De acuerdo con [E 7.49], podr´ıamos decir que un homomorfismo de anillos A −→ B es “suave” si es plano, convierte a B en una A-´algebra finitamente generada y, para cada p ∈ EspA, la fibraB⊗Ak(p) es una k(p)-´algebra af´ın
geom´etricamente regular. Sin embargo, necesitamos generalizar estos conceptos (tanto la suavidad como la regularidad geom´etrica) eliminando la condici´on de finitud, y a ello dedicamos esta secci´on.
Definici´on 3.33 SeaAun anillo noetheriano yk⊂Aun subcuerpo. Diremos que A es geom´etricamente regular sobre k si A⊗k K es regular, para toda
extensi´on finitaK/k.
Observemos que si A es unak-´algebra de tipo finito, entonces EspA es un conjunto algebraico af´ın geom´etricamente regular en el sentido de la definici´on [E 7.23], pero la definici´on anterior no requiere la hip´otesis de finitud.
Por definici´on,A⊗kKes regular si y s´olo si lo es (A⊗kK)P, para cada ideal
maximalP. Observemos queA⊗kKes unaA-´algebra finita, luego entera, luego p=A∩Pes un ideal maximal deA, por [AC 3.63] (y todo ideal maximalpde Aes de la formap=A∩P). Adem´as, es claro que (A⊗kK)P= (Ap⊗kK)P,
donde P = Pp. Todo lo dicho vale igual para ideales primos en lugar de
maximales, luego hemos probado lo siguiente:
Teorema 3.34 Sea A un anillo y k ⊂ A un subcuerpo. Las afirmaciones si- guientes son equivalentes:
a) A es geom´etricamente regular sobrek.
b) Ap es geom´etricamente regular sobrek, para todo ideal primo pdeA.
c) Ap es geom´etricamente regular sobrek, para todo ideal maximalp deA.
El concepto de suavidad formal nos ayudar´a tambi´en a estudiar la regulari- dad geom´etrica debido al resultado siguiente:
Teorema 3.35 Sea A un anillo noetheriano local que contenga un cuerpo k0.
Seam su ideal maximal y k=A/msu cuerpo de restos. Si Aes m-suave sobre
k0, entonces A es geom´etricamente regular sobrek0.
Demostraci´on: Sea K/k0una extensi´on finita. EntoncesA =A⊗kK es
mA-suave sobreK por cambio de base. Sean un ideal maximal deA. Como A es unA-m´odulo finitamente generado, es entero sobreA, y [AC 3.63] implica que mA ⊂ n. Por consiguiente, si llamamosA = An y m =nA, tenemos que el homomorfismo A −→ A es continuo para las topolog´ıas mA-´adica y
m-´adica.
Por otro lado, el teorema 2.5implica que A es 0-llano sobre A, luego en particular esm-llano. Por transitividad concluimos queA esm-suave sobre K. Ahora bien,A es un anillo noetheriano local que contiene aK, luego, por
el teorema 2.23, sabemos que es regular. Como esto es v´alido para todo ideal maximalndeA, hemos probado queA es regular.
Puede probarse que el rec´ıproco tambi´en es cierto, pero es m´as complicado y no nos va a hacer falta. De momento podemos demostrar lo siguiente: Teorema 3.36 Si Aes un anillo noetheriano regular yk⊂A es un subcuerpo perfecto, entoncesAes geom´etricamente regular sobrek.
Demostraci´on: Sip es un ideal primo deA, tenemos queAp es regular y
k(p) es separablemente generado sobrek, luegoAp esp-suave sobrekpor 2.23,
luego es geom´etricamente regular por el teorema anterior. Como esto es cierto para todo primop, concluimos queAes geom´etricamente regular sobrek.
Definici´on 3.37 Diremos que un homomorfismo de anillos φ : A −→ B es
suavesi es plano y, para cadap∈EspA, la fibraB⊗Ak(p) es geom´etricamente
regular sobrek(p).
Tal y como hemos indicado, al comparar con [E 7.49] debemos tener presente que no exigimos queB sea unaA-´algebra finitamente generada.
Teorema 3.38 Si φ:A−→B es un homomorfismo suave de anillos, un ideal p∈EspB es regular si y s´olo si lo esP=φ−1[P]∈EspA.
Demostraci´on: El homomorfismo φP : AP −→ Bp es plano. Adem´as,
la fibra de p respecto a ´el es la misma que la fibra respecto de φ, que es geom´etricamente regular y, en particular, regular.
En estas condiciones, hemos de probar que AP es regular si y s´olo si lo
es Bp. Una implicaci´on es el teorema 3.25. Supongamos ahora que AP es
regular. El teorema [E 4.52] nos da la relaci´on dimBp = dimAP+dimBp/PBp.
La conclusi´on es inmediata: Como AP es regular, el ideal P est´a generado
por dimAP elementos, que tambi´en generanPBp y, unidos a un generador de
p/PBpcon dimBp/PBpelementos (que existe porqueBp/PBpes regular), nos
da un generador dep con dimBp elementos, luegoBp es regular.
Teorema 3.39 SeanA−→φ B−→ψ C homomorfismos de anillos. a) Si φy ψson suaves, entonces φ◦ψ tambi´en lo es.
b) Si φ◦ψes suave y ψ es fielmente plano, entoncesφes regular.
Demostraci´on: a) Sabemos que φ◦ψ es plano. Sea p ∈EspA y L una
extensi´on finita dek(p). Hemos de probar que el anilloC⊗ALes regular.
Como φes suave, tenemos que el anillo B⊗ALes regular. Por el teorema
anterior, basta probar queψ⊗1 :B⊗AL−→C⊗ALes suave.
Ciertamente, es plano. Si P∈Esp(B⊗AL) yF es una extensi´on finita de
luego hemos de ver que este anillo es regular. SiQ=P∩B, por la regularidad deψ, basta probar queF es una extensi´on finita dek(Q), lo cual se debe a que la extensi´onk(Q)/k(P) es finita, ya que B⊗AL es un B-m´odulo finitamente
generado.
b) Se cumple queB es plano sobreA, porque si M −→N es un monomor- fismo deA-m´odulos, tambi´en lo esM⊗AB⊗BC−→N⊗AB⊗BC, porqueC
es plano sobreA, luego tambi´enM ⊗AB −→N⊗AB, porqueC es fielmente
plano sobreB.
Tomemos nuevamente unp∈EspAy una extensi´on finitaLdek(p). Como antes, tenemos que B ⊗A L −→ C ⊗A L es suave, pero ahora sabemos que
C⊗ALes regular y queremos probar queB⊗ALtambi´en lo es. Nuevamente,
esto es consecuencia del teorema anterior, aunque ahora necesitamos tambi´en 1.24.
Teorema 3.40 Si A−→B es un homomorfismo suave de anillos y A es una
A-´algebra finitamente generada, entonces A−→B⊗AA tambi´en es suave.
Demostraci´on: SeaP∈EspAyP=P∩A. Seak=k(P) yK=k(P).
El homomorfismoA −→B⊗AAes plano por cambio de base. Hemos de probar
que la fibra deP es geom´etricamente regular o, lo que es lo mismo, que siLes una extensi´on finita deK, el anillo
B⊗AA⊗AK⊗KL=B⊗KL= (B⊗Ak)⊗kL
es regular. ComoK es finitamente generado sobrek, lo mismo le sucede a L. Por 3.29 existe una extensi´on finita puramente inseparablek/ktal queL=Lk es separablemente generada sobrek.
Observemos que (B⊗AA)⊗AL = ((B⊗AA)⊗A L)⊗LL es fielmente
plano sobre (B ⊗AA)⊗A L (por que L es plano sobre L). Si probamos
que (B⊗AA)⊗AL es regular, el teorema 3.25(aplicado a las localizaciones
del homomorfismo natural entre ambos, que induce una aplicaci´on suprayectiva entre sus espectros) nos da que (B⊗AA)⊗A Ltambi´en es regular, que es lo
que queremos probar.
Por hip´otesis,T =B⊗Ak es regular. Por otra parte, se cumple que
(B⊗AA)⊗AL=B⊗AL= (B⊗Ak)⊗kL=T⊗k L.
Basta probar que el homomorfismoT −→T⊗kL es suave, ya que entonces
T⊗k L ser´a regular por el teorema anterior. Esto se reduce a probar que las
fibras k(p)⊗T T⊗kL (parap ∈EspT) son geom´etricamente regulares o, lo
que es lo mismo, que si E es una extensi´on finita de k(p), entonces E⊗k L
es regular. Sea k ⊂ F ⊂ L, donde F = k(X1, . . . , Xn) es una extensi´on
puramente trascendente de k tal que L/F sea finita separable. Tenemos un monomorfismo
cuya imagen est´a formada por las fracciones con denominador enk[X1, . . . , Xn],
luego E⊗k F es isomorfo a una localizaci´on de E[X1, . . . , Xn], luego es un
dominio ´ıntegro regular.
Como E⊗k L =E⊗k F⊗F L, basta probar que si A es una F-´algebra
regular, yL/F es una extensi´on finita separable, entoncesA⊗F L es regular.
Por el teorema anterior, basta probar que el homomorfismoA−→A⊗FL es
suave, para lo cual, a su vez, basta probar que si E es una extensi´on de F, entoncesE⊗FL es regular.
Ahora bien, EspL es un conjunto algebraico geom´etricamente regular sobre F por el teorema [E 7.24], luego E⊗F L es regular por el teorema [E 7.29].
Como consecuencia obtenemos:
Teorema 3.41 Si f : A −→ B es un homomorfismo fielmente plano y suave entre anillos noetherianos y B tiene la propiedad J2, entonces A tambi´en la tiene.
Demostraci´on: Llamemos X = EspB, Y = EspA y consideremos el
homomorfismo de esquemas φ : X −→ Y asociado a f. Por el teorema 3.38 sabemos queφ−1[RegY] = RegX. El teorema 1.33 implica que RegXes abierto enX si y s´olo si RegY es abierto enY, es decir, queB tiene la propiedadJ1 si y s´olo si la tieneA. SiB tiene la propiedadJ2, el teorema anterior implica que Atambi´en la tiene.
Los homomorfismos suaves conservan m´as propiedades. Para mostrar m´as ejemplos necesitamos el teorema siguiente:
Teorema 3.42 Sea f :A −→B un homomorfismo plano entre anillos locales y sea m el ideal maximal deA. Entonces
pr(B) = pr(A) + pr(B/mB).
Demostraci´on: Sea n el ideal maximal de B. Consideremos una su-
cesi´on regular maximal x1, . . . , xr ∈ m y una sucesi´on B/mB-regular maxi-
mal y1, . . . , ys ∈ n. Llamemos xi a la imagen de xi en B y probemos que
x1, . . . , xr, y1, . . . , ys∈nes una sucesi´on regular maximal de B.
Como la multiplicaci´on por x1 es un monomorfismoA −→AyB es plano sobre A, la multiplicaci´on por x1 es un monomorfismo B −→ B, luego x1 es regular enB. Ahora tenemos en cuenta quex2no es un divisor de cero deA/x1A y concluimos quex2 no es un divisor de cero deA/x1A⊗AB∼=B/x1B, luego x1, x2 es tambi´en una sucesi´on regular. Procediendo de este modo, llegamos a quex1, . . . , xres una sucesi´on regular.
LlamemosAr=A/(x1, . . . , xr). Entonces m∈AsA(Ar) y
Ar⊗AB ∼=B/(x1, . . . , xr).
El teorema [AC A.15] nos da que y1 es regular enB y queB/y1B es plano sobreA, luego la sucesi´on exacta
nos da (por [AC A.3]) una sucesi´on exacta
0−→Ar⊗AB−→Ar⊗AB−→Ar⊗A(B/y1B)−→0.
Esto prueba que la sucesi´on x1, . . . , xr, y1 es regular. Ahora aplicamos [AC A.15] ay2y al anillo B/y1B, ya que
(B/y1B)
m(B/y1B)∼=B/(m+ (y1))B∼= (B/mB)
y1(B/mB), y sabemos quey2 no es un divisor de cero del ´ultimo cociente. Concluimos que y2es regular enB/y1By queB/(y1, y2)Bes plano sobreA, de donde, razonando como antes, concluimos que x1, . . . , xr, y1, y2 es una sucesi´on regular. Tras un
n´umero finito de pasos, llegamos a que x1, . . . , xr, y1, . . . , ys es regular. Falta
probar que es una sucesi´on maximal o, lo que es lo mismo, que si llamamos Bs=B/(y1, . . . , ys), el cociente
B/(x1, . . . , xr, y1, . . . , ys)∼=Ar⊗ABs
tiene profundidad 0 o, lo que es lo mismo, quen∈As(Ar⊗ABs). Ahora bien,
esto es consecuencia inmediata de 1.9, que nos da la f´ormula AsB(Ar⊗ABs) =
p∈As(Ar)
AsB(Bs/pBs)
y, ciertamente,n∈AsB(Bs/mBs).
Teorema 3.43 Sea f : A −→ B un homomorfismo fielmente plano y suave entre anillos noetherianos. EntoncesA cumple la propiedad Ri oSi de 1.15si y s´olo si la cumpleB.
Demostraci´on: Sea p ∈EspA y tomemos P ∈EspB minimal entre los
primos que cumplenP∩A=p. Seak=k(p). Entonces, la fibra depAprespecto
del homomorfismoAp −→BP contiene ´unicamente al idealPBP, es decir, que
BP⊗Aks´olo tiene un ideal primo, por lo que dim(BP⊗Ak) = pr(BP⊗Ak) = 0.
El teorema [E 4.52] nos da que dimBP= dimAp, y el teorema anterior nos da
que prBP= prAp.
Si B cumple la propiedadSi, entonces
prAp= prBP≥m´ın{i,dimBP}= m´ın{i,dimAp},
luegoAtambi´en cumpleSi.
SiBcumple la propiedadRiy suponemos que dimAp≤i, entonces tambi´en
dimBP ≤i, luego BP es regular, y Ap tambi´en lo es por 3.38. As´ı pues, A
tambi´en cumpleRi. Observemos que en estas implicaciones no hemos usado la
suavidad def.
Supongamos ahora queAcumpleSi. SeaP∈EspB y llamemosp=P∩A,
k=k(p). Sabemos que la fibraB⊗Ak∼=BP⊗Apkes regular, luego tambi´en cumple la propiedadSk. Por el teorema anterior,
prBP= prAp+ pr(BP⊗Apk)≥m´ın{i,dimAp}+ m´ın{i,dim(BP⊗Apk)} ≥m´ın{i,dimAp+ dim(BP⊗Apk)}= m´ın{i,dimBP},
Si A cumple Ri y dimBP ≤ i, entonces dimAp ≤ dimBP ≤ i (porque
fP es suprayectivo), luego Ap es regular y BP tambi´en lo es por 3.38. Por
consiguiente,B tambi´en cumpleRi.
En particular, los teoremas 1.16 y 1.18 nos dan que, en las condiciones del teorema anterior,Aes reducido o normal si y s´olo si lo esB.