cuando por otra parte es claro que tiene interior vac´ıo.
De aqu´ı se sigue a su vez que la dimensi´on de una variedad topol´ogica es un invariante, es decir, que dos variedades homeomorfas han de tener la misma dimensi´on o, equivalentemente, que un mismo espacio topol´ogico no puede ser a la vez una variedad de dimensi´onmy de dimensi´onnparam6=n. En efecto, si as´ı fuera, un punto cualquiera tendr´ıa un entorno abierto homeomorfo a una bola abierta enRmy otro entorno abierto homeomorfo a una bola abierta enRn. La intersecci´on de ambos entornos ser´ıa un espacio homeomorfo a un abierto de Rmy a un abierto deRn. El teorema anterior implica entonces quem=n.
Trivialmente, todo abierto no vac´ıo en una variedad topol´ogica es una va- riedad topol´ogica de la misma dimensi´on. El teorema 3.22 nos da un rec´ıproco que generaliza a 3.17:
Teorema 3.23 En una variedad topol´ogican-dimensional, las ´unicas subvarie- dades de dimensi´on nson los abiertos. En particular, una variedad conexa no puede tener subvariedades compactas propias de la misma dimensi´on.
Demostraci´on: Sea V una variedad y W una subvariedad de la misma dimensi´on (por subvariedad entendemos un subespacio que tambi´en sea una variedad). Six∈W, tomemos un entorno coordenadoU dexenV. Entonces
W ∩U es un entorno de xenW, luego contiene un entorno coordenadoU0 de
xen W. Sean f : B0 −→ U0 y g : B −→ U homeomorfismos, dondeB0 y B
son bolas abiertas enRn. Entoncesf ◦g−1:B0 −→B es inyectiva y continua, luego el teorema 3.21 nos da que su imageng−1[f[B0]] es abierta en B, luego
U0 =f[B0] es abierto en U, luego enV. Por consiguienteW es entorno de x.
Notemos que una variedad topol´ogicaV de dimensi´onncontiene un subes- pacio homeomorfo a una bola abierta en Rn, y esta bola contiene subespacios no abiertos homeomorfos a bolas abiertas en Rm para cualquier m < n. Te- niendo esto en cuenta —junto al teorema anterior— es f´acil ver queV no puede contener subvariedades de dimensi´on mayor quen.
3.5
La homolog´ıa de las superficies compactas
En el ap´endice A demostramos que toda superficie compacta (conexa) es homeomorfa a una de las superficiesMgoNhdefinidas en 1.21. Ahora compro- baremos que dos cualesquiera de estas superficies tienen grupos de homolog´ıa diferentes, por lo que no son homeomorfas, ni siquiera homot´opicas.
Consideremos uno de los espacios Mg o Nh. Por unificar el argumento lo representaremos porFr, donder= 2gor=hseg´un el caso. De este modo,Fr se obtiene identificando dos a dos las aristas de un pol´ıgono de 2r lados. Por comodidad podemos sustituir el pol´ıgono por el disco unidad cerradoB2.
U1 U2 V σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 σ7 σ8 τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8
Llamamos τ1, . . . , τ2r a los arcos de amplitud π/r que se muestran en la figura, orientados en sentido positivo. La aplicaci´on cociente φ : B2 −→ F
r identifica estos arcos a pares seg´un los patrones de Mg o Nh, de modo que si τi debe identificarse conτj, la identificaci´on consiste concretamente en que
φ(τi(t)) = φ(τj(t)) para todo t ∈ I o bien φ(τi(t)) = φ(τj(1−t)), para todo
t∈I. Si Fr es de tipoNh las identificaciones son todas de la primera forma, si es de tipoMg son todas de la segunda.
Observemos que los tipos de identificaciones que estamos considerando hacen que todos los v´ertices (los extremos de los τi) tengan la misma imagen en Fr, por lo que los 1-s´ımplices ˜τi =φ](τi) son 1-ciclos enFr. M´as concretamente, si Fr es de tipo Mg y φ identifica τi con τj, entonces [˜τi] = [−˜τj] en H1(Fr), mientras que siFres de tipoNh entonces [˜τi] = [˜τj].
Sea U1 el complementario en B2 de un disco cerrado de centro 0 yU2 un
disco abierto de radio mayor. Llamaremos ˜U1 y ˜U2 a las im´agenes por φ de U1 yU2, que claramente son abiertas enFr. Las interseccionesV =U1∩V2 y
˜
V = ˜U1∩U˜2son coronas circulares.
Determinemos ahora la estructura deH1( ˜U1). Para ello usamos que el espa-
cioGr=φ[S1] es un retracto por deformaci´on de ˜U1. En efecto, es claro que la
aplicaci´onr:U1−→S1 dada porr(x) =x/kxkes una retracci´on, que induce a
su vez una retracci´on ˜r: ˜U1−→Gr dada por ˜r([x]) = [r(x)].
Tambi´en es claro queres homot´opica a la identidad. Adem´as, la homotop´ıa
H :I×U1−→U1induce a su vez una homotop´ıa ˜H :I×U1˜ −→U1˜ entre ˜ry la identidad definida por ˜Ht([x]) = [Ht(x)]. De este modo, tenemos el isomorfismo ˜
r∗:H1( ˜U1)−→H1(Gr).
Al identificar S1 a trav´es de φ para obtener Gr, podemos empezar iden-
tificando los extremos de los arcos τi, con lo que obtenemos una “flor” de 2r
p´etalos (es decir, 2r circunferencias identificadas por un punto). Cada arcoτi recorre uno de estos p´etalos, pero ´estos han de identificarse dos a dos, con lo que obtenemos una flor conr p´etalos, cada uno recorrido por dos de los arcos ˜
τi. Es f´acil ver entonces que el espacioGr es homot´opico al espacio del ´ultimo ejemplo de la secci´on 2.6 (s´olo hay que contraer a un punto el segmento que all´ı un´ıa a las circunferencias). Por consiguienteH1(Gr)∼=Ar. M´as a´un, el estudio
3.5. La homolog´ıa de las superficies compactas 77 que hicimos all´ı muestra que una base deH1(Gr) est´a formada por las clases de homolog´ıa de cualquier conjunto de arcos que den una vuelta completa a cada una de las circunferencias. En nuestro contexto, una base deH1(Gr) la forman la mitad de las clases [˜τi].
Necesitamos estudiar con detalle el homomorfismo i∗ : H1( ˜V)−→ H1( ˜U1)
inducido por la inclusi´on. Para ello consideramos una circunferencia ˜S1 de
centro 0 contenida enV. Claramente ˜S1 es un retracto por deformaci´on deV,
luego la inclusi´on induce un isomorfismoH1( ˜S1)∼=H1(V). Seg´un el ejemplo tras
la definici´on 2.41, una base deH1( ˜S1) la forma la clase de cualquier arcoσque
d´e una vuelta completa a la circunferencia. Podemos tomarlo, concretamente, de tal modo que su extremo inicial (y final) est´e alineado con el 0 y el extremo com´un de los arcos τ1 y τ2r en S1. A su vez, podemos dividirσ en 2r arcos
σi homot´eticos a los arcos τi tal y como indica la figura. Sabemos que σ es hom´ologo a la cadenaσ1+· · ·+σ2r. As´ı pues, [σ] = [σ1+· · ·+σ2r] es una base de
H1( ˜S1), luego tambi´en deH1(V). Si llamamos ˜σ
i=φ](σi), entonces, dado que
φse restringe a un homeomorfismo entreV y ˜V, tenemos que [˜σ] = [˜σ1+· · ·+˜σ2r] es una base deH1( ˜V).
La imagen de [σ] por el homomorfismo H1(V)−→H1(U1) inducido por la
inclusi´on es tambi´en [σ] = [σ1+· · ·+σ2r], pero considerando ahora las clases enH1(U1). Teniendo en cuenta las conmutatividades obvias, podemos concluir
que
i∗([˜σ]) = [˜σ] = [˜σ1+· · ·+ ˜σ2r],
considerando ahora las clases enH1( ˜U1). El homomorfismo i∗ est´a completa- mente determinado por esta imagen.
Para estudiarla consideramos su imagen enH1(Gr) a trav´es de ˜r. Teniendo en cuenta la construcci´on de ˜r es f´acil ver que ˜r∗([˜σ]) = φ∗(r∗([σ])), es decir, que para calcular la imagen de [˜σ] por ˜r∗podemos calcular la imagen de [σ] por
r∗y luego aplicarφ. Ahora bien, es claro quer](σ
i) =τi, por lo que
r∗([˜σ]) =φ∗([τ1+· · ·+τ2r]) = [˜τ1] +· · ·+ [˜τ2r].
Ahora aplicamos el homomorfismo inverso de ˜r, es decir, el inducido por la inclusi´onGr−→U˜1, y obtenemos que
[˜σ] = [˜τ1] +· · ·+ [˜τ2r],
donde ahora las clases son deH1( ˜U1).
SiFr=Mg, sabemos que estas clases se anulan a pares, con lo que resulta
r∗([˜σ]) = 0, luego [˜σ] = 0 y por consiguiente i∗ es el homomorfismo nulo. Si
Fr=Nh entonces [˜τ2k−1] = [˜τ2k], por lo que
[˜σ] = 2[˜τ2] + 2[˜τ4] +· · ·+ 2[˜τ2r].
Adem´as sabemos que las clases de la derecha son una base deH1( ˜U1). Otra
base la constituyen las clases
Respecto a esta base, [˜σ] tiene coordenadas (0, . . . ,0,2), luego tenemos el isomorfismo
H1( ˜U1)/Imi∗=∼Ar−1⊕(A/2A).
Por otra parte, si a[˜σ] es un elemento arbitrario de H1(V), donde a ∈ A, tenemos quei∗(a[˜σ]) = 0 si y s´olo si 2a[˜τ2] +· · ·+ 2a[˜τ2r] = 0, si y s´olo si 2a= 0, si y s´olo si 2a[˜σ] = 0, luego el n´ucleo de i∗ es el n´ucleo de la multiplicaci´on por 2 enH1(V).
Ahora podemos calcular la sucesi´on de Mayer-Vietoris para la homolog´ıa reducida:
0−→H2(Fr)−→H1(V)−→i∗ H1(U1)−→H1(Fr)−→0.
Observar que donde deber´ıa aparecer H1(U1)⊕H1(U2) hemos eliminado el segundo sumando porque es nulo. El homomorfismo correspondiente se reduce entonces a i∗. Prolongando la sucesi´on se comprueba que Hp(Fr) = 0 para
p >2. Si Fr=Mg entoncesi∗ = 0, lo que implica queH2(Mg)∼=H1(V)∼=A,
as´ı como queH1(Mg)∼=H1(U1)∼=A2g.
Ejercicio: Recordemos queMg es una esfera con g asas. Los c´alculos que hemos
hechos nos proporcionan expl´ıcitamente una base deH1(Mg). Interpretar los 2garcos
que la componen.
Si Fr =Nh, entonces H2(Nh)=∼H1(V)(2) ∼= A(2), donde, en general, L(2)
denota al n´ucleo de la multiplicaci´on por 2 en elA-m´oduloL. Por otra parte, el teorema de isomorf´ıa nos da que
H1(Nh)∼=H1(U1)/Imi∗∼=Ah−1⊕(A/2A). Resumimos a continuaci´on lo que hemos obtenido:
Teorema 3.24 Los grupos de homolog´ıa reducida de las superficies compactas son: Hp(Mg) ∼= (A si p= 2, A2g si p= 1, 0 en otro caso. Hp(Nh) ∼= (A (2) sip= 2, Ah−1⊕(A/2A) sip= 1, 0 en otro caso.
En particular las superficies Mg y Nh son no homot´opicas dos a dos y los
n´umeros g y h son invariantes topol´ogicos. Por consiguiente, dos superficies compactas son homeomorfas si y s´olo si son homot´opicas.
Como es habitual, para la homolog´ıa completa s´olo hemos de cambiar que
H0(Mg) ∼=H0(Nh)∼=A. Observar que, salvo elecciones patol´ogicas del anillo A, de hecho tenemos queH2(Nh) = 0.
3.5. La homolog´ıa de las superficies compactas 79 Para interpretar el hecho de que en los espaciosNhhaya clases de homolog´ıa (de dimensi´on 1) de orden 2 podemos pensar en el plano proyectivoN1. Podemos
verlo como el disco B2 en el que hemos identificado cada punto deS1 con su
ant´ıpoda. Entonces una base de H1(N1) est´a formada por la clase de un arco
σque describa media circunferencia. Entonces,σ+σes homot´opico a un arco que describe una circunferencia completa, pero ´este es homot´opico a la frontera de un 2-s´ımplice cuya imagen sea el disco abierto, luego 2[σ] = 0.
Cap´ıtulo IV
Complejos celulares
Estudiamos ahora una clase de espacios topol´ogicos cuyos grupos de homo- log´ıa tienen una interpretaci´on geom´etrica especialmente simple, a saber, la que esbozamos en la introducci´on.
4.1
Adjunciones
Definiremos los complejos celulares como los espacios que pueden construirse mediante un proceso finito de adjunci´on de celdas. En esta secci´on introduci- remos y estudiaremos este concepto de adjunci´on. En el cap´ıtulo I vimos c´omo pegar dos espacios topol´ogicos a trav´es de un subespacio cerrado. Ahora con- viene generalizar esta noci´on para permitir que la identificaci´on se haga a trav´es de una aplicaci´on continua arbitraria, no necesariamente un homeomorfismo: Definici´on 4.1 SeanX eY espacios compactos,A⊂X un subespacio cerrado y f : A −→ Y una aplicaci´on continua. Llamaremos adjunci´on de X a Y a trav´es def al espacio cocienteX⊕fY obtenido a partir de la suma topol´ogica
X⊕Y mediante la relaci´on de equivalenciaRdada por
u R v ⇐⇒ (u, v∈Ayf(u) =f(v)) o (u∈A, v∈Y yf(u) =v) o (u∈Y, v∈A yf(v) =u) o u=v.
Por el teorema 1.19, tenemos queX ⊕f Y es un espacio de Hausdorff. En efecto, basta ver que la relaci´onR es cerrada en (X⊕Y)2, pero Res la uni´on
de cuatro conjuntos cerrados: la antiimagen de la diagonal por la aplicaci´on
f×f :A×A−→Y ×Y; la imagen de Apor las aplicacionesu7→(u, f(u)) y
u7→(f(u), u); y la diagonal en (X⊕Y)2. As´ı pues,R es cerrada.
Obviamente, entonces,X⊕fY es compacto. Seaπ:X⊕Y −→X⊕fY la proyecci´on can´onica. La inclusi´on de Y enX⊕Y seguida de πes inyectiva y continua, luego es un homeomorfismo. Esto nos permite identificar aY con un subespacio cerrado deX ⊕f Y. No podemos decir lo mismo deX. Concreta- mente, si llamamosg:X −→X⊕fY a la composici´on de la inclusi´on conπ,
ciertamente tenemos que es continua, pero no es inyectiva. S´ı lo es restringida aX\A, donde de hecho es abierta y, por consiguiente, un homeomorfismo en la imagen. Para probarlo tomamos un abiertoU ⊂X\A, con lo que tambi´en es abierto enX, luego enX⊕Y yπ−1[π[U]] =U, luegog[U] =π[U] es abierto
enX⊕f Y.
En particular podemos identificar a X \A con un subespacio abierto de
X ⊕f Y. A trav´es de la identificaci´on Y ⊂ X⊕f Y, es claro que g|A = f y
g[X]∩Y =f[A]. En resumen:
Si X eY son espacios compactos,A⊂X es un subespacio cerrado yf :A−→Y es continua, entoncesX⊕fY es un espacio compacto que contiene a X\Acomo subespacio abierto, aY como subespacio cerrado y existe g : X −→ X ⊕f Y continua tal que g|A = f y
g[X]∩Y =f[A].
En realidad no estamos interesados en construir espacios mediante este pro- ceso de adjunci´on, sino en describir espacios dados como homeomorfos a espacios construidos as´ı. Para ello el resultado principal es el teorema siguiente:
Teorema 4.2 SeanX eY espacios compactos, A⊂X un subespacio cerrado y f : A −→ Y continua. Sea h : X ⊕Y −→ W una aplicaci´on continua y suprayectiva tal que para todo w ∈ W la antiimagen h−1[w] sea un punto de X \A o bien un punto y ∈ Y junto con f−1[y]. Entonces el espacio W es
homeomorfo aX⊕fY.
Demostraci´on: De las hip´otesis del enunciado se sigue que, para todo par de puntosu, v∈X⊕Y, se cumpleu R v ⇐⇒ h(u) =h(v). Esto nos permite definirk°[u]¢=h(u), de modo que el diagrama siguiente conmuta:
X⊕Y π ≤ ≤ h // W X⊕fY k ; ; w w w w w w w w w
Claramente, kes biyectiva. Adem´as es continua, pues siU es abierto enW, entoncesk−1[U] es abierto enX⊕fY, pues esto equivale a queπ−1[k−1[U]] = h−1[U] sea abierto enX⊕Y.
El caso m´as importante de adjunci´on que vamos a considerar es aquel en que X =Bn es una bola cerrada y f :Sn−1 −→ Y. En tal caso escribiremos Yf en lugar de X ⊕f Y, y diremos que Yf es laadjunci´on aY de una celda
n-dimensional a trav´es def.
Ejemplo Sea Y = {∞} un espacio con un punto y sea f : Sn−1 −→ Y
la funci´on constante. Entonces Yf un espacio compacto en el que Yf \ {∞} es homeomorfo a una bola abierta de dimensi´on n. Por consiguiente Yf es homeomorfo aSn.
4.1. Adjunciones 83 Ejemplo El espacio proyectivoPn(R) puede definirse como el cociente deSn respecto a la relaci´on de equivalencia dada por u R v ⇐⇒ u=±v.
Es f´acil ver que Pn(R) es una variedad topol´ogica conexa y compacta de dimensi´onn. En efecto, la identificaci´onf :Sn −→Pn(R) es continua y supra- yectiva, luego Pn(R) es ciertamente un espacio conexo y compacto. Tambi´en es f´acil ver que es un espacio de Hausdorff. Dado x ∈ Pn(R), sea x0 ∈ Sn tal que f(x0) =x. Podemos tomar un entorno coordenadoU de x0 en Sn lo suficientemente peque˜no como para que no contenga pares de puntos ant´ıpodas, de modo quef|U es un homeomorfismo entreU y un entornoU0dexen Pn(R). Claramente entoncesU0 es un entorno coordenado dex.
Por otra parte, es claro que la inclusi´oni :Sn −→Sn+1 definida mediante x7→(x,0) induce un homeomorfismo en la imageni: Pn(R)−→Pn+1(R). Sea g:Bn+1 −→Pn+1(R) la composici´on de la aplicaci´onx7→°x,p1− kxk¢con
la proyecci´onSn+1−→Pn+1(R). Notemos queg|Sn=f.
Esta aplicaci´on g es continua y suprayectiva, como tambi´en lo es la apli- caci´ong⊕i:Bn+1⊕Pn(R)−→Pn+1(R). Podemos aplicar el teorema anterior
para concluir que Pn+1(R) se obtiene de Pn(R) por adjunci´on de una celda de dimensi´onn+ 1 a trav´es de la proyecci´onSn−→Pn(R).
A menudo conviene identificar Pn(R) con el conjunto de todos los subespa- cios vectoriales de dimensi´on 1 deRn+1. En efecto, cada uno de estos subespa-
cios admite exactamente dos generadores de norma 1, y ambos determinan el mismo punto de Pn(R). Tambi´en podemos considerar que Pn(R) est´a formado por clases de equivalencia [x], conx∈Rn+1\ {0}, de modo que [x] = [y] si y
s´olo six =λy, para un λ∈ Rno nulo. No es dif´ıcil probar que la aplicaci´on Rn+1\ {0} −→Pn(R) dada porx7→[x] es una identificaci´on.
Ejercicio: Probar que P1(R) es homeomorfo aS1, mientras que P2(R) es la superficie que introdujimos en el cap´ıtulo I.
Ejemplo El espacio proyectivo complejo Pn(C) puede definirse como el con- junto de todos los subespacios vectoriales de dimensi´on 1 deCn+1(considerando
a ´este comoC-espacio vectorial) o, equivalentemente, como el conjunto de todas las clases de equivalencia [z], conz∈Cn+1\{0}, respecto a la relaci´on en virtud
de la cual [z] = [w] si y s´olo si z =λw, para un λ∈ C no nulo. Como en el caso real, tambi´en podemos considerar a Pn(C) como el cociente de una esfera. Para ello identificamosCn+1=R2n+2, con lo que
S2n+1=©(z 0, . . . , zn) Ø Ø|z0|2+· · ·+|zn|2= 1 ™ .
Entonces Pn(C) es el cociente deS2n+1a trav´es de la relaci´on dada por u R v ⇐⇒ u=λv, λ∈C, |λ|= 1.
Enseguida veremos que Pn(C) es una variedad topol´ogica (claramente conexa y compacta) de dimensi´on 2n. El super´ındice hace referencia a su dimensi´on algebraica en geometr´ıa proyectiva, que es la mitad de su dimensi´on topol´ogica.
Consideremos el diagrama conmutativo: S2n−1 // f ≤ ≤ B2n f ≤ ≤ Pn−1(C) i //P n(C) dondef es la proyecci´on can´onica,
i(z0, . . . , zn−1) = (z0, . . . , zn−1,0), f(z0, . . . , zn−1) = ° z0, . . . , zn−1, p 1− |z|2¢.
La aplicaci´onies inyectiva, lo que nos permite identificar a Pn−1(C) con un
subespacio de Pn(C). Si se cumple|z|<1,|w| ≤1,f(z) =f(w), entonces
° z0, . . . , zn−1, p 1− |z|2¢=λ°w 0, . . . , wn−1, p 1− |w|2¢.
Como la ´ultima componente del miembro derecho es un n´umero real positivo, necesariamente λ= 1, luego z = w. Esto prueba quef es inyectiva sobre el interior deB2ny claramente su imagen es Pn(C)\Pn−1(C). Adem´asfes cerrada
por compacidad, luego su restricci´on es un homeomorfismo en la imagen. Ahora es inmediato que Pn(C) se obtiene a partir de Pn−1(C) adjuntando una celda
de dimensi´on 2na trav´es de la proyecci´on can´onicaf :S2n+1−→Pn(C). El c´alculo anterior muestra que todos los puntos de Pn(C) con un repre- sentante cuya ´ultima componente no se anula tiene un entorno homeomorfo a una bola abierta de dimensi´on 2n. Ahora bien, repitiendo el razonamiento con las dem´as componentes concluimos que esto es cierto para un punto cualquiera, luego Pn(C) es una variedad topol´ogica de dimensi´on 2n.