Terminamos el cap´ıtulo con un concepto importante sobre grupos de permu- taciones.
Definici´on 9.31 Sea n ≥ 2, sea Pn =
{i, j} 1 ≤ i < j ≤ n. Para cada permutaci´on σ∈ Σn y cada b ={i, j} con 1 ≤ i < j ≤ n, sea
(σ, b) = 1 si σ(i) < σ(j) −1 si σ(j) < σ(i) Llamaremos signatura de σ a sig σ = % b∈Pn (σ, b)∈ {1, −1}.
Las permutaciones de signatura 1 se llaman permutaciones pares. Las de signa- tura−1 se llaman impares.
9.7. Grupos alternados 155 Enseguida daremos una interpretaci´on sencilla de este concepto. Primero conviene probar lo siguiente:
Teorema 9.32 Sea n≥ 2. Entonces la aplicaci´on sig : Σn −→ {−1, 1} es un
homomorfismo de grupos.
Demostraci´on: Sean σ, τ ∈ Σn y sea b ∈ Pn. Es f´acil comprobar que
(στ, b) = (σ, b)τ, σ[b]. Como la aplicaci´on Pn −→ Pn dada por b→ σ[b] es biyectiva, se cumple que
sig(στ ) = % b∈Pn (στ, b) = % b∈Pn (σ, b)τ, σ[b] = % b∈Pn (σ, b) % b∈Pn τ, σ[b]= % b∈Pn (σ, b) % b∈Pn (τ, b) = (sig σ)(sig τ ).
Consideremos la trasposici´on (1, 2)∈ Σn. Es claro que
(1, 2), b=−1 si y s´olo si b ={1, 2}, luego sig(1, 2) = −1. M´as a´un, todas las trasposiciones son conjugadas (por el teorema 9.18), y obviamente
sig(στ) = (sig σ)sig τ = sig σ,
pues{+1, −1} es un grupo abeliano. Esto implica que todas las trasposiciones tienen signatura −1. Si unimos esto al teorema anterior y al teorema 9.14, tenemos probado el teorema siguiente:
Teorema 9.33 Una permutaci´on es par o impar si y s´olo si se descompone en un n´umero par o impar de trasposiciones, respectivamente.
Es f´acil reconocer la signatura de una permutaci´on descompuesta en ciclos. Basta recordar que, seg´un la prueba de 9.14 3), un ciclo de longitud m se descompone en m−1 trasposiciones, luego un ciclo es par si y s´olo si su longitud es impar.
Definici´on 9.34 Llamaremos grupo alternado de grado n al grupo Anformado por las permutaciones pares de Σn, es decir, al n´ucleo del homomorfismo sig. Por el teorema de isomorf´ıa, Σn/An ∼={1, −1}, luego |Σn : An| = 2, es decir,
Cap´ıtulo X
Matrices y determinantes
Recordemos que nuestra intenci´on es estudiar anillos comoZ√−2y hasta ahora s´olo tenemos una teor´ıa razonable sobre cuerpos comoQ√−2. La raz´on es que la teor´ıa de cuerpos se apoya en la teor´ıa de espacios vectoriales, mientras que el an´alogo para anillos es la teor´ıa de m´odulos, que no es tan potente o, al menos, requiere razonamientos m´as delicados para conseguir resultados que en el caso de espacios vectoriales son mucho m´as simples. En este cap´ıtulo introduciremos dos poderosas herramientas de la teor´ıa de m´odulos con las que finalmente estaremos en condiciones de abordar los anillos num´ericos.
10.1
Matrices
Definici´on 10.1 Sea A un anillo unitario y m, n n´umeros naturales no nulos. Una matriz m× n sobre A es una aplicaci´on B : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} −→ A. Escribiremos bij en lugar de B(i, j) y tambi´en B = (bij). En la pr´actica escri- biremos los elementos de una matriz m× n dispuestos en m filas y n columnas as´ı: B = ⎛ ⎜ ⎝ b11 · · · b1n .. . ... bm1 · · · bmn ⎞ ⎟ ⎠
Llamaremos Matm×n(A) al conjunto de todas las matrices m× n sobre A. Las matrices n× n se llaman matrices cuadradas. Escribiremos Matn(A) en lugar de Matn×n(A).
Evidentemente dos matrices B = (bij) y C = (cij) son iguales si y s´olo si tienen las mismas dimensiones m× n y bij = cij para todo par de ´ındices i, j.
Podemos identificar los elementos de An con las matrices 1× n, es decir, con las matrices con una sola fila y n columnas. A estas matrices se las llama
matrices fila. Cuando A es un anillo de divisi´on se las llama tambi´en vectores
fila.
Por analog´ıa, las matrices m× 1, es decir, las matrices que constan de una sola columna, se llaman matrices columna o vectores columna cuando A es un anillo de divisi´on.
En las matrices fila y columna suprimiremos el ´ındice fijo, es decir, las re- presentaremos as´ı: (a1, . . . , an), ⎛ ⎜ ⎝ a1 .. . an ⎞ ⎟ ⎠
Llamaremos matriz traspuesta de una matriz B ∈ Matm×n(A) a la matriz
Bt∈ Mat
n×m(A) que resulta de intercambiar las filas de B por sus columnas, es decir, la componente (i, j) de Bt es la componente (j, i) de B.
De este modo, la traspuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa. Claramente Btt= B.
Una matriz cuadrada B es sim´etrica si B = Bt, es decir, si b
ij = bji para todo par de ´ındices i, j.
La fila i-´esima de una matriz B es la matriz fila Bi = (bi1, . . . , bin). La
columna j-´esima de la matriz B es la matriz columna
Bj= ⎛ ⎜ ⎝ b1j .. . bm,j ⎞ ⎟ ⎠
luego, en este sentido, una matriz m× n tiene m filas y n columnas.
Llamaremos matriz nula de orden m× n a la matriz m × n que tiene todas sus componentes iguales a 0.
Llamaremos diagonal principal de una matriz cuadrada B ∈ Matn(A) a la
n-tupla (b11, . . . , bnn).
Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si tiene nulas todas sus com- ponentes que no est´an en la diagonal principal.
Una matriz diagonal es una matriz escalar si tiene todas sus componentes de la diagonal principal iguales entre s´ı.
La matriz identidad de orden n es la matriz escalar n×n cuyas componentes de la diagonal principal son iguales a 1. La representaremos por In.
Si definimos la delta de Kronecker mediante
δij =
1 si i = j 0 si i= j entonces In= (δij).
Ahora definimos unas operaciones con matrices:
Si B = (bij) y C = (cij) son matrices m× n, llamaremos B + C a la matriz
m× n dada por B + C = (bij+ cij).
Si B = (bij) es una matriz m× n y a ∈ A, llamaremos aB a la matriz m × n dada por aB = (abij).
10.1. Matrices 159 Con estas operaciones Matm×n(A) se convierte en un A-m´odulo libre de rango mn. Una base la forman las mn matrices que tienen un 1 en cada una de las posiciones posibles y las restantes componentes nulas.
La estructura de A-m´odulo en los espacios de matrices fila no es sino la estructura usual en los espacios An.
Finalmente definimos el siguiente producto de matrices:
Si B ∈ Matm×n(A) y C ∈ Matn×r(A), la matriz BC ∈ Matm×r(A) es la que tiene en la posici´on (i, j) el elemento nk=1bikckj.
Es pura rutina comprobar las propiedades siguientes (que se cumplen cuando las dimensiones de las matrices son las apropiadas):
B(CD) = (BC)D. B(C + D) = BC + BD.
(B + C)D = BD + CD.
BIn= ImB = B.
Si A es conmutativo (BC)t= CtBt.
En general, el producto de matrices no es una operaci´on interna en el con- junto Matm×n(A), pero s´ı lo es en los espacios de matrices cuadradas. Los espacios Matn(A) son anillos unitarios con la suma y el producto de matrices. Salvo en casos triviales no son conmutativos. La aplicaci´on que a cada elemento
a∈ A le asigna la matriz escalar aInes un monomorfismo de anillos, con lo que podemos identificar los elementos de A con las matrices escalares, y as´ı A es un subanillo de Matn(A). El producto de una matriz por el elemento a coincide con el producto por la matriz aIn.
Vamos a dar una interpretaci´on de todo esto en t´erminos de m´odulos. Sea M un A-m´odulo libre de rango finito n. Una base ordenada de M es una n-tupla B = (u1, . . . , un) tal que u1, . . . , un forman una base de M .
Llamaremos sistema de coordenadas asociado a la base ordenada B a la aplicaci´on ΦB : M −→ An que a cada elemento m ∈ M le asigna la n-tupla (a1, . . . , an) tal que m = a1u1+· · · + anun. A ΦB(m) se le llama n-tupla de
coordenadas de m respecto a la base B.
Sea f : M −→ N un homomorfismo entre m´odulos libres de rangos m y n respectivamente. Sean B = (u1, . . . , um) y B = (v1, . . . , vn) bases ordenadas de M y N . Para cada ui existen unos ´unicos elementos aij ∈ A tales que
f (ui) = nj=1aijvj.
Llamaremos matriz asociada a f en las bases B y B a MB
B(f ) = (aij), es decir, a la matriz que tiene por filas a las coordenadas en la base B de las im´agenes de los miembros de la base B.
Teorema 10.2 Sea f : M −→ N un homomorfismo entre A-m´odulos libres de rangos m y n respectivamente. Sean B y B bases ordenadas de M y N . Entonces MB
B(f ) es la ´unica matriz que cumple: ΦBf (u)= ΦB(u)MBB(f ),
Demostraci´on: Sean B = (u1, . . . , um) y B= (v1, . . . , vn), sea MB
B(f ) = (aij) y sea ΦB(u) = (x1, . . . , xm). Entonces u = mi=1xiui y
f (u) = m i=1 xif (ui) = m i=1 xi n j=1 aijvj= n j=1 m i=1 xiaij vj, luego ΦBf (u)= m i=1 xiaij = ΦB(u)MBB(f ). Si una matriz C cumple ΦB
f (u) = ΦB(u)C, entonces tomando u = ui la
n-tupla ΦB(u) es la que tiene un 1 en el lugar i-´esimo y 0 en los restantes. El producto ΦB(u)C no es sino la fila i-´esima de C, luego dicha fila i-´esima est´a formada por las coordenadas ΦB
f (ui)
, al igual que la fila i-´esima de MB B(f ). Por lo tanto C = MB
B(f ).
Definici´on 10.3 Si M y N son A-m´odulos libres de rangos m y n, llamaremos HomA(M, N ) al conjunto de todos los homomorfismos entre M y N . Fijadas dos bases ordenadas B y B de M y N respectivamente, tenemos definida una aplicaci´on
MBB : HomA(M, N )−→ Matm×n(A), que claramente es biyectiva.
En efecto, si MB
B (f ) = M B
B (g), entonces por el teorema anterior para todo elemento u de M , se cumple ΦB
f (u)= ΦB
g(u), luego ha de ser f (u) =
g(u) y por lo tanto f = g, la aplicaci´on es inyectiva. Por otra parte, dada una matriz C∈ Matm×n(A), por el teorema 7.31 existe f ∈ HomA(M, N ) que env´ıa a cada componente de la base B al elemento de N que en la base B tiene por
n-tupla de coordenadas a la correspondiente fila de C, con lo que MB
B(f ) = C.
Ejercicio: Calcular la matriz asociada a los automorfismos del cuerpo ciclot´omico
Q(ω), donde ω5= 1, respecto a la base ordenada (1, ω, ω2, ω3).
Si A es un anillo conmutativo, el conjunto HomA(M, N ) puede ser dotado de estructura de A-m´odulo de forma natural:
Definimos f + g como el homomorfismo que sobre cada m∈ M act´ua me- diante (f + g)(m) = f (m) + g(m), y si a∈ A, entonces af es el homomorfismo determinado por (af )(m) = af (m)(notar que si A no es conmutativo af no tiene por qu´e ser un homomorfismo).
Es f´acil comprobar que la aplicaci´on MB
B es un isomorfismo de m´odulos, es decir, que MB B (f + g) = M B B(f ) + M B B(g) y que M B B(af ) = aM B B(f ). Por ejemplo, si u∈ M, entonces
ΦB(u) MBB(f ) + MBB(g) = ΦB(u)MB B(f ) + ΦB(u)MB B(g) = ΦB f (u)+ ΦB g(u) = ΦB f (u) + g(u) = ΦB(f + g)(u),
10.1. Matrices 161 luego por la unicidad de 10.2, MB
B (f + g) = MB
B(f ) + MB
B(g).
Esto explica las definiciones que hemos dado de suma de matrices y producto de una matriz por un elemento de A: la suma de dos matrices es la operaci´on que nos da la matriz asociada al homomorfismo suma de los homomorfismos asociados a los sumandos, y similarmente con el producto por elementos de A. Respecto al producto de matrices, su interpretaci´on es la siguiente:
Teorema 10.4 Sean f : M −→ N y g : N −→ R homomorfismos de A- m´odulos libres de rango finito. Sean B, B y B bases ordenadas de M , N y R respectivamente. Entonces MB B (f◦ g) = MB B (f )MB B (g). Demostraci´on: Si u ∈ M , entonces
ΦB(u)MB B(f )M B B(g) = ΦB f (u)MBB(g) = ΦB gf (u) = ΦB (f◦ g)(u),
luego por la unicidad de 10.2, MB
B (f◦ g) = MB
B(f )MB
B(g).
El espacio HomA(M, M ) es un anillo unitario con la suma y la composici´on de aplicaciones. Acabamos de probar que la aplicaci´on MB
B es un isomorfismo. Notar que la matriz identidad se corresponde con la aplicaci´on identidad.
El lector debe tener presente que todas las propiedades sobre los conjuntos de matrices Matm×n(A) se traducen a propiedades de los espacios HomA(M, N ) a trav´es de los isomorfismos que hemos definido.
Definici´on 10.5 Una matriz C ∈ Matn(A) es regular si es una unidad del anillo Matn(A), es decir, si existe una matriz C−1 ∈ Matn(A) tal que CC−1=
C−1C = In. En tal caso la matriz C−1es ´unica y se llama matriz inversa de C. Una matriz cuadrada que no es regular es una matriz singular.
Una propiedad elemental es que si A es conmutativo y B es una matriz regular, entonces la matriz traspuesta Bttambi´en es regular y (Bt)−1= (B−1)t. En efecto, basta observar que (B−1)tBt= (BB−1)t= It
n= In, e igualmente en orden inverso.
Teorema 10.6 Si f : M −→ N es un homomorfismo entre m´odulos libres del mismo rango finito y B, B son bases ordenadas de M y N respectivamente, entonces f es un isomorfismo si y s´olo si MB
B (f ) es regular y, en tal caso, MB
B(f−1) = MB
B(f )−1.
Demostraci´on: Sea g ∈ HomA(N, M ) tal que g = f−1 si suponemos que
f es isomorfismo o tal que MB
B(g) = M B B (f )−1 si suponemos que M B B(f ) es regular.
En cualquier caso se cumple que MB B(f )M B B(g) = M B B(f◦ g) = In= MBB(I) y MB B(g)M B B(f ) = M B B(g◦ f) = In = MB
B(I), de donde se siguen las dos implicaciones.
Definici´on 10.7 Si B = (u1, . . . , un) y B = (v1, . . . vn) son dos bases ordena- das de un mismo A-m´odulo M , se llama matriz de cambio de base a la matriz MB
B = M B
B(I), donde I es la identidad en M . Claramente MB
B es regular y (MB
B )−1= MBB. La fila i-´esima de MB
B es ΦB(ui) y para todo m∈ M se cumple la relaci´on
ΦB(m) = ΦB(m)MB
B , es decir, el producto por MB
B transforma las coordenadas de m en B en las coordenadas de m en B.
Ejercicio: Sabemos que el cuerpo ciclot´omico Q(ω) coincide, para p = 3, con el
cuerpo cuadr´aticoQ√−3. Concretamente, ω =−1 +√−3/2. Calcular la matriz
de cambio de base asociada a1,√−3y (1, ω).
Terminamos las propiedades generales sobre matrices con las observaciones siguientes:
Teorema 10.8 Se cumple
1. Si A es un dominio ´ıntegro y B, C ∈ Matn(A) cumplen que BC = In,
entonces B y C son regulares y C = B−1.
2. Si A es un dominio ´ıntegro y B∈ Matm×n(A), C ∈ Matn×m(A) cumplen
que BC = Im, CB = In, entonces n = m, B y C son regulares y C = B−1. Demostraci´on: Sea K el cuerpo de cocientes de A. Entonces Matn(A) puede considerarse como un subanillo de Matn(K). Fijemos una base del espacio vectorial Kn y consideremos las aplicaciones lineales f , g : Kn −→ Kn cuyas matrices en la base considerada sean B y C respectivamente. Entonces la matriz de f◦ g es In, lo que significa que f◦ g es la aplicaci´on identidad. De aqu´ı se sigue que f es un monomorfismo, luego dim Im f = dim Kn = n. Por 7.26 tenemos que Im f = Kn, luego f es un isomorfismo y por el teorema anterior
B es regular. Multiplicando por B−1 en BC = In obtenemos que C = B−1. La prueba de 2 es an´aloga.