La integral de Lebesgue

Lebesgue desarrolla el concepto moderno de integral en el segundo capítulo de su tesis doctoral en el año 1902. Este capítulo es bastante significativo desde el punto de vista histórico, dado que enmarca la respuesta a los problemas de sus antecesores con respecto a la definición de integral. Para ello, Lebesgue interrelaciona una variedad de conceptos y procedimientos. Una de las cuestiones que no puede pasar desapercibida tiene que ver con el proceso usado por Lebesgue para formalizar la noción de integral. Se hace referencia al hecho de que aunque la integral surge como operación del análisis con el propósito de fundamentar la salida dada desde el cálculo al problema milenario de las cuadraturas, Lebesgue nota que los problemas de la integral de Riemann no pueden solucionarse desde el análisis, sino a partir de la teoría de la medida abstracta; sin embargo, la teoría abstracta de la medida hunde sus raíces en la geometría. Detallemos el proceso seguido por Lebesgue.

Para Lebesgue, desde el punto de vista geométrico, el problema de la integral, es el siguiente:

Dada una curva _{C por su ecuación
= > () (> es una función continua} positiva, los ejes son rectangulares) hallar el área de un dominio limitado por un arco de _{C, un segmento de 0H} y dos paralelas al eje
, de abscisas dadas

por _{ y u, ( < u).}

Esta área constituye, para Lebesgue, la integral definida de _{> entre  y u, y} se representa por

^ >();



En primera instancia, Lebesgue recuerda que Arquímedes había resuelto parte del problema, hace más de dos mil años, a través del método exhaustivo. Lo interesante del caso es que este método tiene alguna similitud con el de los contenidos, dado que se realiza por medio de la inscripción y circunscripción de figuras rectilíneas. Justamente, éste es el camino seguido por Lebesgue para llegar a su generalización.

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Lebesgue inicia su proceso de generalización tomando una región _{M, en la} cual inscribe y circunscribe rectángulos. Las bases de los rectángulos tienen por longitudes _{—(, —, —, …, y las alturas, tienen por longitudes} *(, *, *, … , (, , , . .. que corresponden, respectivamente, a los

valores, inferior y superior de _{> en los intervalos correspondientes a cada uno} de los _—.

Si cada uno de los _— va tendiendo a cero se obtendrá dos valores, que

Lebesgue denomina _{4 y Q:}

4 = G—l *l y Q = G—l l.

Tal como lo expresa Lebesgue, Gaston Darboux en Mémorie sur les

fonctions discontinúes [Dar75], ha demostrado que para funciones acotadas,

tanto _{4 como Q tienden a límites específicos; el primero se denomina integral} por defecto _{˜∫ >();™ y el segundo integral por exceso ˜∫ >();™.} Cuando los dos límites coinciden, entonces la función es integrable, como sucede con las funciones continuas. De hecho, la igualdad entre _{4 y Q,} corresponde a la definición de las funciones Riemann-integrables (R- integrables).

Los problemas encontrados en la integral de Riemann, hacen que Lebesgue siga el mismo libreto, pero leído a la inversa. En (Recalde, 2000), se muestra como Lebesgue parte de una función _{> acotada, definida en el intervalo} _, u`. Como > es acotada, existen * y , tales que * ≤ >() ≤ , para todo <sub> ∈ _, u`. Además Lebesgue impone la hipótesis que para todo</sub> ), ;, * < ) < ; < , el conjunto {: ) ≤ >() ≤ ;} sea L-medible.

A continuación, se toma una partición _{1 del intervalo _*, `:} 1 = {* =
c,
(, …
 = },

y se define _{< = {/
< ≤ >() <
< ( }, : = 0, … + − 1. Como, por} hipótesis, cada _< es medible se toman las sumas,

‡ = 
l*(l), .( lzc ‡ = 
< (*(l), .( lzc > es integrable si,

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→”, ‖U‖→c‡ =→”, ‖U‖→clim —

y este límite corresponde a la expresión _{∫ >();} _.

Actualmente a las funciones que cumplen la propiedad anterior se les denomina L-integrables. Lebesgue llama la atención en el hecho que las sumas _‡ y _— tienen sentido para funciones que no necesariamente son

continuas, sino también para las funciones sumables. Para estas funciones ‡ y — tienen un mismo límite independientemente de la forma como se

realice la partición _{1, tal como lo demuestra Lebesgue.}

Tomando como base las definiciones anteriores, se demuestra que el conjunto de puntos de discontinuidad de una función _{>-integrable tiene} medida cero. Esto es, sean _{ y  dos números arbitrarios y E es el conjunto} de puntos tales que:

 ≤ >() ≤ .

Los puntos de discontinuidad corresponden a los puntos límites de _{E, los} cuales forman un conjunto _{ de medida cero. Además como E ∪  es} cerrado, entonces es medible; como _{ es medible, entonces E también es} medible y _{> es sumable.}

A continuación Lebesgue generaliza su noción de la integral a funciones _> definidas para los puntos de un conjunto _{E, diferente a un intervalo. Sea} E ⊂ _, `; se define la función F() de la siguiente manera:

>(), si  ∈ E _{F() =}

_{0, si  ∈ _, ` − E}

La integral de _{F se calcula en la forma ya establecida. De esta manera se} tiene que,

^ >(); = ^ F();[

\ œ

El siguiente paso de Lebesgue, fue explicitar las diferencias entre su integral y la integral de Riemann. En ese sentido se propone dar ejemplos de funciones L-integrables que no son R-integrables. Aunque Lebesgue se explaya en la caracterización de funciones que cumplan esta característica, basta aquí traer a colación la función característica de los racionales presentad por Dirichlet en la primera mitad del siglo XIX.

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Lebesgue prueba que su teoría de la integral restauraba el teorema fundamental del cálculo para derivadas acotadas; para lograr este propósito en primer lugar presenta la definición de integral indefinida de la siguiente forma:

Definición: Se llama integral indefinida de una función _{> (), que tiene} integral definida en _{_, u`, a una función F(), definida en _, u`, tal que} ∫ >(); = F(u) − F()._

De la anterior definición se puede obtener la igualdad _{F() = ∫ >() + F(),}H lo cual significa que toda función con integral definida, admitirá una infinidad de integrales indefinidas, las cuales se diferencian por la constante _F(). Después de mostrar que _{F() es continua, el siguiente paso de Lebesgue es} demostrar que toda función derivable acotada admite una integral indefinida; teorema que justamente constituía uno de los problemas de la integral de Riemann.

2.2 El estado del arte del TFC: algunos artículos o memorias