Isomorfismo y relaci´ on de equivalencia

Se va a profundizar en la relaci´on de equivalencia que se puede establecer en el conjunto de todos los grafos y sus isomorfos. Para ello, en los siguientes subapartados G_N ser´a el conjunto de todos los grafos (y sus isomorfos) de grado N ygi ∈GN,gj ∈GN y gk ∈GN ser´an grafos cualesquiera.

2.5.2.1 Relaci´on R de equivalencia

Si se define la relaci´on _R como “. . .es isomorfo a . . . ” sobre el conjunto G_N resulta que esta es una relaci´on de equivalencia, es decir, la relaci´on R cumple las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva. Cada una de estas propiedades se discutir´a en los siguientes subapartados, para ello se considerar´a que los grafos gi, gj y gk tienen como matrices de adyacencia a Agi, Agj y Agk

respectivamente.

2.5.2.1.1 Propiedad reflexiva. La relaci´on_Rcumple la propiedad reflexiva, esto es que todo grafo es isomorfo a s´ı mismo. M´as formalmente se tiene ∀ique

giRgi (2.27)

En efecto, es trivial ver que si escoge en (2.26) como matriz de permutaci´on (P_N) la matriz identidad de orden N (I_N) entonces siempre se cumple que I_NtAgiIN =Agi y por lo tanto es giRgi para ∀i

con lo que queda demostrado que_Rsiempre cumple la propiedad reflexiva.

25_{Se recuerda que dos matricesAyB de las mismas dimensiones, no necesariamente cuadradas, son equivalentes}

y se denota porA∼B cuando se puede obtener una de la otra mediante transformaciones elementales de filas y/o columnas, pudi´endose escribir queB=P AQen dondeP es el producto de las matrices elementales de trasformaci´on por filas yQlo propio pero por columnas.

26_{Se recuerda que dos matricesA yB cuadradas y con la misma dimensi´on son congruentes si existe una matriz}

con la misma dimensi´onT no singular tal queB=Tt_{AT. La congruencia es un caso particular de la equivalencia.}

27_{Se recuerda que dos matricesAyBcuadradas y con la misma dimensi´on son semejantes si existe una matrizQ}

no singular con la misma dimensi´on tal queB=Q−1_AQ.

28_{Todo lo anterior puede ser consultado en cualquier tratado elemental sobre ´algebra de matrices como, por ejemplo,}

2.5.2.1.2 Propiedad sim´etrica. La relaci´on R cumple la propiedad sim´etrica, esto es que si un grafo es isomorfo a otro, entonces este ´ultimo tambi´en lo es al primero. M´as formalmente se tiene_∀i, j que

giRgj ⇒ gjRgi (2.28)

En efecto, si giRgj entonces por (2.26) existe una matriz de permutaci´on (PN) tal que

Agi =P

t

NAgjPN (2.29)

Si a esta ecuaci´on se multiplica por la izquierda porP_N y por la derecha porPt

N entonces se obtiene P_NAgiP t N =PNPNtAgjPNP t N (2.30)

Ahora bien, por la propiedad 6 (p´agina 19) se tiene que P_NPt

N =PNtPN =IN y por lo tanto

Agj =PNAgiP

t

N (2.31)

Tomando Q_N = P_Nt, que por la propiedad 4 (p´agina 19) tambi´en es una matriz de permutaci´on, entonces la anterior ecuaci´on se puede reescribir como

Agj =Q

t

NAgiQN (2.32)

de donde es gjRgi con lo que queda demostrado que la relaci´on R siempre cumple la propiedad

sim´etrica.

Este interesante resultado permite corroborar que si se conoce la matriz de permutaci´on (P_N) que permite obtener un grafo isomorfo a uno dado, entonces la matriz de permutaci´on inversa (P_N−1) que permite obtener el primero a partir de este ´ultimo grafo es la transpuesta de la matriz de permutaci´on (P_Nt).

2.5.2.1.3 Propiedad transitiva. La relaci´on_Rcumple la propiedad transitiva, esto es que si un grafo es isomorfo a un segundo, y este es isomorfo a un tercero, entonces el primero tambi´en lo es al tercero. M´as formalmente se tiene ∀i, j, k que

giRgj y gjRgk ⇒ giRgk (2.33)

En efecto, por (2.26) se tiene que si giRgj entonces existe una matriz de permutaci´on (P_N) tal que

Agi =P

t

NAgjPN (2.34)

y por la misma raz´on paragjRgk existir´a una matriz de permutaci´on (QN) tal que

Agj =Q

t

NAgkQN (2.35)

Sustituyendo en la ecuaci´on (2.34) la matrizAgj por la expresi´on de (2.35) se tiene Agi =P

t

NQNtAgkQNPN = (QNPN)

t_A

gkQNPN (2.36)

El producto matricialQ_NP_N por la propiedad 3 (p´agina 19) tambi´en es una matriz de permutaci´on. SeaT_N =Q_NP_N entonces queda

Agi =T

t

NAgkTN (2.37)

de donde es giRgk con lo que queda demostrado que la relaci´on R siempre cumple la propiedad

transitiva.

Es interesante destacar que la composici´on de permutaciones se traduce en el producto de las matri- ces de permutaci´on, es decir, si a partir de un primer grafo y mediante una matriz de permutaci´on

2.5. Isomorfismo de grafos

un tercer grafo isomorfo al segundo, entonces mediante la matriz de permutaci´on dada porQ_NP_N

se obtiene directamente el tercer grafo isomorfo al primero.

M´as adelante interesar´a aplicar la propiedad transitiva de forma encadenada, sea un conjunto finito de l grafos{g1, g2, g3, . . . , gl−1, gl}tales que giRgi+1 para i= 1, . . . , l−1 entoncesg1Rgl, esto es

g1Rg2, g2Rg3, . . . , gl−2Rgl−1 y gl−1Rgl ⇒ g1Rgl (2.38)

Es obvio que este ´ultimo resultado se demuestra f´acilmente usando la propiedad transitiva de forma reiterada.

2.5.2.2 Clases de equivalencia

Si _R es una relaci´on de equivalencia entonces (por definici´on) la clase de equivalencia del grafo g

es el conjunto de todos los grafos xi tales que xiRg. Si una clase de equivalencia se representa por

[g] entonces se tiene que

[g] =_{xi ∈GN |xiRg} (2.39)

Estas clases de equivalencia cumplen las siguientes propiedades:

1. Para cualquier clase de equivalencia su cardinal esN!, esto es card([g]) =N! para ∀g (todas las clases de equivalencia tienen el mismo n´umero finito de elementos).

2. Se desprende f´acilmente de la anterior propiedad que cualquier clase de equivalencia es no vac´ıa, esto es [g]6=∅ para∀g.

3. Dos grafos isomorfos pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es [g] = [h] si, y s´olo si,g_Rh para_∀g, h.

4. La uni´on de todas las clases de equivalencia esG_N, esto es _∪∀xi∈G_N[xi] =GN.

5. Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos, esto es si [g]₆= [h] entonces [g]_∩[h] =_∅, o bien de otra forma, si g yhno son isomorfos entonces [g]∩[h] =∅ para∀g, h.

2.5.2.3 Conjunto Cociente

La propiedades 4 y 5 enunciadas en el apartado anterior son de capital importancia en tanto que permiten afirmar que el conjunto de clases de equivalencia (familia de conjuntos) es una partici´on de G_N. A esta familia de conjuntos se la denomina conjunto cociente, si se representa por G_N/R

se puede escribir

G_N/_R=_{[xi]|xi ∈GN} (2.40)

2.5.2.4 Representante can´onico

Cualquier elemento de una clase puede ser el representante de la clase y, a trav´es de ´este represen- tante, ser´ıa f´acil generar la clase. Si existe alg´un criterio de escoger un representante de cada clase que s´olo ´el, y nada m´as ´el, cumpla este criterio, entonces ´este representante ser´a ´unico para su clase de equivalencia y se denominar´a representante can´onico. La existencia de un representante que sea can´onico simplifica mucho la representaci´on de las clases, como ejemplo tenemos que en el conjunto de los n´umeros racionales (Q) de todas las clases de equivalencia (fracciones equivalentes) se puede escoger un representante que nada m´as ´el cumpla un criterio: que el numerador y el denominador sean primos entre s´ı.

Desde el punto de vista del isomorfismo de grafos, de cada clase de grafos isomorfos siempre podemos escoger un representante cualquiera, pero, hasta el momento, no se conoce alg´un criterio o propiedad

(si es que la hay) que determine de forma ´unica, dentro de cada clase, un grafo determinado. Por lo tanto no existe un representante de la clase que sea can´onico, o mejor dicho, no existe con tiempos de computo razonables. La reflexi´on es que si tal representante can´onico existiera el isomorfismo de grafos se reducir´ıa a la igualdad de grafos, ya que aplicando la propiedad transitiva el problema se transformar´ıa en afirmar o negar la igualdad de dos grafos (los representantes can´onicos).