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A C A D E M I A S
A C A D E M I A S 53. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, exterior- mente se ubican D y E, tal que ACDE es cuadrado. Si AB = c, BC = a y m∠DBA = a, calcule Cscx. A) c2 + a(a+c) a+c B) c2 + 2a(a+c) a+c C) a2 + c(a+c) a+c D) a2 + 2a(a+c) 2a+c E) a2 + 2a(a+c) a+2c54. Se tienen las circunferencias C1 y C2 tangente exteriores en T; se trazan las rectas tan- gentes comunes exteriores AB y CD (A y C son puntos de tangencia con C1; B y D son puntos de tangencia con C2; si O es centro de C2. Cal- cular la razón de las áreas de las regiones triangulares OTC y TAB.
A) 1/3 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
55. Se tiene el romboide ABCD, en los lados BC y AD se ubican los puntos E y F, respectiva- mente, de modo que FE//AB, además BD ∩ FE = {L}. Si las áreas de las regiones cua- drangulares ABLF y LECD son 16 y 21 respectivamente. Calcular el área de la región limitada por el romboide ABCD.
A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
56. En la circunferencia circuns- crita a un triángulo ABC se traza la cuerda DE que in- terseca los lados AB y AC en M y N respectivamente y es tangente a la circunferencia inscrita en dicho triángulo, si: mDA = m AE , NC = 4,
MN = 3 y el área de la región cuadrangular BNMC es igual a 6 10. Calcular el inradio del triángulo ABC.
A) 3 2 10 B) 23 10 C) 10 2 D) 52 10 E) 4 2 10
57 En un cuadrado ABCD, por el vértice B se traza la recta L1, no secante al cuadrado y por el vértice D se traza la rec- ta L2 que interseca al lado AB en Q de modo que: L1 y L2 se intersecan perpendicular- mente en P, PB = b y la dis- tancia del vértice A a la recta L2 es a. Calcular el área de la región cuadrada ABCD. A) (a + b)2
B) (2a + b)2
C) (a + 2b)2
D) 2a2 + 2ab + b2
E) 2b2 + 2ab + a2
58 En la siguiente figura las dos circunferencias son con- gruentes de radio R. Halle el área de la región sombreada AO1B. A R R B O2 O1 A) R2 8(p–2) B) R 2 6(p–2) C) R2 4(p–2) D) R 2 2(p–2) E) R2(p–2)
59. En un triángulo ABC se tra- zan las cevianas BM y AN (M ∈ AC y N ∈ BC), dichas cevianas se intersectan en el punto Q. Si: MC = 2AM, BN = 2NC, área de la región triangular QBN es S1 y el área de la región cuadrangular QMCN es S2 entonces de S1 y S2 podemos afirmar: A) S1 > S2 B) 3S1 = 4S2 C) S1 = S2 D) 3S1 = 2S2 E) 4S1 = 5S2 60. En la figura O es el centro de la semicircunferencia, halle el área de la región sombreada.
A M O O1 B R R A) R2 8(p+1) B) R 2 7(p+1) C) R2 6(p+1) D) R 2 4(p+2) E) R2 2(p+1)
61. Calcular el área de la región de un trapecio ABCD inscri- to en una circunferencia, de modo que uno de sus diáme- tros es AD. Además se sabe que BC = 5 u y AD = 13 u. A) 48 u2 B) 50 u2
C) 52 u2 D) 54 u2
E) 56 u2
62. Del gráfico, calcule el área de la región sombreada en fun- ción a R. (DPMQ). R R Q M P A) R2 2 B) 2R2 C) R2 D) 3R2 E) R2 4
63. Halle el área de una región triangular equilátero en fun- ción de la longitud de un ex radio ra. A) 2r2 a B) 3r2a C) r2a 3 3 D) 3r2a 3 E) r2a 6 3
Guía de Repaso
GEOMETRÍA
GEOMETRÍA
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64. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ( ) Por un punto a exterior a
dos rectas alabeadas L1 y L2 se puede trazar una recta secante a L1 y L2. ( ) Si los ángulos entre una
recta y dos planos son congruentes, entonces di- chos planos son paralelos. ( ) Por un punto exterior a dos rectas alabeadas, siempre se puede trazar un plano paralelo a ambas rectas. A) FFF B) FVF C) VVV D) FFV E) VFV
65. Una recta PQ es perpendicu- lar a un plano H en el punto O. En dicho plano se trazan las rectas AB y CD que pasan por O y AB ⊥ CD, entonces: I. AB es perpendicular al
plano determinado por PQ y CD
II. DC es perpendicular al plano determinado por PQ y AB. III. PQ es perpendicular a BC. es (son) verdadera (s): A) Solo I B) Solo II C) I y II D) II y III E) I, II y III
66. Indicar el valor de verdad: ( ) Por tres puntos cualesquie-
ra pasa un plano.
( ) Una recta y un punto ne- cesariamente determinan un plano.
( ) Dos rectas que no se inter- secan, pueden determinar un plano.
( ) Tres rectas paralelas no coplanares determinan exactamente tres planos. A) FVFF B) FVVF C) VFFF D) FFVV E) VFVV
67. Se tiene un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABQ ubicados en planos perpendiculares. Si AB = 2, calcular la distancia de Q al punto medio de CD.
A) 6 B) 5 C) 7 D) 2 2 E) 3
68. Se tiene un rectángulo ABCD y un triángulo equilátero ABQ ubicados en planos perpendiculares. Si el ángulo entre QC y el plano del rec- tángulo mide 30 y QC = 2 3, calcular el área de la región rectangular ABCD.
A) 4 2 B) 6 3 C) 2 6 D) 3 5 E) 4 3
69. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 6; a un mis- mo del plano que lo contiene se trazan AE y CF perpendi- culares a su plano. Si AE=2 y CF=4, calcular la distancia del punto medio de EF hacia D. A) 5 B) 2 3 C) 3 3 D) 2 7 E) 6
70. En un triedro escaleno las medidas de las caras son nú- meros enteros y la suma de las medidas de dos de ellas es 89 veces la medida de la tercera cara. Halle el valor máximo de la suma de las medidas de las tres caras. A) 100 B) 150 C) 240 D) 270 E) 279
71. Los ángulos diedros de un triedro miden 102 y 42. Halle la diferencia entre el mayor y el menor valor entero que puede tomar la medida del tercer ángulo diedro.
A) 62 B) 72 C) 78 D) 82 E) 86
72. En un ángulo triedro dos ca- ras miden 110 y 120 respecti- vamente. Entonces la medida de la tercera cara puede ser. A) 9 B) 10 C) 17 D) 130 E) 131
73. KLMN – PQRS es un hexae- dro regular, A y B son los centros de las caras KLMN y PQRS respectivamente. Indi- que el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El ángulo poliedro A –
KBN, la suma de medida de sus caras es menor que 360.
II. En un triedro equilátero, un ángulo diedro puede medir 65. III. El triedro Q – PLM y el triedro N – KMS no son congruentes. A) FFF B) VVV C) FVV D) FVF E) VVF
74. En un triedro O – ABC, los ángulos diedros OB y OC mi- den 135 y la cara opuesta a OA mide 90. Calcule la medi- da del diedro OA.
A) 90 B) 100 C) 115 D) 120 E) 135
75. En un triedro O-ABC los die- dros OA y OB miden 73 y 37 respectivamente. Si se traza OM bisectriz del ángulo AOB y m∠AOM b m∠MOC, en- tonces la medida del diedro OC es.
A) 36 B) 55 C) 72 D) 106 E) 110
76. Si ABCD-EFGH es un cubo, P ∈ DB, tal que PD = 2(BP), calcule la medida del ángulo que determina EC y PF. A) 60 B) Arc CosJK L 30 16 N O P C) 53 D) Arc CosJK L 33 11 N O P E) Arc CosJK L 1 3 N O P