Grup d'automorsmes - Anells cordals:propietats estructurals i models de comunicacions

2.5 Grup d'automorsmes

El problema de determinar si un graf es o no arc-transitiu es interessant, ja que pot ser util en la resolucio de problemes, com l'estudi de l'ndex optic, en que denir un ecaminament a partir de les simetries del graf facilita els calculs 19, 97].

En el cas dels anells cordals, la caracteritzacio dels cicles en la tessel lacio permetra, a mes de reconeixer els anells cordals, descriure el seu grup d'automorsmes. Com que la imatge d'un

k

-cicle per un automorsme ha de ser tambe un

k

-cicle, una aresta i la seva imatge per un automorsme estan con- tingudes en el mateix nombre de

k

-cicles. En l'apartat anterior s'ha vist que l'estructura dels 6-cicles, o dels 4-cicles si n'hi ha, determina la tessel lacio. A partir dels mateixos resultats previs, es a dir els teoremes 2.13 i 2.14, en aquesta seccio es demostra que llevat d'un cas particular, els automorsmes d'un anell cordal conserven la particio de les arestes en colors, i es veu tambe en quins casos hi pot haver permutacio de colors.

G

C

2n(

a b c

), denotem per

Aut

(

G

) el seu grup d'automorsmes.

Es util considerar, a mes del subgrup de translacions

G

L=f

w

2Z2ng, el subgrup d'automorsmes que deixen x el vertex zero, A0

Aut

(

G

). Es clar que

Aut

(

G

) =

G

LA0. Les translacions donen els automorsmes sense punts xos, i els automorsmes que xen un punt donaran les possibles permutacions de colors.

Per altra banda, un automorsme es pot veure en el pla com una trans- formacio entre els triangles. Aix, les translacions com graf de Cayley son gairebe les translacions del pla. Si

w 2

G

L, per a

w

parell

w es una translacio i per a

w

senar

w es una translacio seguida d'un gir d'angle

Aquestes transformacions del pla son isometries que conserven el color de les arestes i les equacions del reticle, encara que no el reticle, ja que no hi ha punts xos. Per tant, el problema es redueix a estudiarA0.

Fixant l'origen del pla en un triangle que contingui el vertex zero, un element de A0 es una bijeccio entre els triangles que deixa x l'origen i que conserva el reticle de zeros. En aquesta seccio es veu que, en general, els elements deA0 es poden veure tambe com isometries del pla que conserven les equacions del reticle. El resultat no es trivial. En particular, hi ha una subfamlia en que apareixen automorsmes que no corresponen a isometries del pla.

Lema 2.16

Sigui

G

C

2n(

a b c

) un anell cordal i

Aut

(

G

). Aleshores

es una isometria del pla si i nomes si la imatge per

de dues arestes del mateix color son dues arestes del mateix color.

Demostracio. Sigui

un automorsme de

G

que es una isometria. Aleshores

conserva rectes paral leles. A mes, els colors de les arestes en la tessel lacio son direccions. Per tant, arestes del mateix color tenen imatges del mateix color.

52 Anells cordals

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

u

v

w

z

Figura 2.16:

C

20(11 1 ;1) amb

u

= 13

v

= 3

w

= 14

z

= 4. Recprocament, es pot suposar sense perdua de generalitat que

2A0. Aleshores, les imatges dels vertexs

a b

c

amb la condicio que dues arestes del mateix color es transformen en dues arestes del mateix color, determinen

. I es clar que hi ha nomes tres casos: si els tres vertexs

a b

c

son xos, aleshores

es la identitat si un dels tres vertexs es x,

es la simetria axial respecte la recta que passa pel zero i pel vertex x i si cap dels tres es x, nomes pot ser

(

a

) =

c

(

b

) =

a

(

c

) =

b

, i

es el gir d'angle 2_{3 ,}

o be

(

a

) =

b

(

b

) =

c

(

c

) =

a

, i

es el gir d'angle 4_{3 . Totes aquestes}

transformacions del pla son isometries. 2

Lema 2.17

Sigui

C

2n(

a b c

) un anell cordal d'ordre 2

n

20. 4A0 conte nomes isometries si i nomes si el graf no conte 4-cicles de la forma

abab

. Demostracio. Siguin

G

C

2n(

a b c

) d'ordre 2

n

20 i

2A0. Suposant que

G

no conte 4-cicles de la forma

abab

, s'ha de veure que

transforma dues arestes del mateix color en dues arestes del mateix color.

G

te cicles de la forma

abac

, aleshores cada aresta de color

a

esta continguda en un 4-cicle, i les de color

b

c

nomes en un. A mes no hi ha mes 4-cicles que aquests. Per tant, el conjunt d'arestes de color

a

es invariant per

. I la imatge d'un cicle

abac

pot ser, o be

abac

, o be

acab

. Per l'estructura dels 4-cicles, mostrada en la gura 2.13, si

deixa xos els colors

b

c

d'un dels cicles, aleshores passara el mateix en els altres cicles. De manera que, o be els colors es conserven, o be les arestes

b

es transformen en arestes

c

i les arestes

c

en arestes

b

Raonant de la mateixa manera, amb els 6-cicles, es demostra que si

G

no te 4-cicles passa el mateix: quan

G

te 6-cicles de la forma

ababac

els colors son xos per

, quan

G

te 6-cicles de la forma

ababab

nomes es poden intercanviar les arestes de color

a

per arestes de color

b

, i si nomes hi ha hexagons, s'utilitza que una aresta esta continguda en dos hexagons, que dues arestes d'un hexagon tenen el mateix color si son oposades i que dues arestes oposades d'un hexagon es transformen per

es transformen en dues arestes oposades d'un hexagon.

2.5 Grup d'automorsmes

53

Per veure el recproc, aplicant el teorema 2.13, nomes cal veure que per a tot

k

5 el graf

C

4k(2

k

+1 1 ;1) te automorsmes que no son isometries. Vegi's una representacio de

C

20(11 1 ;1) en la gura 2.16.

C

4k(2

k

+ 1 1 ;1) els

k

cicles

abab

son

C

i =f2

i

+ 2

k

+ 1 2

i

+ 2

k

i

+ 4

k

+ 1 = 2

i

+ 1g amb

i

= 0

::: k

;1. Aleshores, donat

i

entre 0 i

k

;1, la bijeccio

i denida per

i(2

i

+ 2

k

+ 1) = 2

i

+ 1

i(2

i

+ 1) = 2

i

+ 2

k

+ 1

i(2(

i

+ 1)) = 2(

i

+ 1) + 2

k

i(2(

i

+ 1) + 2

k

) = 2(

i

+ 1)

amb la resta de vertexs xos es un automorsme del graf, pero no es una isometria, ja que hi ha arestes de color

a

i de color

b

xes, i tambe hi ha arestes de color

a

b

que s'intercanvien. En la gura 2.16,

1 es l'automor-

sme que intercanvia els vertexs

u

v

i tambe els vertexs

w

z

, deixant la

resta de vertexs xos. 2

Sif

x y z

g=f

a b c

g, es denota per

xy la simetria axial respecte de la recta que passa per l'origen i pel triangle adjacent a l'origen que conte el vertex

z

, i per

r

2 _{els girs d'angle 2}

3 i 43 respectivament. Aleshores

I

r r

2g es el conjunt de totes les isometries del pla que xen el zero i transformen triangles en triangles. D'aquestes aplicacions nomes son automorsmes de

G

les que deixen invariants les equacions del reticle, es a dir el reticle de zeros, ja que el zero es x. De fet son les que indueixen sobre el conjunt de vertexs una bijeccio.

En els dos lemes seguents es fa servir que si un automorsme es una isometria del pla aleshores conserva les equacions del reticle. Aixo dona condicions de simetria sobre les equacions, que permeten caracteritzar el graf. Donat que les equacions venen donades en termes de

A B

C

, les condicions buscades es dedueixen de les imatges dels vertexs 2

A

B

i 2

C

Lema 2.18

Sigui

G

C

2n(

a b c

) un anell cordal. En

Aut

(

G

) hi ha una

simetria axial si i nomes si existeixen dos enters positius

`

m

tals que es compleix una de les dues condicions seguents:

n

= 2

`m

mcd(

` m

) = 1 i

G

C

4km(4

m

+ 1 1 2

m

`

+ 1) 2.

n

`m

`

m

tenen la mateixa paritat, mcd(

m `

;

m

2 ) = 1, i

G

C

2km(2

m

+ 1 1

m

;

`

+ 1).

Demostracio. Es pot suposar que

ab 2A0. Les imatges dels vertexs

a b

c

determinen les equacions del reticle, tal com es veu a continuacio. Com que

ab(

a

) =

b

ab(

b

) =

a

ab(

c

) =

c

, sobre els vertexs 2

A

b

;

c

B

54 Anells cordals

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A r r r r r r r r r r d c c c c c c c c

eix de

simetria

c#c#c# # # #

`C

0 mA

;

mB

0

Figura 2.17: Anell cordal d'ordre 48, corresponent a

m

= 3

k

= 4.

c

;

a

i 2

C

a

;

b

es te

ab(2

A

) = ;2

B

ab(2

B

) = ;2

A

ab(2

C

) = ;2

C

. Sempre que es compleixi

xA

y B

z C

n 0, que vol dir que el triangle de coordenades (

x y z

) conte el vertex zero, es tindra tambe ;

y A

;

xB

;

z C

n 0. A mes, canviant de signe les equacions, valdra tambe;

xA

;

yB

;

z C

n0 i

xA

y B

z C

n0.

Es clar que, si (

x y z

) i (;

y

;

x

;

z

) contenen el vertex zero, (

x

;

y y

;

x

0) tambe. Considerant el valor positiu mes petit de

m

amb

mA

;

mB

n 0 i tambe el valor positiu mes petit de

`

tal que

`C

n0, es poden distingir dos casos. En el primer cas, aquestes dues equacions generen tot el reticle de zeros. En el segon, els punts que satisfan les equacions pertanyen al reticle de zeros, pero no son tots els zeros. Si les equacions del reticle son

`C

n 0

mA

;

mB

n 0

aleshores

G

es un anell cordal que es pot descomposar en 2

m

cicles disjunts de longitud 2

`

que contenen nomes arestes

a

b

. En aquest primer cas

n

= 2

`m

, i l'anell cordal tindra ordre 4

`m

. La condicio de connexio es complira si i nomes si mcd(

` m

) = 1. Aixo es facil de comprovar fent

`

x

m

y

2.5 Grup d'automorsmes

55 eix de

simetria

c#c#c# # # # c

`C

0 mA

;

mB

0 mA

;

`

;

m

2 C

0

Figura 2.18: Anell cordal d'ordre 30, corresponent a

m

= 3

k

= 5. de manera que les equacions queden

xC

= 2

_xy

_{y A}

;

y B

= 2

xy

. Combinant-les adequadament s'arriba a 0 =

x

(

y A

;

y B

);

yxC

= 2

xy A

. Aleshores mcd(

A C n

) = _

, i nomes pot ser

= 1.

Llevat simetries, i triant

b

= 1, les equacions del reticle ara donen

a

= 4

m

+ 1 i

c

= 2

m

k

+ 1. El graf es doncs

C

4km(4

m

+ 1 1 2

m

k

+ 1). En la gura 2.17 es mostra la tessel lacio associada a

C

48(13 1 ;1), amb

m

= 4 i

`

= 3.

Si les equacions

`C

n0 i

mA

;

mB

n0 no generen tot el reticle, es facil veure que l'unica manera de mantenir la simetria respecte de la recta per 0 i

c

, es que es compleixi

mA

;

`

;

m

C

n0, en particular,

`

m

han de tenir la mateixa paritat. Aleshores

n

`m

i el nombre de cicles disjunts de longitud 2

`

amb nomes arestes

a

b

m

. El reticle estara generat per les equacions

mA

;

mB

n 0

mA

;

`

;

m

C

n 0

La condicio de connexio es compleix si i nomes si mcd

m `

;

m

= 1.

56 Anells cordals

Per veure aixo s'escriu, com en el cas anterior,

m

y

`

;

m

2 =

x

, de manera que

`

x

y

n

_y

₍₂

_x

₊

_y

_{), i les equacions queden}

y A

;

y B

= 0 i

y A

;

xC

= 0. Combinant-les adequadament s'arriba a 0 =

x

(

y A

;

y B

y

(

y A

;

xC

) = (2

xy

y

A

. Aix

y

x

y

)

A

= 0 enZn, on

n

y

x

y

). Aleshores mcd(

A C n

) = _

i, per tant,

= 1. Llevat simetries i triant

b

= 1, les equacions del reticle ara donen

a

= 2

m

+ 1 i

c

m

;

`

+ 1. El graf es doncs

C

2`m(2

m

+ 1 1

m

;

`

+ 1). La tessel lacio associada a

C

30(7 1 ;1) esta representada en la gura 2.18.

Recprocament, les equacions del reticle de zeros corresponent a l'anell cordal

C

4`m(4

m

+ 1 1 2

m

`

+ 1) son

`C

2lm 0

mA

;

mB

2lm 0

i les equacions del reticle de zeros corresponent a l'anell cordal

C

2`m(2

m

1 1

m

;

`

+ 1) son

mA

;

mB

lm 0

mA

;

`

;

m

C

lm 0

En qualsevol dels dos casos, la simetria

ab conserva les equacions. 2

Lema 2.19

Sigui

G

C

2n(

a b c

) un anell cordal. En

Aut

(

G

) hi ha els

girs

r

2 _{si i nomes si hi ha un enter positiu}

_`

_{tal que es compleix una de}

les dues condicions seguents: 1.

n

= 3

`

2_{+ 3}

_`

_{+ 1 i}

_G

C

2n(;1 6

l

+ 3 1) 2.

`

es senar,

n

= 3

`

2_{+ 3}

_`

_{+ 4 i}

_G

C

2n(1;2(

`

+ 2) 2

`

+ 1 1). Demostracio. Com en el lema anterior, suposant que

r

2 A0, les imatges dels vertexs

a b

c

determinen les equacions del reticle. Com que

r

(

a

) =

c r

(

b

) =

a

r

(

c

) =

b

, es te

r

A

) = 2

C r

B

) = 2

A

r

C

) = 2

B

. Sempre que es compleixi

xA

yB

z C

n0, es complira tambe

y A

z B

xC

n0 i

z A

xB

y C

n0. Aixo implica que les equacions del reticle seran

k A

;

`B

n 0

k B

;

`C

n 0

k C

;

`A

n 0

per a algun valor positiu de

k

`

, per als quals es pot suposar

k > `

. En particular,

n

no pot ser qualsevol, ja que les equacions del reticle determinen la rajola i, en particular, l'ordre. En la gura 2.19 es pot veure com seria la tessel lacio, cas d'existir l'anell cordal, pels valors

k

= 6 i

`

= 3.

2.5 Grup d'automorsmes

57 kA

;

`B

- @ @ @ @ @ @ @;@;@;

kC

;

`A

A A K ; ; ; ; ; ; @ @ @

kB

;

`C

r r r r r r d d d A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A k+`+ 1 - `+ 1- k+ 1 -

Figura 2.19: La tessel lacio quan

k

= 6 i

`

= 3.

Per calcular l'ordre en funcio de

k

`

es compta el nombre de triangles parells que conte la rajola. En la representacio, es veu que els cicles

k A

;

`B

k C

;

`A

k B

;

`C

determinen la frontera de la rajola i, per tant, s'han de comptar tots els vertexs interiors, i els de la frontera sense repeticions. El calcul dona:

n

=k+`+1X i=k+1

i

+ k+` X i=`+2

i

`

;1 = 12(

k

`

+ 1)(

k

`

) +

k

(

`

+ 1);2

k

;1 Fent

k

`

m

s'obtenen les equacions (

`

m

)

A

;

`B

n0 (

`

m

)

B

;

`C

n0 i (

`

m

)

C

;

`A

n0, i el valor

n

= 3

`

2+3

`m

m

2₊

_m

2 +

m

;1. A mes, la relacio

A

B

C

= 0 permet reduir el sistema a dues equacions en

A

B

(

`

m

)

A

;

`B

n 0

`A

+ (2

`

m

)

B

n 0

:

Ara, si

A B

C

es una solucio del sistema, aleshores per a

A B

C

es tambe una solucio del sistema, ja que anells cordals corresponents tenen la mateixa tessel lacio. Aix, les dues equacions s'han de poder reduir a una de sola, es a dir, el determinant d'aquest sistema ha de ser zero o un multiple de

n

58 Anells cordals

El determinant de la matriu de coecients es 3

`

2₊₃

_`m

₊

_m

2_{. I si aquest}

nombre ha de ser un multiple de

n

= 3

`

2₊₃

_`m

₊

m

2 +

m

;1, nomes pot ser exactament

n

. Es te doncs 3

`

2₊₃

_`m

₊

_m

2_{= 3}

_`

2₊₃

_`m

₊

m

2 +

m

;1 i per tant

m

2₂+

m

;1 =

m

2, que dona

m

2;3

m

+ 2 = 0. Aixo dona dos possibles valors de

m

= 1 i

m

= 2.

m

= 1, aleshores

n

= 3

`

2_{+ 3}

_`

_{+ 1, i les equacions son}

(

`

+ 1)

A

;

`B

n 0

`A

+ (2

`

+ 1)

B

n 0

Per tant, una solucio es

a

=;1

b

= 6

`

+3, i

c

= 1. I el graf es

C

2n(;1 6

`

+ 3 1).

m

= 2, aleshores

n

= 3

`

2_{+ 6}

_`

_{+ 4, i les equacions son}

(

`

+ 2)

A

;

`B

n 0

`A

+ (2

`

+ 2)

B

n 0

La condicio de connexio nomes es satisfa si

`

es senar. En aquest cas, doncs, una solucio es

a

= 1;2(

`

+ 2)

b

= 2

`

+ 1, i

c

= 1. El graf es

C

2n(1;2(

`

+ 2) 2

`

+ 1 1), per a

`

senar.

Recprocament, com en el lema 2.18, es facil comprovar que

r

conserva les equacions del reticle dels grafs

C

2n(;1 6

`

+3 1) i

C

2n(1;2(

`

+2) 2

`

+1 1). 2

En el seguent teorema, consequencia d'aquests dos lemes, es dona la caracteritzacio del grup d'automorsmes d'un anell cordal d'ordre 2

n

20. Per a gairebe tots els anells cordals el grup d'automorsmes es exactament el grup de translacions, es a dir, A0 = f

Id

g. Si el grup conte no nomes translacions, hi ha quatre casos. Els tres primers corresponen a anells cordals per als quals tot automorsme deixa x un color. En l'enunciat del teorema, els grafs es descriuen suposant que el color x es

c

, igual que en els lemes anteriors. Els automorsmes

i son els que han estat denits en la prova

del lema 2.17.

Teorema 2.20

Sigui

G

un anell cordal d'ordre 2

n

20. Per a tot enter

k

5, i per a tot enter

i

ik

;2, es deneix

i, bijeccio de Z4k, per

i(2

i

k

+1) = 2

i

i(2

i

+1) = 2

i

k

i(2(

i

+1)) = 2(

i

+1)+2

k

i(2(

i

+ 1) + 2

k

) = 2(

i

+ 1), i la resta de punts, xos.

1. Si hi ha un enter senar

k

5 tal que

G

es isomorf a

C

4k(2

k

+1 1 ;1), aleshores A0 es el grup generat pel conjuntf

i 0

ik

;2g. 2. Si hi ha un enter parell

k

5 tal que

G

es isomorf a

C

4k(2

k

+1 1 ;1),

In document Anells cordals:propietats estructurals i models de comunicacions (página 56-64)