FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
ANÁLISIS DE RESULTADOS
4.1 IMPLEMENTACIÓN DE UNA ESTRATEGIA
Estrategia Implementada en la preparatoria 29 en el grupo de un primero grupo tres.
PROBLEMATICA: Los alumnos no trabajan adecuadamente la factorización y los productos notables en el primer semestre, no logran la conceptualización del tema, esto les genera problemas en el transcurso de todo el nivel preparatoria, pues su uso es constante en todos los semestres subsecuentes. Lo que los lleva a la incomprensión, desinterés y como última parte a la reprobación de temas, primero unidades y finalmente de la materia. Estos temas que empiezan a abordar en el nivel secundaria y se trabajan más abiertamente en preparatoria, como ya se dijo son básicos en la enseñanza de asignaturas posteriores como el algebra, trigonometría, geometría analítica, cálculo.
Generalmente se tiene que recurrir al repaso o replanteamiento de los procedimientos de factorización y productos notables.
De lo anterior, deducimos que nuestro problema central es la conceptualización para un aprendizaje y manejo adecuado de los productos notables y la
factorización de expresiones algebraicas. Los objetivos de nuestro proyecto son:
Que el alumno identifique la naturaleza de los productos notables.
Que los alumnos identifiquen los productos notables a través del uso de modelos geométricos y planteamientos de problemas.
Que identifiquen la estructura de los productos notables y sus respuestas.
Que factoricen diversas expresiones utilizando productos notables.
Que apliquen sus conocimientos sobre productos notables en diversas ramas de las matemáticas y con variadas expresiones.
Las mayores dificultades para la enseñanza del tema específico que elegido fueron:
El que la resolución de problemas no ha sido el tema central en el modelo clásico del estudiante, por lo que, el estudiante espera recibir la información digerida “que necesita” para dar solución al planteamiento.
Es en las tareas de asociación entre lo gráfico y lo algebraico, donde se detectaron mayor número de dificultades para que la mayoría de los alumnos establecieran una decodificación adecuada.
Aportación a la problemática de la enseñanza los resultados obtenidos:
El que las tareas se ven como problemas o dificultades a ser resueltas y no como una habilidad a mecanizar, donde el uso el uso apropiado de los métodos de solución depende mucho de la lógica del estudiante y no solamente del maestro.
La notable transformación del discurso entre maestro-estudiante, que nos lleva a reconocer por parte del que aprende, una elaboración estructurada de representaciones matemáticas que le dan coherencia a un conocimiento.
El rescatar el conocimiento de las concepciones matemáticas que los estudiantes traen al salón de clases, para implementar estrategias que ayuden a los estudiantes a cuestionar tales concepciones y se les induzca a la búsqueda de explicaciones como procesos naturales del quehacer matemático.
Modificaciones que haría a su actividad para mejorar su implementación:
En el planteamiento de problemáticas agregaría datos adicionales que le permitan al alumno desarrollar la habilidad de seleccionar la información pertinente.
El diseñar un programa computacional con el cual el alumno pudiera manipular los cuadrados y rectángulos para facilitar la generalización.
Las mayores dificultades de aprendizaje que presentaron los estudiantes en el desarrollo de la actividad fueron:
El que muestren una disposición matemática para resolver la problemática presentada, es básico plantear algunas preguntas que permitan a los estudiantes participar en una discusión matemática para que se pueda dar esa disposición y así saber hasta donde el estudiante ha logrado conceptualizar el problema.
FORMATO DEL DISEÑO DE LA ACTIVIDAD.
Nombre: Fecha:
Ejercicio: Productos Notables y Factorización.
• Utiliza los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones. 1. ( +3)2 = x 2. 2 2+(3 +1)2 = x x
• Factoriza los siguientes polinomios. 3. 2x2 +12x−110=
4. 3x2 −39x+120=
• Aplica productos notables para obtener las siguientes raíces numéricas: 5. 4072=
6. 29973=
• Responde (atrás de la hoja).
7. ¿Qué entiendes por productos notables?
CUADRADOS Y RECTANGULOS
¿A qué es igual el área del cuadrado grande en la figura?
Antes de leer lo siguiente, imagina una manera de resolver el problema. Discútelo con tus compañeros y profesor.
1. De acuerdo con la figura, ¿cuánto miden los lados del cuadrado grande?
2. ¿cómo se calcula el área de un cuadrado? ¿cuál es el área del cuadrado grande de la figura?
3. ¿cuál es el área del cuadrado que tiene lado a? 4. ¿cuál es el área del cuadrado que tiene lado b?
5. ¿cómo se calcula el área de un rectángulo?¿cuál es el área de los rectángulos de la figura?
6. De acuerdo con la figura, ¿qué relación hay entre las áreas que encontraste?
AREA TEMATICA: Algebra
TEMA PRINCIPAL: Productos notables y factorización TEMAS RELACIONADOS: Geometría (áreas compuestas) CONTENIDO PRINCIPAL: Productos notables
CONTENIDOS RELACIONADOS: Cálculo de áreas
b b a a SITUACIÓN DEL PROBLEMA ESTRATEGIA DE SOLUCION
7. Escribe la expresión algebraica que representa esa relación.
Se llaman productos notables algunos productos utilizados muy frecuentemente y que conviene aprender de memoria o identificar sus características en común para no tener que realizar cada vez la multiplicación.
Antes de ver cuáles son esos productos, trata de encontrar el área de los siguientes rectángulos.
¿Qué expresión resulto?
Prueba con números, designa valores diferentes para b y c, ¿qué sucede? ¿qué encuentras en común en las expresiones que obtuviste?
¿Podrás decir cuál es el área de un cuadrado de lado x + 6 sin tener que dibujarlo?
¿Qué crees que resultaría para una expresión como (x + 6) (x - 6)?
Discute con tus compañeros las respuestas y traten de establecer conjeturas en el grupo.
GENERALIZACION c b a a FORMALIZACION
Ya dijimos que son productos notables aquellos que poseen características que nos permite calcularlos rápidamente sin tener que hacer las multiplicaciones cada vez.
Binomios al cuadrado (Cuadrado de una suma o de una diferencia). Es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. ¡Eso resulto en tu primer ejemplo!
Binomios conjugados (producto de la suma por la diferencia de dos cantidades). Es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. ¿Ya identificaste en qué ejemplo te resulto esto?
Producto de dos binomios con un término común. Es igual al cuadrado del término común más la suma de los dos términos no comunes por el término común más el producto de los términos no comunes. ¡Como en tu segundo ejemplo!
I. Factoriza el siguiente polinomio 25x2 −49y2 1. ¿Qué significa factorizar un polinomio?
2. Observa cuidadosamente el polinomio dado, ¿puedes identificar una propiedad que tienen los dos términos de este polinomio?
3. Conociendo los productos notables, ¿puedes reconocer de donde viene el polinomio25x2−49y2?
4. ¿Qué operaciones deberías efectuar para factorizar el polinomio de acuerdo con el producto notable que identificaste en el inciso 3?
5. Una vez efectuadas las operaciones, ¿cómo se factoriza el polinomio?
II. Factoriza el polinomio 4 2 12 9 2
y xy
x − +
1. Observa con cuidado el polinomio, ¿qué característica común tienen el primer y tercer término?
2. ¿Puedes reconocer de qué producto notable podría provenir el polinomio? ¿De que forma podrás comprobarlo?
3. ¿Qué operaciones deberías realizar con el primer y tercer término del polinomio para poder expresarlo como un producto notable?
4. ¿Cuál sería la factorización si el término negativo del polinomio fuera positivo?
Los alumnos necesitan ejercitarse en la utilización de los productos notables, ya sea para desarrollar expresiones algebraicas como las siguientes:
) 5 3 )( 5 3 ( ) 2 )( 2 ( ) 3 2 ( ) 3 ( 2 2 + − − + + + x x x x x x
o bien para agilizar los cálculos en expresiones más complicadas: 2
2 (3 1)
2x + x+ (2x+1)2 −(x−3)2 (5x−3)2 −(2x+1)(2x−1)
Las aplicaciones de los productos notables al cálculo numérico servirán al profesor para enriquecer y hacer más interesante la clase y a los alumnos para practicarlos y acostumbrarse a ellos:
3052 =(300+5)2 =3002+2 5 300+52 =90000+3000+25=93025
x x