que queremos mostrar qve tdos lc ordinales poscen una cierta propiedad. üCómo hacerlo? No sc pr¡cdc ir caso por c8so, ni sc puede corcidcrar cl conjuno de todc lc ordinales porguc 'ta natural e.?a no cxiste'. Para satvar cstas dificultade* el principio dc inductión matemáticq contiene dc momentos:
(l) Una verificación tte que 0 tiene la propiedad P.
(2) Una demosrración: "Si todos los ordinales que preccden a un ordinal cualquiera W tiene la propiedad B entonces W también la posee'.
tlQuién nos autoriza el pa.so al todos? Entoncesr segun demostración de Radiou, se invierte todo el planteamiento dc Peano. "El principio de inducción no es un axioma sino un teorema".r€
Sobre los Todos:
El momento segundo es mils complejo tle lo que pudiera parecer. hresto que
't As¡, v. gr.. Puno. 'P<¡no
cr¡rrsidcr¡ dicbo princi¡io cuno un ¡rioo¡ dc lr Ari¡rnéticr, pcro oo dcscarte la pxibilidul dc qr¡c purb aplicarre ¡ olr(rs dominicsr cr¡rnlo lts símtx¡hr primitivur nr¡bco olra intcrprct¿cicx¡ quc l¿t &l ccro, númcrr¡ y srn's{rr. 'VELARDEJ.:'(iomcoltryía
dc le lógic! }vrurü filmd¡8 dc l¡s lógic¡r'. El fusililr.o, lr. nt5. 1tI18, p. 9.
'tt 'Ptirrcué ha gcncraliz¿do inr¡¡cdbtlmcntc. Ha ¡resarto dc h r*xcrvación dcl fr(rs) cn la At¡tmétice clcmcntal a alribuir lo t¡trrcrvalqr ¡ tulo cl hrccr m¡tcmáti¡r.rst¡ crtr¡Ftac¡óo r bs ¡l¡¡
más n¡ublc cu¿rndt¡ ¡firm¿: .A c¿rJ¡ Frr\ s¡ * rñrcrv¡ bicn. sc v¡rclvc a hall¡r cs¡c mrdo dc razr¡oarnicolr¡. scl cn la frrm¡ rimplc qtlc ac¡b¡mrx dc d¡rlc. sa¡ cn u¡¡ frrm¡ mI¡ o 6co(D mrxlific¿rf¡.'. Cfr. LORENZ()J.:kt lilosollo dc... op. cir.. p. 7(1.
t' Dcfinic¡ón l. hincipio dc minim¡tiütl: D¡rh una pnpbdarl P cua\uicra, si r¡¡ rrdin¡l prrrx csra proficrlrd P, cnttnc<s c¡is¡c uo rxliul rnór pcgucóo qrr tembión lr prrr. (O bicn: Hey úmprc un múltipio nátursl quc cs cl soprrtc minimal rlc un¡ propitxtat).
Prt4*dad: E*¡tuto kr¡|. Justif¡(xión: l¿ tr¡nsirivid¡d dcl crniunro rlc txrlin¡lcs dc. Vtn Ncumann.
--- l¿. Si lrxltx kx ordi¡ulcs rnás ¡n¡rrórx q¡¡c un orrlinal d¡do ticren le prt4*rlal P. cnurrcs el onlinal h prx.
--- tb. a ticne la pn4i:dad P.
2. Supn¡;amtr quc c.s f¡lso quc trdrx kx onlirr¡lcs Fxccn le prr4ilad P.
3.'Entr¡nccs hry uo ordi¡r¡l ¡l mcnrn,quc no FH)c c$¡ pr()f*dtd
4. Fs¡c rrdin¡l tc¡drh cnlorcs b po¡idrt NoP. (NoP = o) . tnúüi:nrmiCt 5. Si cxigc t¡o o¡dinel qrrc ticrc la pro¡*xbd Nc-P -= ¿. crLrc un g:qucno o¡din¿l qrrc oo ticr
la propirxlad P, dcnttémrnla pn a'. lDcfrnicilh ll
l¡. Por c(ns¡gu¡cntc, ltltx ltx qrr s¡n mls poqrcñtn qcrc ¿'ticrrn lr pro¡i:drl p.
7. u' ¡t> pr¡cdc rcr cl v¿cfo, pucsto quc o ticrc l¡ pro¡ixlad P.
tl. ¿'ha dc scr e$rn ordirul.
9 C'r¡niradicciftr cntrc la y tt.
l0 Luq4o cs fal:ta la hiy'rcús suhsidi¡ri¡ ?.. y trxftx kx txrlirulcs fxrsc:cn la prtryi1rlad P.
I bklen. p. I 1.1.
sftó
tencmc dos tipoo do ontin¡t* sugxgrs¡ y tf¡nitcs, cstc momcnto esurá cn firnción dc's¡ es dc un üpo o de otro 'I¡0 procd¡trt¡cntc dc pcrsamicnto y denrctración puestc en iucgo en b dc cas6 ¡on de hccho muy hctcrqgénec'.tc Neccs¡t8rni sabcr có¡no estf¡r comtruidos operatorialrcntG cstos ordin¡lcs.
una suoesión: q n+ l,n+2+...+(n+n)+-.n lm términos sc van acumulando de forma quc un clcmento sc unc a las scrie qucda por asf dccir, disr¡clto en ell¡t o¡no las pancs de oro quedan disueltas en la bsra dc oro. Si sc aitadc ouo clemento sc comienza de nucvo rcspecto de lo ¡ra aormulado, un'conlcnzar de nuevo'que ponc de relicve Badiou.
(b) En el caso de lc ordinalcs lfmite. su modo de operariyidad et¡
distrifutiva. Como no liencn marimal podenrc ir intercalando infinitos ordinales:
wr€\trAtrte ... eL Pero esos números no se aa¡mular\ sino que es la manera de alcanzar el canicter abstracto, no an¡mulativq sino distriburivo ¡te esas propiedades cpn las que se trata de catificar la serie. Así entre w¡ t L hay infinitm W. que rcciben distributivamentc la propiedad: w,,...w.,...w¡,-.,w¡,--L
[-a pregunta ha de scr, por consiguicnte: ücómo rlefiniremc la hipótesis de la inducción?
(i) En primer lugar, no puede scr una operación disrriburiva porque caeríamm en la'paradoja de Wang': si una propiedad ot¡scrvada en el núnrcro ctro sc extendiesc a todos los números y si esa propiedad fuesc: 'Cero
es pequcño', n6 conduciría a la proposición: iSi n es pequeño n+ I cs pequcño, luc¡o todo núrncro es pequeño'.
(ii) Por consiguiente habrfa de scr atributiva Ahora bier¡. esto descartaría lc ordinales línrite, lo que redundaría en una perdida no descable, por rcstric¡iva.
(i¡i) Sin emtnrgo el principio de inducción incrrpora una suerre dc distrihttividad, pucs¡o quc en cada paso en cada comtrucción, esc paso debe scr subsumido en la fórmula gcneral.
Sobre les pertcr:
Pero Badiou introduoe otrc critcrio de discriminación cntre lc ordinates suctsores y cl límite.
(a') En los ordinalqi suoelorcsr la unión de lc elerncntc de un conjunto es más pequeilo quc el conjunto dc panid& Sca la rurión del conjunto [i el conjunro
tt llúdcm, p. l12.
gn
coristituido por lG clementc dc E Eso define cl operado ¡ dismüdo¡.
Sea el conjuno tres,T . {er {o}, {q {e}}
Su unión es tlf . {er {o}}
Asf puet la discmin¡ción de tres cs dos, L¿ unión dc un ordinal el una psrte del ordin¡I. Con pocos elcmentoe, sc prcden obtencr onjuntc muy complefrx. Esto significa que las partes son dds¡rruas entendidas en su ertensión. (Lá aparente res¡ricrión scgr¡n la condición de transiüvidad de lc onjuntc de von Neumann es la que permite la discminación Frcsto quc un conjuntro ¡ransitivo exige que sus elementos scan partes. Luego loe clementos dc lc ele¡nentc dc un ordinal quc son también elementos rle ¡nrtes del ordinal, son ellos mismos elemcntos del orrlinal).
(b') En los ordinales succsorq¡ esto no (lcurre, pü6 sl¡s partcs coincidcn con la totalidad. De ahí que s¡ entre wr y L ncccsariamente podía interczlanc W.
ordinales. Pero cr¡ando discminemos L el elemcnto wr sc enoontrará en la unión en calidad de elemento rle wr. Por comiguienre, túo elemento de L figura en ll- Y, como totlo elemento cte tI es un elemenlo de L (puesto quc tIcL), tos elementos del conjunto L y del onjunto unión de L son enctarncnte los mismc.
Parece, pues que es más difícil moverse en una ¡otalidad cuyas partes scan tlisyuntas que en otra en que son conjuntivas Por eso pucdc dccir Badiou quc el límite es una recapitulación rJe lo que la compone y su'profundidad', una falacia [¿ autlacia del penrumiento estriba no en referirsc a los límites, sino en franquearlortF
a a a
El caráoer del condicional (2): 'Si todos los ordinalui que prectden a un ordinal cualquiera W posce la propiedad P, enton(rs W también la pmce'.
(i) No cpecifica ningún ordinal ooncre¡o:
(b) Pero hay que tencr en cuenta la propietlarl puesto que para la tlemostración, hemos dc suponer'que ella sca posible, lo que evidcnterrcnte dcpendc de la propiedad F.rt'
.Y ctmo hay dos clascs de ordinales la demostración debe scr escinlida en do; scgún lm ordinales scan suossorcs o llmiter
tr 'L'aud¡cc dc le pcnséc n'c:rit prs dc roditc .¡u¡ lini¡cs. cc qui c¡l c¡tidrcocnt dérco¡¡ .t .. lr rit¡¡¡tirn dtnt l¡ lini¡c e¡t li¡¡itc. L'rudre & b Fosóc cst & fnchir u!ócrr rr) rico o'csl d;gua. Nq¡
dcvrns rfupprcndrc I sr¡cc&br'. lbülem, p. 105.
'"
Iltidcm, p. l12.
tf08
Pero lo que hacc Badiou con esta doble demostración es s€parar los rlos tipon de totalidaties -atributivas y distributivas- mediante el tratamiento uniforme dc nivelcs de sucercres y de niveles límite 'l-a maestría inductiva del concepto pasa por consiguiente por su ramificación ordinal, luego por la equivalencia cntre ¡¡el conccpto P vale para ¡> Y "el concepto P vale para ¡ en un niwt W de ew correlúo>>. Esta equivalencia evita toda nr¡rión al Túo. Verifica la propiedad P, no (en general", sino en un nivel, lo que la pone al abrigo de las paradojas y de la incunsistencia".trr Pero precisamentc las paradojas se producen en el paso de la definición de totalidad a través de notas datlas disyuntivamente (orclinales sucesores) a su definición a través dc notas tlarlas conjuntivamente (ordinales límite). L¿ situación paratlójica sc produce cuando hacemos que los todos atributivos (ordinales sucesores) scan miembros del todo distributivo (ordinales límite). Así que la paradoja se produce al considerar los ordinales sucesores como si fuesen límites (la Revolución como si fuera una Reformr).
Separados aml'xrs. el camino para la manipulación tJe los númercx queda erpedito.
I:n cualquier cano, cl Númer"; .:; por sí mismo un co¡rcepro operarorio, sino una figura de lo múltiple puro. l-a.s dimensiones opcratrrrias son algo tJcrivado.
l.a tlcfinicirin que ofrece lladiou dc número entcro la ententlemui en nue\tro términos como una multiplicidad que sc distribure únicamentc de acuerdo con propicdatlcs atonrísticas. [-os núnteros tradicionales no son mús que caso's ¡rarticulares dc nuestra conce¡rión ge neral. pero que ¡ro la agotan.
Resulta así que el conccptt¡ de númcro ru, (s un concepto opcratorio. sin.r que se tleja pcnsar de mancra eslructural e inmanente. l:l númcro n<, (s <'o¡t.vruido:
c\ su scr el que ltace trxiblc trxJas las construcciones en las que \c compr()nrete. "t:l
¡rcnsamiento recorre el scr. la Naturaleza. cn ctapas mcnsurablcs. ljl Número er l<l que dcl scr organiza cl pensamientr¡".
1 v ¡ í : t i c a :
Pcro si el ltiúmero no se infiere de fa experiencia. ni de la intuición, ni dc la deducción, si no es algo "lógico', sino quc sc debe a tlecisiones tJe nuestr() tiem¡r. har quc tlcscchar la ldea de su neccsirlad. dc su vinculacrt,n intcrna c()n la ritla. El Nú¡¡rero no puede s(xtencr ningún l'alor. ninguna vertlarl. e{cepto la quc pe rtenezca
' t :
l b u l t r r t . p . l l t r
8fB al 'cierc' (catcgorial) dc tc fnisnlc núnrcrc. f¡ dc¡mracia, le ética do la dcmocr¡cia, ücne quc valiürsc cn cstructuras independícntcs de lq númc¡u,
; lSi ct reino del númcro, cn lc sondcc o cn cl ntr¡ago, en las cueotas dc la nación o dc la cmprcsr, cn h commfa monct¡ri4 en la c'valuación que ccl¡viza lc snicloq m F¡cdc ü¡lorizarsc d6do cl Nri¡¡rcm y su pensamiento, cs poquc aquél sc deriva dc 18 simple lcy dc la situacióq quq hoy, es la ley dcl Capitst Esta le¡ oomo toda ley, ase!¡ura el recr¡ento dé lo que está preentc cn la situación, hace corutar nucstra sitr¡ación histórica, pero no tr¡ode prctcndcr la verdad: ni una vcrdad del Núnrcro, ni una verdqd que sc somcticra a lo que el Número designa oomo forma dcl scf.ú!
17221¿ dcfinición dcl númcro: las C.orr¡dr¡¡as
[¡s ordinales crnstituycn el material de basc dc la dcfinición dcl númcro, su horizonte ontológico natural. Nuestru números narurales no son más quc c¡lsos particulares que caen bajo el oonoepto general y unificado dc Número, p€no quc no lo agotan nunc&
'Es más racional üncular uniformemente el (lnoepto tle Número a los ordinalcs,.sobrc el. modo dc. u* CORTADURA qu9 qc <hsplggar- una ::lj$r" rle proctdimient-s dispares (algebraicoq topológicocr cóniunrisras, De esta forma los números quedan rlefinidc distributiwtntnte a parrir del
con(?pto de ordinal (llustr. 75).El me¡txto que propone Badiou es el de una CORTADURA sobre una multiplicidad natural. El númcro aparcoe como la ¡rcdirción entre la infini¡a prodigalidad en formas de scr de la Naturalcza y lo que nolotros somos c?paoes de recorrer y meür.
Badiou define el Número oomo un conjunto cl)mpucsto por ¡¿n ordinal y uru Wne de esc ordinal. Por tanto hay una pane nue llanu Materia- dcl Número M(N) que oorresponde al ordinal. t¿ Forma dcl Número F(N) quc cs la pane del ordinal.
El Residuo del número R(N) que sc define orrmo: D(NIR(N). Véasc iluu. 7.é.
Badiou define al número desde un esquema ontológico de lo Mirltiple narural
'D lfucm, p.263.
'Y IMem, p. t3ó.
ORDINALEi
ll¡¡1r.75
810
frcntc a otr"s vhs: algebraicar topológicas, onjuntistaLE Este es un método dc mcüta súrc um
¡ru¿Itiplbidad mtuml. El N¡irmro sc presenta asl como lantdbrón entre la infinita prodigalidad en formas dc scr de la naturaleza y lo que nosotrm
somos capaes de recorrcr y medir.I)onoc encutramos más decididamente el esquema ontológico es en la definición de Materi4 quc, scgun Badiou es materia primeratt. 18 matcria dc la ontología gerreral. Por eso la forma deja siempre un resto, como la forma dejaba siempre un resto en la filmofía platónica del Ti¡trc Ú7: el mal. Ahora bien, corno el número se ha definido por un par (W,F(N)) habrá muchos más ¡wntros que ordinalei diferentes. Si w es un ordinal, habrá P(W) númcros que son formas virtualmcnte
¡'osibles.
Tras tlefinir los enteros, Badiou engarza con el problema que en el regressts clásico quedó en el aire. Si P(X)> X, podemos preguntarrxls'icrránto es más grande?' Aceptando los teoremas de Gddel y rle Cohcn este ercrso es indecidible: puede scr i¡tmcn:urmente o mínimamente más grande. Aun cr¡ando sc recurra a una tesis ontológica en la que el Núnrcro sca o(rcr¡ensivo d Scr. aplicadori los teoremas al lm números ortlinales la dificultad concierrrc al rnomento de identificación de un número preciso en "medio'de los otros.
Entoncts. ies posible en un tejido un derso oomo lo es el del número, cortar en un punto? iPuede delerminarsc por cofladura un númcro singular?
"t lMem, p. l-1ó.
T llidem.p. llr. '.M¡tilre'vcut
dirc ccttc ftú nutihv peenitte... C-tnc il fer¡t s'y r¡lcükt:l-É(
tua philrnrphic n¡térirlb&, c'clt le n¡tilre qui cst knr¡trc, 06 Lcur¡i¡c. rég!é. a b frc qui crt trrr¡&, déré3léc, mn n¡turclk. Avcc l¡ ftrrc du Nrnbrc. nqñ tnngrcrerns co gÉoénl bs linircs dc l'üre ¡¡turcl" si mén¡c lc n¡tcrériru c¡l c(¡rl¡¡tcñn¡coa pró¡cvé I I'i¡¡órL¡u & ccs liai¡cs'.
t'' 'l¡
frl¡cir dcl Dcaiuryo crnsi¡tc o Lr su¡nrr ignú¡rir dc cs¡¡ indirai¡trilidrl- Et li¡ür r h.re Dcuiuryo. vicrc I H¡crir Pbtóo. r fi¡ & qrE c¡ ll¡c! d cr-po eiláico co-.i'¡ rcdrrir y sllprioit
¡l M¡l -l¡ m¡tcrü, l¡ crr¡ri¡, l¡ inlc¡crninrióo-. S¡bcñcr eürrr qr: el Dcoiur¡rr ¡dró üficilrcotc trir¡nf¡r srñrc cl f,l¡L ¡ GD(r qrr, iovirticndo cJ rc¡tiio & s¡ lrrchr, eplhrrc sr¡s frrrr¡s ¡ intca¡¡r .d*iT, rtd¡r y suprinir b pcaü rc¡lll¡d otclfuiblc, cl crnpo cilético, &l qrrc cl rótr cs c{ricri¡
...'. (}ÓMEZ PlN,V.:El dro¡¡u dc lo Ciudd tdal, d. r.u¡Trr M.drid, tVlf, p 97.
{ :
OI|,rl¡t-t --ru¡¿uoJ
F(N)uD(N) - M(N)
lh¡¡tr. 7.ó
(i) La "densidad" y el orden establecido:
"Este problema no es sólo académico, ni reservado al pensamiento del número. Todos los días nos explican que la "complejidad de las sociedades modernas" prohiben practicar ninguna ruptura. El conservadurismo contemporánero no arguye ya desde lo sagrado del orden establecido, sino desde su DENSIDAD. Toda ruptura local -se dice- es un desgarrón en el tejido social. Dejen operar las leyes naturales (el mercado, el apetito, el dominio), porque es imposible interrumpirlo en un punto".'62
(ii) Epistemología:
Este problema tiene una genealogía en la epistemología que, desde Hume por lo menos, ha tratado la modernidad. Aunque Hume no se atrevió a culminar la síntesis entre la divisibilidad de lo extenso y la indivisibilidad del pensamiento, considerando su unidad como algo absurdo y contradict~rio*~~, Kant ofreció una solución que ya es recurrente para toda reflexión.
sensibilidad Espacio: CONTINUO.
[Tiempo: DISCRETO entendimiento
Hegel, en un contexto más gnoseológico que epistemológico, vinculó la Geometría con lo CONTINUO y la Aritmética con lo DISCRETO.
5 7.2.3. La dimensión operatoria de los números y la Ontología General
¿Cómo habremos de vincular el "Número" de la Multiplicidad con el
"Número" operatorio? Badiou -es nuestra interpretación- realiza un planteamiento ontológicamente perfecto al conectar las dos ontologías: la general y la especial: el carácter
atomístico pertenece a la O-especial, que es a modo de filtrado de laMultiplicidad pura de la O-general. El carácter atomístico no está clausurado, porque siempre son posibles cortaduras, &c.
BADIOU,A.:Le nombre.., op. cit., pp. 175-176.
16j "Todo lo extenso consta de partes, todo lo que consta de partes es divisible, si no en realidad, al menos sí en la imaginacibn. Pero es imposible que una cosa divisible pueda ser uaida a un pensamiento o percepción que es algo absolutamente inseparable e indivisible
...
Por consiguiente, el pensamiento y la extensión son cualidades totalmente incompatibles, y no pueden nunca aunarse en un sujeto".HUME,D.:Tratado de la Naturaleza Humana, op. cit., 1, IV, v, 234.
Para Badiou el Número es una forma del Ser (O-general). Nosotros utilizamos o manipulamos sólo una pequeña muestra. Por lo tanto la Multiplicidad Natural, es una Idea regresiva, que oficia de O-general, mientras que el Número Ordinal es la estructura ontológica (Principa media) a partir del cual se realiza el progressus. Pero la multiplicidad se ha obtenido, no al modo de Peano, Frege, Russell o Wittgenstein, ni siquiera al modo de Dedekind o de Cantor, pues el Número m es:
- Ni un rasgo del concepto (Frege).
- Ni un dado empírico (Hume).
- Ni una categoría constituyente o trascendental (Kant).
- Ni una sintaxis (Carnap).
- Ni un juego de lenguaje (Wittgenstein).
- Ni una abstracción de nuestra idea de orden (Cantor).
El Número no procede de la expekncia,
nise propone a algún tipo de intuición. Tampoco se somete a la deducción, siquiera fuese trascendental, ni es un resultado psicológico. ~ntonces, ¿de qué naturaleza es el Número?
El Número es una forma del Ser, una ínfima muestra de la prodigalidad infinita del Ser. Es el resultado de una decisión ontológica, que Badiou llama "axioma"
de manera equívoca porque podría parecer entonces manipulable formalmente. Pero ya no tendría sentido volver a esa posición. Por lo tanto, exige las preguntas que pertenecen al campo de lo ontológico: ¿por qué existe el número (el ser) y no
másbien, la nada? ¿Por qué existen estos números (estos) seres y no otros?la ¿Cuáles son los principios más generales acerca de la estructura de la realidad? ¿Cuáles
hansido ejercidos a lo largo de la historia de la filosofía?
Podemos preguntarnos: ¿a qué tipo de Ser pertenece el Número? Esa realidad ontológica, la Multiplicidad, se nos aparece filtrada a través del concepto regresivo de Número. Esta Multiplicidad, a la que se accede operatoriamente según los métodos de la sucesión, del límite, de manipulaciones algebraicas, provoca, sin embargo, una ilusión: la de un ser estructural, o combinatorio, del Número".*65
Así pues, el Número -que no es un objeto y por lo tanto,
quatale, no es manipulable- es justamente el que los engloba. El Número es el Ser y los números, entes. El Número Es una Idea de la Ontología General como los números lo son de la Ontología especial. Comprobamos la fuerza de la Idea de O-General en Badiou en
1 6
' LEIBNIZ,G.W.:Principios de la naturaleza, ed. Porrúa, México, 1977, § 7.
BADIOU, p. 261.