato.
Los alumnos deben comprender el concepto de derivada tanto desde el campo numérico como desde el geométrico. Para ello partimos de lo que han aprendido en los temas anteriores: la idea de límite es clave en la definición de derivada, y si aprendieron a calcular límites con fluidez, no les costará mucho calcular derivadas partiendo de la definición. Una vez que hayan comprendido el concepto de derivada de la función en un punto y el concepto de función derivada, estudiarán las reglas de derivación y, finalmente, resolverán problemas utilizando derivadas.
Si bien es cierto que el manejo de las derivadas exige, sobre todo al principio, la realización de numerosos ejercicios en los que aplicar directamente las reglas de cálculo hasta adquirir un cierto grado de soltura, para que los alumnos sean conscientes de la utilidad que tiene el estudio de las derivadas en otras ciencias, se tratan además problemas de física, química o economía que se resuelven utilizando el concepto de derivada. En la misma línea y tal y como se ha hecho en otros temas del libro, en la sección “Pon a prueba tus competencias” de la parte final de la unidad se introducen ideas sobre el estudio de epidemias. Buscamos con esto que no vean la opción de derivar como la aplicación de unas reglas de manera mecánica, sin otra finalidad que la del mero cálculo, sino como una potente herramienta para la resolución de problemas de muy distinta índole.
OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMPETENCIAS BÁSICAS
1. Comprender el concepto de derivada.
1.1. Análisis de la variación de una función.
Lingüística Matemática
Interacción con el mundo físico Social y ciudadana
Tratamiento de la información y competencia digital
Aprender a aprender
Autonomía e iniciativa personal 1.2. Interpretar geométricamente la
derivada de una función en un punto. 2. Manejar con soltura las reglas de
derivación y calcular con ellas la derivada de suma, diferencia, cociente o producto de funciones.
2.1. Calcular la derivada de una función utilizando las reglas de derivación.
3. Entender la importancia del cálculo diferencial como vehículo para resolver numerosos problemas de la vida diaria.
3.1. Aplicar el concepto de derivada en la resolución de problemas.
■ Contenidos
Tasa de variación media Tasa de variación instantánea Derivada en un punto
Pendiente de la tangente en un punto Función derivada
Derivadas de funciones elementales Derivadas de la suma, producto y cociente
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Cálculo de la derivada de una función en un punto mediante la definición
Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto
Cálculo de la recta tangente a una curva en un punto
Cálculo de la función derivada
Comprensión del interés del cálculo de la TVM y de la TVI
Interés por la relación entre los conceptos de límite en un punto, continuidad y derivabilidad
Diferenciación entre derivada en un punto y función derivada
Reconocimiento de la utilidad del cálculo diferencial a la hora de resolver problemas
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■ Orientaciones metodológicas
1. Conocimientos previos
Como este es un tema de introducción de contenidos, casi todo es nuevo para el alumno; no obstante, es deseable que los alumnos tengan fluidez en el cálculo de límites, pues eso les será de ayuda para calcular derivadas a partir de la definición.
2. Previsión de dificultades
Sin olvidar que es un tema nuevo y eso entraña una dificultad en sí mismo, prevemos que las mayores dificultades del tema estarán en la comprensión geométrica de la derivada y cuando los alumnos tengan que encontrar un punto de una recta con una pendiente dada. Memorizar las derivadas de funciones elementales será algo que cueste a algunos alumnos. En cuanto a las operaciones, las mayores dificultades las tendrán, seguramente, con la derivada del cociente.
3. Vinculación con otras áreas
Como hemos mencionado, las derivadas están presentes en multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en las que la evolución de un fenómeno debe ser estudiada. Por tanto, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos y alejarles de la idea de que son simples abstracciones matemáticas y cálculos repetitivos, mostrándoles su utilidad práctica.
4. Esquema general de la unidad
Se empieza con la tasa de variación media y, a partir de ella y su límite, la tasa de variación instantánea.
A partir de estos conceptos, se aborda el concepto de derivada de una función en un punto como tasa de variación media en un intervalo cada vez más pequeño y su interpretación geométrica.
Una vez comprendido lo que es una derivada, se hará el cálculo de la función derivada, para lo que se empleará el concepto de límite.
A partir de este cálculo se muestran las derivadas de las funciones que más frecuentemente aparecen: constante, potencial, logarítmica, seno y coseno, teniendo en cuenta que es importante que los alumnos memoricen las derivadas de estas funciones. Seguidamente se muestran las derivadas de las operaciones con funciones: producto de número por función, suma, resta, producto y cociente de funciones.
El tema finaliza con la derivada de la función compuesta mediante el uso de la regla de la cadena como método para simplificar los cálculos.
5. Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:
1.ª Introducción: desarrolla tus competencias
2.ª Correspondencias y funciones. Producto de una función por un número real 3.ª Operaciones con funciones
4.ª Composición de funciones y función inversa 5.ª Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
6ª Periodicidad y acotación. Simetría y funciones definidas a trozos 7.ª Actividades de repaso y consolidación
8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad
En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.