3. Análisis No-Lineal
3.3. Relaciones Constitutivas Cíclicas Uniaxiales
3.3.1. Hormigón
En la literatura existen varias propuestas de curvas de esfuerzo deformación para el hormigón (Kent & Park 1971, Popovics 1973, Tsai 1988, Sheikh & Uzumeri 1980, Hoshimuka et al. 1997, Akiyama et al. 2010). La relación cíclica escogida es la de Chang & Mander (1994) predefinida en OpenSees como “Concrete07” y se basa en
81 dos de estas curvas mencionadas, las que se definen usando valores normalizados para deformaciones, tensiones y módulos de elasticidad (tangentes):
En compresión: 𝑥 = 𝜀𝑐 𝜀𝑐𝑐′ 𝑦 = 𝑓𝑐 𝑓𝑐𝑐′ 𝑛 = 𝐸𝑐𝜀𝑐𝑐′ 𝑓𝑐𝑐′ (3-1) En tracción: 𝑥 =𝜀𝑐 − 𝜀𝑡𝑜 𝜀𝑡′ 𝑦 = 𝑓𝑐 𝑓𝑡′ 𝑛 = 𝐸𝑐𝜀𝑡′ 𝑓𝑡′ (3-2) Dónde: 𝑥 = Deformación normalizada 𝜀𝑐 = Deformación
𝜀𝑡𝑜 = Desfase de la deformación por tracción
𝜀𝑐𝑐′ = Deformación en el esfuerzo de compresión máximo
𝜀𝑡′ = Deformación en el esfuerzo de tracción máximo
𝑦 = Esfuerzo normalizado
𝑓𝑐 = Esfuerzo
𝑓𝑐𝑐′ = Esfuerzo de compresión máximo
𝑓𝑡′= Esfuerzo de tracción máximo
𝑛 = Módulo de elasticidad normalizado
𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad inicial
La primera relación considerada es la de Popovics y se basa en 3 parámetros, módulo de elasticidad inicial(𝑛), esfuerzo de compresión máximo (𝑦) y deformación (𝑥):
𝑦 = 𝑟𝑥
𝑟 − 1 + 𝑥𝑟 𝑟 =
𝑛
𝑛 − 1 (3-3)
La segunda relación es la ecuación de Tsai y se basa en 4 parámetros, los 3 anteriores más uno que controla el comportamiento después de alcanzar el esfuerzo máximo, 𝑟 (𝑟𝑝 en tracción y 𝑟𝑛 en compresión).
82 𝑦 = 𝑛(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝐷(𝑥) = { 1 + (𝑛 − 𝑟 𝑟 − 1) 𝑥 + 𝑥𝑟 𝑟 − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 ≠ 1 1 + (𝑛 − 1 + ln(𝑥))𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 1 (3-4) Para el caso de 𝑟 = 𝑛
𝑛−1 Tsai se simplifica en Popovics. Sin embargo, ambas ecuaciones
predicen esfuerzos distintos a 0 para deformaciones distintas a 0, por lo que no toman en cuenta los efectos de agrietamiento. Para que el modelo tome en cuenta estos efectos se define una deformación normalizada crítica 𝑥𝑐𝑟, a la cual la relación de esfuerzo- deformación es reemplazada por una degradación lineal hasta el esfuerzo 0. Cuando el hormigón alcanza el esfuerzo 0 en tensión durante la degradación lineal, el modelo considera la fibra agrietada y no es capaz de soportar más esfuerzos. De la misma forma, cuando el modelo alcanza el esfuerzo 0 en compresión, el modelo considera que la fibra de hormigón está aplastada y tampoco es capaz de resistir más esfuerzos. El trabajo de Denavit recomienda utilizar la ecuación de Popovics para efectos de diseño y la de Tsai para modelar el comportamiento. La curva de Tsai es más precisa al modelar el comportamiento de hormigón confinado, ya que el valor de 𝑟 permite controlar el comportamiento de la curva después de alcanzar la tensión máxima. Para efectos de este trabajo se usa la ecuación de Tsai.
Figura 3-2 Curva Típica de un Modelo de Hormigón
3.3.1.1. Módulo de Elasticidad
Existen varias propuestas para el módulo de elasticidad inicial del hormigón. Para este trabajo se usa la relación simplificada propuesta por la ACI para hormigón de peso normal:
83
3.3.1.2. Hormigón en Compresión
Se ha demostrado que la deformación del hormigón al alcanzar el esfuerzo máximo para concreto no confinado es una función de la resistencia a la compresión. Chang y Mander (1994) recomiendan utilizar la siguiente ecuación:
𝜀𝑐′ = 𝑓𝑐
′[𝑀𝑃𝑎]14
1150 (3-6) El confinamiento provisto por el tubo de acero en columnas CFT aumenta tanto la resistencia como la ductilidad del hormigón, lo que se puede modelar estimando la presión simétrica de confinamiento 𝑓𝑙 basándose en propiedades de los materiales y
geométricas de la sección.
Este aumento de la resistencia está asociado al efecto Poisson, pero como el coeficiente de Poisson es mayor en el acero, el tubo se expande a un ritmo mayor que el hormigón de relleno, por lo que el contacto necesario para generar confinamiento no se produce. Sin embargo, a medida que la carga sobre el elemento aumenta, aumenta la microfisuración del hormigón lo que aumenta la tasa de expansión lateral del hormigón hasta que eventualmente se produce el contacto entre las superficies. Experimentos han demostrado que en columnas CFT circulares este efecto ocurre a tiempo para generar un aumento en la resistencia, por lo que aumenta la capacidad en compresión. Para columnas rectangulares no se observa este aumento en la resistencia, en parte debido a la deformación del tubo debido a la presión del hormigón, pero si se observa un aumento en la ductilidad.
Por lo tanto, para columnas CFT rectangulares en el modelo no se considera un incremento del esfuerzo de compresión máximo del hormigón:
𝑓𝑐𝑐′ = 𝑓𝑐′ (3-7)
Para la deformación al alcanzar la compresión máxima se utiliza la ecuación (3-6) de Chang y Mander para hormigón sin confinar. En al valor de 𝑟𝑛 que controla el comportamiento de la curva de esfuerzo-deformación al alcanzar el esfuerzo máximo se utiliza la ecuación propuesta por Chang y Mander (1994):
𝑟𝑛 =
𝑓𝑐′[𝑀𝑃𝑎]
84 3.3.1.3. Hormigón en Tracción
Normalmente la resistencia a tracción del hormigón se desprecia, sin embargo el modelo busca acercarse a la realidad y el considerar la resistencia a la tracción ha demostrado mejorar la precisión de los modelos no lineales en elementos compuestos [Gourley y Hajjar 1994]. La forma de la curva de tracción es similar a la usada en compresión tanto para la ecuación de Popovics como la de Tsai, sólo cambian los parámetros usados: 𝑓𝑡′[𝑀𝑃𝑎] = 0.5√𝑓 𝑐′[𝑀𝑃𝑎] (3-9) 𝜀𝑡= 1.23 𝑓𝑡′ 𝐸𝑐 (3-10) 𝑟𝑝= 4 (3-11)
La deformación crítica 𝑥𝑐𝑟 a la que el hormigón comienza a degradarse linealmente
está dada por:
𝑥𝑐𝑟 = 2
(3-12)
3.3.1.4. Parámetros del Modelo de Hormigón
La siguiente tabla resume los parámetros usados para el hormigón modelado con la ecuación de Tsai:
Tabla 3-1 Parámetros Modelo de Hormigón
Parámetro Ecuación Valor
𝑓𝑐𝑐′ 𝑓 𝑐𝑐′ = 𝑓𝑐′ −250 [ 𝐾𝑔𝑓 𝑐𝑚2] 𝐸𝑐 𝐸𝑐[𝑀𝑃𝑎] = 4700√𝑓𝑐′[𝑀𝑃𝑎] 235000 [ 𝐾𝑔𝑓 𝑐𝑚2] 𝜀𝑐′ 𝜀𝑐′ = 𝑓𝑐′[𝑀𝑃𝑎]14 1150 0.00194 𝑟𝑛,𝑝𝑟𝑒 𝑟𝑛 = 𝑓𝑐′[𝑀𝑃𝑎] 5.2 − 1.9 2.9077 𝑓𝑡′ 𝑓 𝑡′[𝑀𝑃𝑎] = 0.5√𝑓𝑐′[𝑀𝑃𝑎] 25 [ 𝐾𝑔𝑓 𝑐𝑚2] 𝜀𝑡 𝜀𝑡 = 1.23𝑓𝑡 ′ 𝐸𝑐 0.000131 𝑟𝑝 𝑟𝑝 = 4 4 𝑥𝑐𝑟 𝑥𝑐𝑟 = 2 2
85 Una explicación más detallada de las reglas del modelo de Hormigón usado puede encontrarse en el documento “Nonlinear analysis of T-shaped concrete walls subjected to multi-directional displacements” [Waugh, 2009].
Figura 3-3 Comportamiento Cíclico Completo del Modelo de Hormigón de Chang & Mander [Waugh, 2009]